“平面向量数量积的物理背景及其含义”教学案例Word版

1、“平面向量数量积的物理背景及其含义”教学案例一、教学任务分析 在前面学过的向量的线性运算的基础上，以物理中功为背景引入向量的另一个运算-数量积。教科书以物体受力做功为背景引入数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有的知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。 在建立了数量积的概念后，进一步探究了有关的特性、几何意义和运算律。使学生在探究中加深对有关概念、性质的理解和运用。 二、教学重点、难点 重点：平面向量的数量积的概念和特性；平面向量数量积的运算律的探究及应用。 难点：平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解，

2、平面向量数量积的应用。 三、教学情景设计 教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，即向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量，并且这些结果都有明确的几何意义，即是一些与平行四边形的边、对角线、三角形的边以及平行、共线有关的向量。下面我们一起思考这样一个问题。（出示思考问题） 情景1思考：既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？假如能的话那运算的结果又会是什么呢？ 设计意图由加减联想到乘法这是个很自然的问题，明确本节课的任务，激发学生的探求欲望。 1 / 7情景2问题假如一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F

3、所做的功w等于多少？ 设计意图以物理问题为背景，使学生从中受到启发，为引入向量的数量积的概念做预备。 师生互动生：其中是F和s夹角。 师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？ 互动：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一个启发：能不能将功看成是这两个向量的一种运算的结果呢？为此，引入平面向量的“数量积”的概念。 情景3仿照“功”的概念引入平面向量数量积的概念；并对概念进行有关熟悉、分析和探究。 设计意图1、在学生已有的物理中“功”的概念的背景下，建构数学模型，引入平面向量数量积的概念，突出物理背景的意义，便于学生自然过度和理解。 2、通过对概念的熟悉、分析和探究，使学生

4、加深理解，熟悉、把握有关的特性及几何意义。 师生互动1、首先仿照物理问题构建数学模型。对照功的表达式写出类似的平面向量的表达式，引出平面向量数量积的概念：把数量称为与的数量积，记作：即=（其中为与的夹角）。对于定义中的“非零向量”的要求为了建立对任意向量的数量积的概念，规定：（其中为任意向量） 2、讨论数量积的运算与前面三种线性运算的区别（运算的结果是数量而不再是向量）。 3、研究数量积运算结果的符号取决于与的夹角。 4、探究特性： （=时的情况）（、为非零向量） 此处可与实数进行对比：对时而 此特性给我们提供了证实有关垂直问题的一个很好的方法。 此特性给我们提供了很好的求长度的方法。 5、投

5、影的概念。为研究数量积的几何意义作预备。讨论：投影一定是正数吗？ 师生共同完成例1，加一问：求在方向上的投影并作图。 6、数量积的几何意义。使学生明确数量积的运算结果其实就是有关投影的倍数。联系引入部分“功”的概念不难理解它是力F在位移s上的投影。 情景4运算律和运算是紧密相关的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律。 设计意图通过类比、探究使学生对数量积的概念有更深的熟悉，进一步培养学生严谨的学习态度和研究问题的能力。 师生互动师生共同回顾实数运算中有关乘法的运算律。请学生自己先写出有关的运算律：根据上面的运算律，类似的改写出相关的数量积的式子： 引导学生探究上面运算律的真假。

6、学生易得真。对的真假可由学生自主讨论，然后通过交流达到统一熟悉的方法进行，得到是假命题。对三个向量间的结合律不成立，若两个向量一个实数情况会怎样呢？引导学生讨论： 的真假。由数乘运算的特点就0；0；=0分别研究讨论不难得到其的正确性。 对的真假探究可采用分析法引导学生进行：要探究的真假，由数量积的概念即探究（其中、分别是与、与、与的夹角）的真假。若显然成立，若即探究的真假。根据投影的概念可知即探究、在方向上的投影之间的关系，利用多媒体动画演示易得证。 从而探究出数量积的运算律： 师生共同完成例2、3、4。 情景5小结部分：让学生回顾总结本节课的学习内容及研究、解决问题的方法。 设计意图使学生整

7、理相关内容，体会所学知识的引入基础及研究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考、解决问题的能力。 四、课后反思 本节课以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算。知识系统完备，使学生很好的体验了知识的产生、发展和完善的全过程，有利于培养学生分析、思考、解决问题的能力，为进一步形成良好的数学思想、数学思维奠定基础。采用多媒体辅助教学使教学效果和教学内容的容量充分的得以体现和展示，提高了课堂效率，取得了较好的教学效果。针对教学班级学生的具体情况可在后面的例3、4中作删减。 在难点运算律的探究中，应注重主次之分，不必面面俱到。如：对的真假探究应充分使学生展开讨论，目的是使学生加深对数量积以及前面所学数乘运算概念的理解。对的真假的探究则点到为止，留