新极限准则1-6ppt课件

1、第六节第六节极限存在准则与两个重要极限 第一章 二、二、 单调有界准则单调有界准则 一、夹逼准则一、夹逼准则一、夹逼准则一、夹逼准则)(,xUxo0.Axh)(有有证证有有且且设设)(0)(lim)(lim10100,xUx,Axhxgoxxxx ).()()(xhxfxg)(00202,xUx,o 则则,min321 取取,Axg)(有有上三式同时成立，上三式同时成立，有有同同理理)(3030,xUx,o即即)(,xUxo0),(xUxo0, )(?Xx ,xhxfxg)()()()1( )(lim)(0 xfxxx .A那么那么且等于且等于 如果当如果当定理定理1(1(夹逼定理）夹逼定理）

2、有有,Axh,Axgxxxxxx )(lim)(lim)2()()(00存在存在, ,AxgA)(,AxhA)(,Axf成成立立即即)(.Axfxx)(lim0所以所以.xhxfxg)()()(),(0,xUxo .Axfx)(lim同理可证同理可证数列具有相应的夹逼定理数列具有相应的夹逼定理那那么么（证明略）（证明略） 注意注意: :.xhxgzy,xhxgzynnnn的的极极限限是是容容易易求求的的与与与与并并且且与与与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关)()()()()(xf A,A )(xg)(xh 有有例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求

3、解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnAC重要极限重要极限(1)1sinlim0 xxx)(20 x, xAOB,O 圆圆心心角角设设单单位位圆圆xoB.OAC，得得作作单单位位圆圆的的切切线线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形圆扇形圆扇形OABOAB的面积的面积OAB 的面积的面积OACOAC的面积的面积即即xsin21x21xtan21,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x1s

4、incosxxx)0(2 x即有即有,20时时当当 xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx,xx1coslim0 下证下证例例2 2 求求.xxx20sinlim解解: : 002 ux,xu时时，当当令令1sinlim22sinlim00 uuxxux22sinlim0 xxx则则xxx2sinlim0222sinlim0 xxxxxx22sinlim20 0.1sinlim0 k,kxkxx函数求极限，我们有函数求极限，我们有根据重要极限以

5、及复合根据重要极限以及复合1)()(sinlim0)( xxx还可推广为还可推广为.tanlim0 xxx解解: : xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例4 4 求求.arcsinlim0 xxx解解: :,arcsin xt 因而因而原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1,xt)0(0例例3 3 求求xxxarcsinlim0.)sin(arcsinarcsinlim0 xxx令令例例5 5.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)2

6、2sin(lim21xxx 2121 .21 x1x2x3x1 nxnx二、单调有界准则二、单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AMexxx )11(lim先证先证nnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 重要极限重要极限(2)(2),)11(收收敛敛数数列列nn ennn )11(lim令令).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(

7、!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn )!(3221211111k ,kk-n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,. exxx11lim下下证证当当0 x时时, , 设设, 1nxn那那么么xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)(lim11,nxn1111当当x,xt

8、)(1,t从而有从而有xxx)1 (lim1xxxx)(lim1xxx)-(1lim1111)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte时时, , exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx10111)(lim)(lim. e exxx 10)1(lim)(lim()()(exxx101可可推推广广为为令令,x时时当当0 xxx)-(1lim11xxx)(lim11例例6 6.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例8 8.xxxsin)(lim201求求解解xxxxxsin)(lim2101原式原式.2e xxxxx

9、e1120)ln(sinlim例例7 7.xxx)ln(lim10求求解解uxeuxxlnlim)ln(lim101原式原式. 1例例9 9.求求下下列列极极限限xexx10lim(1)xaxx10lim(2)xxx110)(lim(3)例例1010.,nxn并求出极限值并求出极限值的极限存在的极限存在重根式重根式证明数列证明数列)(222作 业P481. 2.(1)(2)(3)(6)(8) 3.(1)(4) 4.5. 6. 7(1)(2) 8.(1)(2)三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某

10、某过过程程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22, 2 的极限存在