向量中一些常用的结论_第1页
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文档简介

1、向量中一些常用的结论（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）|a|b|； b_|a| |b|，特别地,当亍 b 同向或有0 = | a b|=| a | | b|_ |a |一|b|=| a b|；当 a b 反向或有-|b|h|! b|；当 a、不共线二|a|b|：| a_bb：|a| - |b|（这些和实数比较类似）.（3）在ABC中，若 A ,y1,B x2,y2,C %,y3，贝U其重心的坐标为X1X2X3y aG,-V 33若/ ABC 的三边的中点分别为（的重心的坐标为_12PG =1（PA PB PC）二T T 4 4PA PPC= 0 马迅坠的重心；3

2、PA PB 卩二 PC PA P 为ABC的垂心；4向量.AB辽）（ =0）所在直线过-ABC的内心（是.BAC的角平分|AB| |AC|线所在直线）；_5| AB | PC | BC|PA（4）若 P 分有向线段 RP2所成的比为九TMP :PAf PB PC& ：- -1一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成（2）垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）（4）外心一一中垂线的交点（外接圆的圆心）二、四心与向量的结合(1)OA OB OC=0二O是ABC的重心.证法1：设O(x, y), A(X1，yJ,B(X2，y2),C(

3、X3，y3)”=X1 + X2 + X3”十 区 _ x) + (x2- x) + (x3- x) = 0 x3OA+OB +OC 二八131 山y) y) +仏y)=0|y2，1)、(-3，4)、(-1，-1 )，则/ ABCG为ABC的重心，特别地PA |CA|B 二 0= PABC的内心；. ，点 M_为平面内的任一点，贝 UMP1MP2；=72C 共线二 存在实数使得MP=MP MP2，特别地 P 为 RP2的中点二1 +扎（5）向量PA、PB、PC中三终点 A、:角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等。y_3O是ABC的重心. 证法 2:如图 - OA O

4、B OC二OA 2OD二0D.A0=20D.A、0、D三点共线，且0分AD为 2: 1.O是ABC的重心(2)OA OB =0B OC =0C OA二O为ABC的垂心.证明：如图所示 0 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC , AD 垂直 BC , D、E 是垂足.OA OB=OB 0C = OB(OA-OC)=OB CA = O二OB _AC同理OA _ BC，OC _ AB:二O为:ABC的垂心(3)设a,b,c是三角形的三条边长， 0 是厶 ABC 的内心aOA bOB cOC = 0 = O为ABC的内心.AB AC-证明：幕AB、AC分别为ABAC方向上的单位向量,c bAB+些平分NBAC,c b 化简得(a b c)OA bAB cAC二0a

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