数列知识点总结及题型归纳总结.

1、高三总复习 -数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项， ，序号为n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作an ；数列的一般形式：a1 ， a2 ， a3 ， ， an ， ，简记作an。例：判断下列各组元素能否构成数列（ 1） a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。（ 2）通项公式的定义：如果数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如： 1，2 ，

2、3，4， 5， 1111：1，2345数列的通项公式是an =n （ n7， nN），数列的通项公式是an =1 （ nN ）。n说明： an 表示数列， an 表示数列中的第n 项， an =fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， an = (1,n2k1Z) ；1)n =2k(k1,n不是每个数列都有通项公式。例如，1， 1.4 ， 1.41 ， 1.414 ， （ 3）数列的函数特征与图象表示：序号： 123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看， 数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有

3、限子集）的函数f (n) 当自变量 n 从 1开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2),f (3), ，f (n) ， 通常用 an 来代替 fn ，其图象是一群孤立点。例：画出数列 an2n1的图像 .（ 4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1） 1， 2，3， 4， 5， 6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,S1(n

4、1)（ 5）数列 a n 的前 n 项和 Sn 与通项 a n 的关系： anSn 1 (n 2)Sn例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n23，求数列 an 的通项公式练习：1根据数列前4 项，写出它的通项公式：（ 1）1， 3， 5，7 ；（2） 221， 321， 421，521；2345（ 3）1，1 ，1，1 。1*22*33* 44*5（ 4）9， 99， 999， 9999（ 5）7， 77，777， 7777， (6)8, 88, 888, 88882数列 a 中，已知 ann2n 1 (n N )n3（ 1）写出 a1, ， a2 ， a3 ， an 1 ， an2 ；

5、（ 2） 79 2 是否是数列中的项？若是，是第几项？33（ 2003 京春理14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。.4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（ 1）（ 4）（ 7）（）（）5. 观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.A40 个B45个 C50个 D55个2 条直线相3 条直线相4 条直线相交，最多有 1交，最多有 3交，最多有 6个交点个交点个交点二、等差数列

6、题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数 列 就叫 等 差 数 列 ，这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的公 差 ， 公 差 通常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表示 为anan 1d (n2) 或 an 1and (n1) 。例：等差数列 an2n 1， anan 1题型二 、等差数列的通项公式：ana1 (n1)d ；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0 为递增数列， d0 为常数列， d0为递减数列。例： 1. 已知等差数列an中， a7a916，a41，则 a12等于（）A15

7、 B 30 C 31 D 642. an 是首项 a1 1，公差 d3的等差数列，如果an2005，则序号 n 等于（ A） 667（ B）668（ C） 669（D） 6703.等差数列 an2n1, bn2n1，则 an 为bn 为（填“递增数列”或“递减数列” ）题型三 、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中Aab2a ， A ， b 成等差数列Aabanan 2（ 2ananan m ）即： 2an 1m2例：1（ 14 全国 I ）设 a 是公差为正数的等差数列， 若 aaa15 ，a a a80 ，则 aa31a（）

8、n123123121A 120B 105C 90D 752. 设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A 1 B.2 C.4 D.8题型四 、等差数列的性质：（ 1）在等差数列an中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（ 2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（ 3）在等差数列an中，对任意 m ， nN ， anam(nm) d ， danam(mn) ；nm（ 4）在等差数列an中，若 m ， n ， p ， qN 且 mnpq ，则 aman apaq ；题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snn(a1

9、an )na1n( n1) d1 n 2（ a1d ） n 。2222( SnAn2Bn( A, B为常数 )an是等差数列 )递推公式： Sn(a1an )n(aman ( m 1) ) n22例： 1. 如果等差数列an中， a3a4a512 ，那么 a1 a2 .a7（ A）14（ B）21（ C）28（ D）352.（2015湖南卷文）设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，已知 a23 ， a611，则 S7 等于 ( )A13B35C 49D 633.（2015全国卷理） 设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S972 , 则 a2 a4 a9 =4.（2015 重庆文）（

10、 2）在等差数列an中， a1 a910 ，则 a5 的值为（）（A）5（ B）6（C） 8（D）105.若一个等差数列前3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项6.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，若 S1221，则a2a5a8a117.（2014全国卷理）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a55a3S9则S58（2014全国）已知数列bn是等差数列，b1=1，1+ 2+ 10=100.bbb（）求数列bn的通项 bn；9. 已知 an数列是等差数列，a1010 ，其前 10项的和

11、 S1070，则其公差 d 等于 ( )21C.1D.2AB333310. （ 2015陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn, 若a6s3 12, 则an11（ 2013 全国）设 an为等差数列， Sn 为数列 an的前 n 项和，已知 S7 7，S15 75，Tn 为数列 Sn n的前 n 项和，求 Tn。12. 等差数列an 的前 n 项和记为 Sn ，已知 a1030， a2050求通项 an ；若 Sn =242，求 n13. 在等差数列 an 中，（ 1）已知 S8 48,S12 168,求a1和d ；（ 2）已知 a6 10,S5 5,求a8和 S8 ； (3) 已知 a

12、3 a15 40,求 S17题型六 . 对于一个等差数列：（ 1）若项数为偶数，设共有2n 项，则 S 偶S 奇 nd ； S奇an；S偶an 1（ 2）若项数为奇数，设共有2n 1 项，则 S 奇 S 偶 an a中 ；S奇n。S偶n1题型七 . 对与一个等差数列，Sn , S2 n Sn , S3 nS2 n 仍成等差数列。例： 1. 等差数列 n 的前项和为 30，前 2 项和为 100，则它的前3 项和为（）ammmA.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为 60，则前 3n 项的和为。3已知等差数列an 的前 10项和为 100

13、，前 100 项和为 10，则前 110 项和为4. 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和， S414， S10 S730，则 S9 =5（2015 全国 II ）设 S 是等差数列 a 的前 n 项和，若S31，则S6nnS63S12A 3B 1C 1D 110389题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1an常数）（n N）an是等差数列d (中项法：2an1anan 2（nN )an 是等差数列通项公式法：ankn b(k,b为常数 )an是等差数列前n 项和公式法：SnAn2Bn(A, B为常数 )an是等差数列例： 1.已知数列 an 满足 an an12 ，则

14、数列 an 为 （）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列 an 的通项为 an2n5 ，则数列 an 为 （）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n24 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n 2 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列 an 满足 an22an 1 an 0 ，则数列 an 为（）A

15、. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6. 数列 an 满足 a1 =8， a42，且 an 22an 1 an 0 （ nN ）求数列 an的通项公式；nnn2n）7（14 天津理， 2）设 S 是数列 a 的前 n 项和，且S=n，则 a 是（A. 等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九 .数列最值（ 1） a10 ， d 0 时， Sn 有最大值； a10 ， d 0 时， Sn 有最小值；（ 2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， S 的最值可求二次函数San2bn 的最值；n

16、n可用二次函数最值的求法（n N ）；或者求出a中的正、负分界项，即：n若已知 a ，则 S 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0an0或。nnan 10an 10例： 1等差数列an 中， a10，S9S12 ，则前项的和最大。2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a3 12，S12 0，S13 0求出公差 d 的范围，指出 S1，S2， ， S12 中哪一个值最大，并说明理由。*）是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5 S6， S6 S7 S8 ，则下列结论错误的3（ 12 上海）设 an（ n N是（）A. d 0B. a7 0C.S9 S5D. S6

17、与 S7 均为 Sn 的最大值4已知数列an 的通项 n98 （ nN ），则数列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是n995. 已知 an 是等差数列，其中a131，公差 d8 。（ 1）数列 an 从哪一项开始小于0？（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值，并求出对应n 的值6. 已知 an 是各项不为零的等差数列，其中a1 0 ，公差 d0 ，若 S100 , 求数列 an 前 n 项和的最大值7. 在等差数列 an 中， a125， S17S9 ，求 Sn 的最大值题型十 . 利用 anS1(n1)SnSn 1(n求通项2)1. 数列 an 的前 n 项和 Snn21 （

18、1）试写出数列的前5 项；（ 2）数列 an 是等差数列吗？（3）你能写出数列 an 的通项公式吗？2已知数列an的前 n 项和 Sn2则n 4n 1，2，求数列 an 的通项公式；3. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n4. 已知数列 an中， a13，前 n 和 Sn1 (n 1)(an 1) 12求证：数列an 是等差数列求数列 an的通项公式5. （ 2015 安徽文）设数列 an 的前 n 项和 Snn2 ，则 a8 的值为（）（A） 15(B) 16(C)49（D） 64等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列

19、就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示 (q 0) ，即： an 1 ： anq(q 0) 。一、递推关系与通项公式递推关系： an 1 anq通项公式： ana1 q n 1推广： anamqn m1 在等比数列an 中 , a14, q2 ，则 an2 在等比数列an 中 , a712, q3 2 , 则 a19_.3. （ 2014 重庆文）在等比数列 an 中， a2 8，a1 64，则公比 q 为（）（ A）2（ B）3（ C）4（ D）84.在等比数列an中， a22 ， a5 54 ，则 a8 =5. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a13，

20、前三项和为21，则 a3 a4 a5（）A33 B72 C84 D189二、等比中项：若三个数a, b,c 成等比数列，则称b 为 a与 c 的等比中项，且为 bac，注： b2ac 是成等比数列的必要而不充分条件 .例： 1.2 3和 23 的等比中项为 ()( A)1(B) 1(C)1(D )22.（ 2013 重庆卷文） 设 an是公差不为0 的等差数列， a1 2 且 a1 , a3 , a6成等比数列， 则 an的前 n 项和 Sn =（）A n27nB n25nC n23nD n2n443324三、等比数列的基本性质，1. （ 1） 若 m n pq，则 am ana p aq (

21、其中 m, n, p, q N )（ 2） q n man ，an 2an m an m (n N )am（ 3） an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（ 4） an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列 .例： 1在等比数列an中 , a1 和 a10 是方程2x25x10 的两个根 , 则 a4 a7 ( )( A)5( B)2(C )1(D) 122222. 在等比数列an，已知 a15 ， a9 a10100，则a18 =3. 在等比数列an中， a1a633，a3a432， anan 1求 an若 Tn lg a1lg a2lg an , 求 Tn4. 等比

22、数列 an 的各项为正数，且a5a6 a4 a718,则 log3 a1 log3 a2log 3 a10（）A 12B10C 8D 2+ log3 55.（2014广东卷理） 已知等比数列 an 满足 an0,n1,2,，且 a5 a2 n 522n(n3)，则当 n1时，log 2 a1log 2 a3log 2 a2n1（）A. n(2n1)B.(n1)2C.n2D.(n1)22. 前 n 项和公式na1(q1)Sna1 (1 q n ) a1an q (q 1)1 q1q例： 1.已知等比数列 an 的首相 a15，公比 q2 ，则其前 n 项和 Sn2.已知等比数列 an 的首相 a

23、15 ，公比 q1n 项，当项数 n 趋近与无穷大时，其前2和 Sn3. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已 a26, 6a1a330 ，求 an 和 Sn4（ 2015年北京卷）设f (n) 2242721023n 10 (nN ) ，则 f ( n) 等于（）A 2 (8n1)B 2 (8n 1 1)C 2 (8n 3 1)D 2 (8 n 41)77775（ 2014全国文， 21）设等比数列an 的前 n 项和为 Sn，若2q；S3 S6 S9，求数列的公比6设等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,S n， Sn+2 成等差数列，则 q的值为.3

24、. 若数列an 是等比数列，Sn 是其前n 项的和， kN * ，那么 Sk ， S2 kSk ， S3kS2k 成等比数列 .S6S9例： 1.（ 2014辽宁卷理）设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若S3 =3 ，则S=678A. 2B.3 C.3D.32.一个等比数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为60，则前3 n 项的和为（）A 83B 108 C 75D 633.已知数列 an是等比数列，且Sm10，S2 m30，则 S3m4. 等比数列的判定法（ 1）定义法： an 1q（常数）an为等比数列；an2an 2(an0)an（ 2）中项法： an 1an为等比数列；

25、（ 3）通项公式法：ank q n (k, q为常数）an为等比数列；（ 4）前 n 项和法：Sn k(1 qn ) （ k, q为常数）an为等比数列。Snkkqn （k, q为常数）an为等比数列。例： 1.已知数列 an 的通项为 a2n ，则数列 an 为 （）nA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.2an an 2(an0) ，则数列 an 为 （已知数列 an 满足 an 1）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn22 n 1 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比

26、数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5. 利用 anS1(n1)SnSn 1 (n求通项2)例： 1. （ 2015 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an 11Sn ， n=1， 2， 3， ，求2343a， a ， a的值及数列 n 的通项公式a2. （ 2015 山东卷）已知数列an 的首项 a15,前 n 项和为 Sn ，且 Sn 1Snn5(nN * ) ，证明数列 an1 是等比数列四、求数列通项公式方法（ 1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 an 满足： a37, a5a726 ， 求 an ；2. 已

27、知数列 an 满足 a12, anan 11( n1) ，求数列 an 的通项公式；3.数列 an 满足 a1 =8， a42，且 an 22an 1an0 （ nN ），求数列an 的通项公式；4. 已知数列 an 满足 a1 2, 112 ，求数列an 的通项公式；an 1an5. 设数列 an 满足 a111 的通项公式0 且1，求 an1 an 11 an6. 已知数列 an 满足 an 12an, a1 1 ，求数列 an 的通项公式。an27. 等比数列 a n 的各项均为正数，且2a13a21， a329a2 a6 ，求数列 an 的通项公式8. 已知数列 an 满足 a12,a

28、n3an 1 (n1) ，求数列 an 的通项公式；9. 已知数列 an 满足 a12， a24且a n 2 an2N ），求数列an 的通项公式；an 1 （ n10. 已知数列 an 满足 a12，且 an 15n 12(an5n ) （ nN ），求数列an 的通项公式；11. 已知数列 an 满足 a12，且 an 152n 123(an52n2) （ nN ），求数列an 的通项公式；12. 数列已知数列an 满足 a11 , an 4an 1 1(n 1). 则数列an 的通项公式 =2（ 2）累加法1、累加法适用于： an 1anf (n)a2a1f (1)若 an 1 ana3

29、a2f (2)f (n) ( n 2) ，则an 1anf ( n)n两边分别相加得an 1 a1f (n)k1例： 1.已知数列 an1, an 1 an1，求数列 an 的通项公式。 满足 a1224n12. 已知数列 an 满足 an 1an2n1，a11 ，求数列 an 的通项公式。3. 已知数列 an 满足 an 1an23n1，a13 ，求数列 an 的通项公式。4. 设数列 an 满足 a12 ， an 1an3 22 n 1 ，求数列 an 的通项公式（ 3）累乘法适用于：an 1f (n)an若an 1f ( n) ，则a2a3f (2)，an1f (n)ana1f (1)，

30、a2anan 1na1f (k)两边分别相乘得，a1k1例： 1. 已知数列 an 满足 an 12(n1)5nan，a13，求数列 an 的通项公式。2.已知数列an 满足 a12， an 1nan ，求 an 。3n13.已知 a13 ， an 13n1 an (n 1) ，求 an 。3n2（ 4）待定系数法适用于 an 1qanf (n)解题基本步骤：1、确定f (n)2、设等比数列an1 f (n) ，公比为3、列出关系式an 11 f ( n 1)2 an2 f (n)4、比较系数求1 ， 25、解得数列an1 f ( n) 的通项公式6、解得数列an 的通项公式例： 1. 已知数

31、列 an 中， a11, an2an 11(n2) ，求数列an 的通项公式。2.（2015 ，重庆 ,文 ,14）在数列an 中，若 a11, an 12an3(n1) ，则该数列的通项an_3.（2014.福建 .理 22.本小题满分14 分）已知数列an 满足 a11, an 12an1(nN* ).求数列an 的通项公式；4.已知数列 an 满足an 1 2an3 5n ，a16 ，求数列an 的通项公式。解：设 an 1x 5n 12(an x5n )5. 已知数列 an 满足 an 13an52n4，a11，求数列 an 的通项公式。解：设 ax 2n 1y3(ax2ny)n 1n

32、6.已知数列an 中， a15, an 11an(1) n 1 ，求 an6327. 已知数列 an 满足 an 12an3n24n5， a11，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)8. 已知数列 an 满足 an 12an4 3n 1， a11，求数列an 的通项公式。递推公式为 an 2pan 1qan （其中 p， q 均为常数）。先把原递推公式转化为an 2san 1t(an 1san ) 其中stps， t 满足stq9. 已知数列 an 满足 an 25an 16an , a11, a22 ，求数列 an 的通项公式。（ 5）递推公式中既有Sn分析：把已知关系通过 anS1, n 1转化为数列an 或 Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解