惯性矩的计算方法

1、.第 1 节 静矩和形心4.1 静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I等 A 、 I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质4.1静矩和形心设有一任意截面图形如图4 1 所示，其面积为A 选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y,z) 处取一微小面积dA ，定义微面积dA 乘以到y 轴的距离z ，沿整个截面的积分，为图形对y 轴的静矩S，其数学表达式(4 -1a )同理，图形对z 轴的静矩为(4-1b)图4-1截面静矩与坐标轴的选

2、取有关，它随坐标轴y 、 z 的不同而不同所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零静矩的量纲为长度的三次方确定截面图形的形心位置(图4-1中C点):(4 -2a )(4-2b);.式中y、 z为截面图形形心的坐标值若把式(4-2) 改写成(4-3)性质：? 若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心? 若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零? 由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合而成的对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标

3、(y、 z) 时，可用以下公式(4-4)(4-5)式中A， y， z分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的例 4-1已知T 形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值;.图 4-2解：(1) 选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴，(2) 将图形分成 I 、 两个矩形，则(3) 代入公式(4-5)4.2 惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形( 图 4 3

4、) ，其面积为A 选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y 、 z) 处取一微小面积dA ，定义此微面积dA 乘以到坐标原点o 的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩I微面积dA 乘以到坐标轴y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对y 轴的惯性矩I极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩数学表达式为;.极惯性矩(4-6)对 y 轴惯性矩(4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩(4-7b)图 4-3由图4-3看到所以有即(4-8)式 (4 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。在任一截面图形中( 图 4 3) ，取微面积dA 与它的坐标z 、 y 值的乘积，

5、沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对y 、z 轴的惯性积，简称惯积表达式为(4-9)惯性矩、 极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方I,I,I恒为正值 而惯性积I其值能为正， 可能为负， 也可能为零 若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 ( 或称主形心惯轴 ) 截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 ( 或称主形心惯矩 ) 例如，图 4-4 中若这对 yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴对这两个轴的

6、惯性矩即为形心主惯性矩;.图 4-4工程应用中( 如压杆稳定中) ，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即,或写成,（ 4-10）式中i分别称为截面图形对y 轴、z 轴的惯性半径其量纲为长度的一次方例4-2已知矩形截面的尺寸b,h( 图4-5)，试求它的形心主惯性矩解：取形心主惯性轴( 即对称轴)y,z ，及dA=dy，代入公式(I 7a ,) 得同理：图 4-5;.例4-3设圆的直径为D( 图 4-6)，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值解：(1) 求惯性矩因为图形对称，y,z 为对称轴，所以II这是较简单的解法本例也可取出图4-6上的微面积dA ，按积分法来求得。(2) 求

7、惯性半径图 4-6第 3 节 惯性矩、惯性积的平行移轴公式4.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式设任一截面图形( 图 4-7)对其形心轴Y,Z的惯性矩已知有另一对坐标轴y, z 分别平行y轴。两平行轴间距分别为a 、 b 现讨论截面对这两平行坐标轴的惯性矩之间的关系根据定义截面对形心轴的惯性矩、惯性积分别为,同样，截面对y, z 轴的惯性矩、惯性积分别为由图 4-7可知，z=z+a，代入(b) 的第一式;.因为则上式简化为同理（ 4-11）公式 (4-11) 称为惯性矩、惯性积的平行移轴公式即截面图形对某轴的惯性矩，等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘以截面面积，截面圆形对

8、任一正交轴系的惯性积，等于它对与该轴系平行的形心轴系的惯性积，加上两坐标系轴间距的乘积再乘以截面面积式(4 11) 中前二式恒为正，第三式中a,b 均为代数值，故I可正、可负或为零图 4-7组合截面图形的惯性矩和惯性积可用下面公式来计算（ 4-12）式中 I,分别表示每个简单图形对自身形心轴的惯性矩、惯性积a分别表示每个简单图形的形心坐标轴到组;.合图形y,z 轴的距离A表示各简单图形的面积例 4-4已知截面图形尺寸如图4-8所示，试求图形对水平形心轴的惯性矩I解： (1) 将图形分成三个小矩形、(2) 选参考轴在的形心上(3) 由公式 ( I 5) 求形心= 124.89因为 z 是对称轴，

9、故(4) 由公式( I 12) 第一式计算I=+;.图 4-84.4 惯性矩，惯性积的转轴公式设任一截面图形( 图 4-9)对坐标轴y ， z 轴的惯性矩、惯性积为I。若将坐标轴y ，z绕其原点o 旋转一角 (以逆时针转为正，顺时针转为负，图4-9的为正) ，得到新的坐标轴y此时，图形对y轴的惯性矩与惯性积为I. 现研究与和I之间的关系。图 4-9在图中任取一微面积dA ，它在yoz 坐标系的坐标为(y,z) ，在 y坐标系的坐标为(y) 由图有几何关系（ a ）按定义;.（ b ）将(a) 式分别代入(b) 式，利用三角函数关系整理后得到（ 4-13）(4-13) 式即为惯性矩和惯性积的转轴

10、公式 它反映了惯性矩、 惯性积随 a 而改变的规律将式 (1 13) 的前两式相加，可得这说明截面图形对正交轴系的惯性矩之和为一常数现在我们来研究(4-13)的第三式I随 a 而改变，当=0时，相应的坐标轴为主惯性轴，用y 表示，即(c)由此求得(4-14)上式中的和表示了主轴的方位角将关系式(4-14)代入转轴公式(4-13)第一、第二式，运算时利用三角函数关系;.可以求得截面图形的主惯性矩(4-15)若将公式(4-13)的第一式对求一阶导数且令其为零，即可得到惯性矩的极值，即可见，上式与(c) 式一致这说明由公式(4-15)求得的主惯性矩就是截面图形的最大或最小惯性矩.例4-5已知截面图形尺寸如图4-10所示。试求其形心主惯性矩I.图 4-10解： (1) 确定形心位置由于截面是反对称的， 所以形心在其对称中心C 点。以 C 点为原点，取坐标轴y ，z 如图所示(2) 将截面分成三个小矩形、。(3) 由式 (4-1