高数积分总结

1、第四章一元函数的积分及其应用第一节不定积分一、原函数与不定积分的概念定义 1.设 f (x) 是定义在某区间的已知函数，若存在函数 F ( x) ，使得 F (x) f ( x)或 dF ( x)f (x)dx , 则称 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数定义 2.函数 f ( x) 的全体原函数 F ( x)C 叫做 f (x) 的不定积分，记为 :f ( x) d xF ( x) C其中f ( x)叫做被积函数f ( x)d x 叫做被积表达式C 叫做积分常数“”叫做积分号二、不定积分的性质和基本积分公式性质 1.不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即f (

2、 x) d xf ( x)； d f ( x) d x f ( x) d x .性质 2.函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即f ( x)d x f ( x) C, 或 d f ( x)f ( x) C性质 3.非零的常数因子可以由积分号内提出来，即kf ( x)d x k f ( x)d x (k 0) .性质 4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即f ( x) g ( x) d xf (x) d xg(x) d x基本积分公式(1)kdxkxC( k 为常数 )(2)x dx1x1C (1)1(3)1dxln xC(4)exdxexCx(5)a

3、xdxaxC(6)cosxdxsin xCln a(7)sin xdxcos xC(8)sec2 xdxtan xC(9)csc2 xdxcot xC(10)secx tanxdxsecxC(11)cscx cot xdxcscxC(12)secxdxln secxtan xC(13)cscxdxln csc x cot x C(14)1dx arctan xC1x 2(15)1dxarcsin xC(16)1dxarcsin xC1x 21x2三、换元积分法和分部积分法定理1. 设( x) 可导，并且f (u)duF (u) C. 则有凑微分令 u(x)f ( x) ( x)dxf ( x)

4、d ( x)f (u) d uF (u)代回 u (x)( x)CCF (该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法定理 2. 设 x(t) 是可微函数且(t )0，若 f (t ) (t )具有原函数 F (t ) ，则fxtx dx换元ft积分t1 x1 xC .t dtF tCF回代该方法叫第二 换元积分法选取 u 及 v (或 dv) 的原则 :1)v容易求得;2)u v dx比u v dx解题技巧 :选取 u 及 v 的一般方法:把被积函数视为两个函数之积, 按 “ 反对幂指三”的顺序 ,前者为 u 后者为 v .第二节定积分概念一

5、、原函数与不定积分的概念二、 定积分的定义和存在定理三、定积分的几何意义与定积分的性质1定积分的几何意义2. 定积分的性质性质 1. ab f ( x)g( x)dxab f ( x)dxab g( x)dx.性质 2.ab kf ( x)dxk ab f ( x)dx ( k 是常数 ).性质 3.ab f ( x)dxac f ( x) dx cb f (x)dx.性质 4.ab f ( x)dxab dx b a.推论 1. 如果在 a, b 上， f ( x)g(x), 则abbf ( x)dx ag(x)dx ( a<b).推论 2.bbf ( x) dxa f (x)dxa性

6、质 5.ab f ( x) dx 0( a b ).性质 6.设 M与 m分别是函数f (x)在 a,b 上的最大值及最小值，则m(ba)bM (b a) (a b ).a f ( x) dx性质 7.( 定积分中值定理 )如果函数 f ( x)在闭区间 a, b上连续，则在积分区间 a,b 上至少存在一点，使下式成立：ab f ( x) dxf ( )(ba) ( ab)可积的充分条件:定理 1. 函数 f (x) 在 a, b 上连续 ，则 f ( x) 在 a, b 可积 .定理 2. 函数 f (x) 在 a,b 上有界 , 且只有有限个间断点，则 f ( x) 在 a,b 可积 .第

7、三节微积分基本公式一、微积分基本公式1.变上限函数定义 1. 设函数 f (x) 在区间 a,b 上连续，则它在 a,b任意一个子区间 a, x上可积，则( x)ax f (t )dx(axb)是上限变量 x的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数.2. 微积分基本公式定理 2. ab f ( x)dxF (b)F ( a)1. 定积分的换元积分法定理 3. bf ( x) dxf (t) (t )dta注：设 f ( x)在 a, a上连续 , 证明(1) 若 f (x)在a,a 为偶函数，则(2) 若 f (x)在 a,a上为奇函数，则2. 定积分的分部积分法aa f ( x)dx =2 0a f ( x)dx；aa f (x)dx =0.bb定理 4.a udv uvbaa vdu第四节定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=）一、定积分的微元法其实质是找出 A的微元 dA的微分表达式 .二、 定积分在几