常见的分布函数Word版

1、6 数理统计的基本概念6.1 基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。2* 该部分内容考研不作要求。 了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。3 了解c2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。6.2 内容提要6.2.1 总体和样本1 总体和个体 研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素

2、称为个体。总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。2 样本 从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。3 简单随机样本 设X1，X2，Xn是来自总体X的容量为n的样本，如果这n个随机变量X1，X2，Xn相互独立且每个样品Xi与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，Xn为总体X的简单随机样本。4 样本的联合分布149 / 31若总体X具有分布函数F(x)，则样本(X1，X2，Xn)的联合分布函数为若总体X为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则样本的联合概率密度为 (6.1)若总体X为离散型随机变量，其分布律为PX=ai=pi (i=1，2，n)，

3、则样本的联合分布为 (6.2)其中为的任一组可能的观察值。6.2.2 样本分布1 频率分布 设样本值(x1，x2，xn)中不同的数值是x1*，x2*，xl*，记相应的频数分别为n1，n2，nl，其中x1*< x2*<< xl*且。则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。表6-1指标Xx1*x2*xl*频数nin1n2nl频率2 经验分布函数定义 设(X1，X2，Xn)为总体X的一个样本，其样本值为(x1，x2，xn)，则称函数为样本值(x1，x2，xn)的经验分布函数。若已知样本值(x1，x2，xn)的频数、频率分布表为指标Xx1*x2*xl*频数nin1n2nl 频率则

4、经验分布函数 (6.3)6.2.3 几个重要分布及临界值1分布 设X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且XiN (0，1) (i=1，2，n)，则称随机变量服从自由度为n的分布，简记为(n)。2 分布的性质：(1)设(n)，则, (2)设，且Y1，Y2相互独立，则有 3t分布 设，且X，Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，或称学生氏(Student)分布，简记为Tt(n)。4t分布的性质(1) (2) ；这里f (x)为t分布的概率密度函数。5F分布 设，且X，Y相互独立，则称随机变量所服从的分布是自由度为m，n的F分布，简记为FF(m，n)。6F分布的性质(1) 若则 (2)(

5、2) 若FF(m，n)，则。7临界值(1) 标准正态分布的临界值 设XN(0，1)，对给定的正数，若存在实数满足则称点为标准正态分布X的临界值 (或称上分位点或分位数)。由，若已知，可通过反查标准正态分布表，求出临界值。当时，表中无法查出，此时查表，再由可求得临界值。(2)分布的临界值 设，概率密度为f(x)。对给定的数(01)，若存在实数满足则称数为分布的临界值。已知n，通过查分布表可求得。当n45时，可利用近似公式： 这里是标准正态分布的临界值。(3) t分布的临界值 设Tt(n)，概率密度为f(x)。对给定的(01。若存在实数满足则称点为t分布的临界值。已知n，通过查t分布表可求得。注：

6、1) 类似标准正态分布临界值的性质，对t分布亦有：；2) 当n45时，可用正态分布近似 。(4) F分布的临界值 设FF(m， n)，概率密度为f(x)。对给定的(01，若存在实数(m，n)满足 则称数(m，n)为F分布的临界值。注意公式6.2.4 统计量及样本矩1统计量 设(X1，X2，Xn)为总体X的一个样本，(X1，X2，Xn)是X1，X2，Xn的函数，若是连续函数且不含末知参数，则称(X1，X2，Xn)是一个统计量。2几个常用的统计量样本矩(1)样本均值。(2)样本方差。(3)样本标准差。(4)样本k阶原点矩。(5)样本k阶中心矩。3 样本矩与总体矩的关系由样本的独立性及与总体同分布这

7、一特性出发，运用数字特征的运算法则，可得：若总体X的期望、方差存在，即，又（X1，X2，Xn)是取自总体X的一个样本，则，；，。 （6.4）上述结论无论总体服从什么样的分布都正确，故它是计算任意总体，特别是非正态总体的样本均值和样本方差的期望、方差的常用结论。6.2.5 正态总体样本均值和样本方差的分布1 设总体XN()，()为样本，为样本均值，为样本方差(1) ，或 N (0，1)； (6.5)(2) (6.6)(3) (6.7)(4) 样本均值与样本方差相互独立；(5) (6.8)2设()是取自总体X的一个样本，()是取自总体Y的一个样本，且这两个样本相互独立，即假定，是n1+n2个相互独

8、立的随机变量。若总体XN()，YN()，则有1)N(0，1)； (6.9)2)F(n11，n21)； (6.10)3)当时，有 t(n1+n22)； (6.11)其中，。6.3 典型例题分析已知总体，求样本的联合分布例1.设(X1，X2，Xn)是取自总体X的一个样本。试在下列三种情况下，分别写出样本(X1，X2，Xn)的联合分布律或联合概率密度。(1)XB(1，p)；(2)X服从参数为的指数分布；(3)X服从(0，)(>0)上的均匀分布。分析: 解此类题先写出总体X的分布律（或概率密度）；再由Xi与X有相同的分布以及Xi之间的相互独立性，由式（6.1），（6.2）即可写出样本(X1，X2

9、，Xn)的联合分布律或联合概率密度。解:（1） 因为总体分布律为于是样本的联合分布律为:(2) 因为总体概率密度函数为： 所以，每一个样本的概率密度为：故样本的联合概率密度为：（3）因为总体概率密度函数为：所以样本Xi的概率密度为故，样本的联合概率密度为： 例2设XN()，(X1，X2，X3)为来自总体X的一个样本。试求样本(X1，X2，X3)的联合概率密度和样本均值的概率密度函数。解: 由于故又因为，所以，的概率密度函数为：注： 此题用到结论：若，则。这一结果有十分广泛的应用。例3.设总体服从泊松分布，是来自总体的简单随机样本（1） 计算；（2） 若容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，

10、3，3，4，5，6，4，8），试计算样本均值，样本方差和经验分布函数。解: （1）解法一 由（6.4）式，因为，于是，故，解法二 故 （2），又X的频率分布表为指标X1234568频数ni1123111频率1/101/102/103/101/101/101/10所以，经验分布函数为注: （1）解法一直接运用样本矩与总体矩之间的关系，即（6.4）式求得； 解法二运用样本与总体同分布的特性及数字特征的运算法则求得。（2）写经验分布函数，可先列出频率分布表，这样不至遗漏或出错。例4 设总体为样本。试求：（1）数学期望与方差，的数学期望；（2）。解: 计算总体X的数学期望和方差故（1），。（2）因为，

11、所以注：当总体的期望和方差不能直接写出时，要先求总体的期望和方差，再求样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的期望和方差。另外，要注意与之间的差异。由于，即是总体方差的无偏估计，而不是总体方差的无偏估计，因此，一般都是以作为方差的估计量。但，故当样本容量很大时，和两者相差很小，此时亦可用来估计总体方差。因此，有时把称为大样本方差，而有的书上也称为样本修正方差。本题（2）的解答用到了中心极限定理。由中心极限定理可得，不论总体服从什么分布，只要知道总体的数学期望，方差，则样本均值的渐近分布就为正态分布。即由此可知求样本均值落在某个区间内的概率，就可以利用上述结论近似计算，这是很重要的结论。*例5 设是

12、来自正态总体的简单样本，且则当时，统计量h服从c2-分布，其自由度为（ ）。解:解法1 令则欲使，就必须使，由于于是 令，则 ，此时。解法2 由于且相互独立，则从而所以 为使必须使同上面两个服从正态分布的随机变量比较可知 即 。注:本题虽用了两种不同的解法，但目的相同且明确，即由分布的定义并由h构成的特点，应选择恰当的a,b使h恰为两个标准正态分布的平方和。*例6 设是来自正态总体X的一个简单随机样本，证明：统计量T服从自由度为2的t-分布.。证明： 由于从而所以故 于是 又因为，且 从而与独立。于是由t分布的定义知注： 本题的关键是熟练掌握t分布的定义及正态总体下样本均值、样本方差的分布：

13、N(0，1)， 。例7已知X。证明F(1，n)。证明： 因为 , 即 , 其中 ，又, 而 故由F-分布的定义知: 注： 本题解答看似简单，但本章所学的三个分布都涉及到。因而了解证明过程中每一步的来龙去脉，对于熟悉、掌握有关随机变量及其分布是一项基础性训练。例8设(X1，X2，Xn)是来自正态总体N(0，1)的样本。试求统计量(m<n)的抽样分布。解 因为所以 , 故 同理 于是 例9设(X1，X5)是来自正态总体N()的一个样本。试证：(1)当时，F(1，3)；(2)当时，t(3)。解 (1) 于是由F-分布的定义，即得：（2） 据（1）的分析，由t-分布的定义即得结论。注： 本题仍是

14、关于F-分布和t-分布的基础训练题。例10 设为总体的一个样本，求。解： 因为 于是 ，由分布临界值的定义，查表可知，故。注： 本题由于出现了随机变量的平方和，故在寻找的分布时自然想到分布。但分布中的均服从N (0,1)，所以只要将此处的标准化即可。由临界值的定义，一般查表是已知a，找临界值，而此处则相反，是已知临界值找a，故得到的是近似值。*例11 从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少？Z1.281.6451.962.33F(z)0.9000.9500.9750.990解 ： 设正态总体为X，则，从而由(

15、6.5)式得所以即。由此可得，即n³(1.96´3)2»34.57,故n至少应取35。例12设X1，X2，Xn为相互独立且分别服从正态分布N()的随机变量。设证明：。特别地，若N() i=1，2，n，则。证明 相互独立故 同理可证若N() i=1，2，n，则。注： 本例说明n个相互独立正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布。特殊情形：若取，则结论正是正态总体下样本均值的分布（6.5）式。该题结果可作为一般结论直接引用。例13设总体XN ()。现抽取容量为9的样本，得到，问是多少？解 ：而服从自由度为n-1=8的t分布，又由于t分布的对称性，有令，查表知，由插值可

16、求得，即。注： 本题的关键是寻找含有统计量的分布。由于s2未知，故不能用来解题，但S已知，由（6.8）式得，于是由t分布临界值的定义即可顺利求得相应的概率。例14 设是来自总体X的随机样本，求下列概率。（1）（2）解 （1）由内容提要6.2.5知 »0.98-0.02=0.96（2）利用（6.7）式得注： 本题关键是要注意这两个统计量的差异。它们虽然都服从分布，但由于与的不同使其自由度也不同。查表时，上述两个随机变量的自由度分别是10和9。同例10由于是反查表，得到的仍是近似值。例15 求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。解 设两独

17、立样本分别为X,Y，其样本均值分别为，则由内容提要中（6.9）式知即 故 注 ：以上各题（例11-15），是掌握正态总体下几种常用统计量分布的基础训练题。例16 :;.证： 。 注： 本题是一道综合题，所述结果很重要。它说明，如果样本增加一个，其n+1个数据构成新样本的均值和方差的求法无需从头做起，只要根据前n个数据求出的均值和方差，加上新的这个数据便可由1）和2）计算出来。证明最后一步时用到结论。6.4 练习与测试1* 本题为1997年考研数学（四）试题。 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从 分布，参数（自由度）为 。2 设是来自

18、总体的容量为n+m的样本，则（1）统计量服从 分布。（2）统计量服从 分布。（3）统计量服从 分布。3 X服从正态分布且则服从 分布。4设为10个样本的均值，则。5 设随机变量，则T服从 分布。6 设是来自具有分布的总体的样本，则7 设分别来自两个正态总体的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则。8* 本题选自1994年考研数学试题（四） 设是来自正态总体的样本，为样本均值，记则服从自由度为n-1的t-分布的随机变量是。9 已知总体X有概率密度试求样本的联合概率密度，并求10 设是总体X的样本，而X服从区间a，b上的均匀分布，试求。11 在总体中随机地抽取一个容量为5的样本。（1） 求样本均值在11到15之间取值的概率；（2） 求概率；（3） 求概率。12