必修4__三角函数知识点归纳总结

1、.三角函数【知识网络】应用弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简的基本关系式公式证明恒等式应用任意角的概念角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函图像和性质数值求角弧度制三角函数和角公式应用倍角公式应用差角公式应用一、任意角的概念与弧度制1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为 正角 ，顺时针旋转为 负角 ，不旋转为零角2、同终边的角可表示为k 360kZx 轴上角：k 180 kZy 轴上角：90k 180k Z3、第一象限角：0 k 36090k 360kZ第二象限角：90k 360180k 360kZ第三象限角：180k 360270k 360kZ第四象限

2、角：270k 360360k 360kZ4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角第一象限角：0 k 36090k 360kZ锐角：090小于 90 的角：90;.5、若为第二象限角，那么为第几象限角？222k2k4kk22k 0,k1, 53 ,4242所以在第一、三象限211rad .6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作7、角度与弧度的转化：10.01745118057.3057 188、角度与弧度对应表：180角度030456090120135150180360弧度0235264323469、弧长与面积计算公式弧长： lR ；面积： S1 l R1R2 ，注意：这

3、里的均为弧度制 .22二、任意角的三角函数P(x, y)1、正弦： sinyxy；余弦 cos；正切 tanxrrr其中 x, y为角终边上任意点坐标，rx2y2.2、三角函数值对应表：度030456090120135150180270360弧度02353264323462sin01231321010222222cos13210123101222222tan0313无3130无0333、三角函数在各象限中的符号;.口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. （简记为“全s t c”）sintancos第一象限： .x0, y0 sin0,cos0,tan0,第二象限： .x0, y0sin0,co

4、s0,tan0,第三象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,第四象限： .x0, y0sin0,cos0,tan0,4、三角函数线设任意角的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交与 P ( x, y) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点 T.yyTPPM oAAxoMxT（）（）yTyMoAMAxoxPPT（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx, MP y ，于是有sinyyMP ，c o sxxx OMryr11，tanyMPATxAT OM OA我们就分别

5、称有向线段MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。5、同角三角函数基本关系式;.sin 2cos21tansintancot1cos(sincos)212 sincos(sincos) 212sincos( sincos， sincos， sincos ，三式之间可以互相表示 )6、诱导公式n口诀：奇变偶不变 , 符号看象限 ( 所谓奇偶指的是2中整数 n 的奇偶性，把 看作锐角 )nnsin( n)(1) 2 sin, n为偶数( 1)2 co s, n为偶数n1； cos( n)n1.22(1) 2co s, n为奇数( 1)2sin, n为奇数. 公式（一）：与2k ,kZs

6、in(2k)sin； cos(2k) cos； tan(2k ) tan. 公式（二）：与sinsin； coscos； tantan. 公式（三）：与sinsin； coscos； tantan. 公式（四）：与sinsin； coscos； tantan. 公式（五）：与2sincos； cossin；22. 公式（六）：与2sincos； cossin；22. 公式（七）：与 32;.sin3cos； cos3sin；22. 公式（八）：与 32sin3cos； cos3sin；22三、三角函数的图像与性质1 、将函数ysin x 的图象上所有的点，向左（右）平移个单位长度，得到函数ys

7、in x的图象；再将函数ysin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到函数 ysinx的图象； 再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A倍（横坐标不变），得到函数yA sinx的图象。2、函数 y A sinxA0,0 的性质：振幅： A ；周期：21；相位： x；初相：。T；频率： fT23、周期函数：一般地，对于函数fx ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 fxTfx ，那么函数 f x就叫做周期函数， T 叫做该函数的周期 .4、 yAsin(x)k2对称轴：令xk，得 xk2对称中心：xk， (

8、k,0)(kZ) ；，得 x yA cos(x)对称轴：令xk，得 xk；k2k2对称中心： xk，得 x， (,0)( k Z ) ；2周期公式 :函数 y A sin( x ) 及 y Acos( x2)的周期 T(A 、为常数，且A 0).函数 yA tanx的周期 T(A 、 、为常数，且A0).;.5、三角函数的图像与性质表格函性数ysin x质图像定义R域值1,1域当 x2kkZ时，2最ymax1；值2kkZ时，当 x2ymin1 周期2性奇偶奇函数性在2k,2k2 2单k Z 上是增函数；调性2k , 32k在22k Z 上是减函数对对称中心 k ,0 k Z称性对称轴 x kk

9、 Z2ycosxR1,1当 x 2k k Z 时，ymax1；当 x2kkZ 时， ymin12偶函数在2k,2 kkZ上是增函数；在 2k ,2 kkZ上是减函数对称中心k,0 k Z 2.ytan xx xk ,k Z 2R既无最大值也无最小值奇函数在k, k22k Z 上是增函数对称中心k,0kZ2无对称轴;.对称轴 xkk Z6. 五点法作 y Asin( x) 的简图 ，设 tx，取0、 3、 2来求相22应 x 的值以及对应的y 值再描点作图。7.yAsin(x) 的的图像8. 函数的变换：（1）函数的平移变换 yf ( x)yf (xa)(a0) 将 yf (x) 图像沿 x 轴

10、向左（右）平移a 个单位（左加右减） yf (x)yf ( x)b(b0) 将 yf (x) 图像沿 y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：1 yf (x)yf ( wx)(w0) 将 yf ( x) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（ w1缩短，0w1伸长）w yf (x)yAf ( x)( A0) 将 yf ( x) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A倍（ A 1伸长， 0 A 1缩短）（3）函数的对称变换：yf ( x)yf ( x) )将 yf (x) 图像绕 y 轴翻折 180（整体翻折）;.（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）yf ( x)yf (

11、x) 将 yf (x) 图像绕 x 轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y 轴对称） yf (x)yf ( x ) 将 yf ( x) 图像在 y 轴右侧保留， 并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折） yf (x)yf ( x) 保留 yf (x) 在 x 轴上方图像， x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1 ） sin()sincossincos(2 ） sin()sincossincos(3 ） cos()coscossinsin(4 ） cos()coscossinsin(5 ） tan()tant

12、ant ant ant an1t ant a n1tantan(6 ） tan()tantant ant ant a n1t ant an1tantan(7)a sinb cos=a2b2 sin()(其中, 辅助角所在象限由点(a, b) 所在的象限决定 , sinb,cosa, tanb，该法也叫合一变形).a2b2a2b2a(8)1tantan(4)1tantan()1tan1tan42.二倍角公式（1） sin 2a2 sin a cosa（2） cos 2acos2 asin 2 a1 2sin 2 a 2 cos2 a 1tan 2a2 tan a（ 3）1 tan 2 a;.3.

13、 降幂公式：cos2 a1 cos2a（ 2） sin2 a1 cos2a（ 1）224. 升幂公式（1） 1cos2 cos2（2）1cos2sin 222（3） 1sin(sincos)2（ 4）1sin 2cos222（5） sin2 sincos225.半角公式 （符号的选择由所在的象限确定）2sin a1cosa ，a1 cosacos，（1）22（2）22a1cosasin a1 cos atan（3）21cosa1 cos asin a6. 万能公式 :2 tan1tan2（1） sin2 ,（ 2） cos2,1tan21tan2222 tan（3） tan2 .1tan227

14、. 三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换， 提高三角变换能力， 要学会创设条件， 灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（ 1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（ 2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：a sinbcosa2b2sin() 其中 cosa,sinba 2b2a2b2，比y sin x3 cos x12( 3)2(1sin x3cos x)如：12( 3)212( 3)2;.2(1 sin x3 cos x)2(sin xcoscos x sin)2 sin( x)22333（

15、 3）注意“凑角”运用：，12例如：已知 、(3 ,) , sin()3，sin()12，则 cos() ?454134（ 4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“ 1”可转化为“ sin 2cos2”（ 5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：1 cosa 常用升幂化为有理式。（ 6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（ 7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除， 或求差等等。 在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、 配方等。（

16、8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（ 9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（ 10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sin acosa ， sin acosasin acosa ，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8. 函数的最值 （几种常见的函数及其最值的求法） ： ya sin xb （或 a cos x b) 型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ya sin xb cosx 型：引进辅助角化成 ya2b2 sin(x) 再利用有界性 ya sin 2 xbsin xc 型：配方后求二次函数的最值，应注意sin x1的约束 ya sin xb 型：