1 第一章.集合和映射ppt课件

1、 第一章 2 映映 射射1 集集 合合第一章机动 目录 上页 下页 前往 终了 集合与映射3 函函 数数元素 a 属于集合 S , 记作元素 a 不属于集合 S , 记作1 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1.1.1 具有某种特定性质的具体或抽象的对象的总体称为集合。组成集合的对象称为元素。通常用大写字母如 A, B, S, T,表示集合 ,记作 . aS( 或aS) .aS机动 目录 上页 下页 前往 终了 不含任何元素的集合称为空集 ,而用小写字母如 a,b,x,y,表示集合的元素。集合的表示方法：集合的表示方法：(1) 枚举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 正

2、整数集合1,2,3, ,Nn自然数集,2,1,0Nnn(2) 描述法： Sx x 所具有的特征P例例: 整数集合整数集合 ZxNx或Nx有理数集QqpZ,N ,qp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数正实数集,0 Rx xRx且特殊集合210 x xRx 且机动 目录 上页 下页 前往 终了 )(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域a ),(xaaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .去心 邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa机动 目录 上

3、页 下页 前往 终了 开区间( , ) a bxaxb半开区间闭区间 , a bxaxb数学分析中常用数学分析中常用的实数集的实数集则称A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义1.1.21.1.2.BA假设BA,AB 且则称 A 与 B 相等,.BA 例如 ,ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A假设Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 前往 终了 N若A 是 B 的一个子集，但存在一个元素 xB但 xA,则称 A 是 B 的一个真子集。AcABB定义定义1.1.3

4、给定两个集合给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:补集)(ABBABcA其中例如：有理数关于实数集的补集是无理数集CA BAB容易知道，集合补与差满足如下关系ABABBABA机动 目录 上页 下页 前往 终了 Bx或 2 . 结合律结合律 3. 集合运算的性质集合运算的性质()()ABDABD()()ABDABD1 .1 .交换率交换率()()()ABDABAD(),CCCABAB 4 . 对偶律 ( De Morgan公式 )()CCCABAB,ABBAABBA机动 目录 上页 下页 前往 终了 3 .分配率分配率()()()AB

5、DABAD4. 有限集与无限集有限集与无限集若集合S由有限个元素组成，则称集合S为有限集，不是有限集的集合称为无限集。2-3 +2=0Sxxx例如例如 N、Z、Q、R都是无限集。都是无限集。是有限集。如果无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列换句话说，这个集合可表示为则称其为可列集。 显然无限集并非一定是可列集。12,na aa但容易证明：每个无限集必包含可列集。机动 目录 上页 下页 前往 终了 证证 设设S是一个无限集，先取是一个无限集，先取a1S,由于由于S是无限集是无限集,必存在a2S, a1a2,再由S是无限集,必存在a3S, a3a1, a3a2,这个过程可以无限进行下去，于是得

6、到一个可列集为12,nTa aa机动 目录 上页 下页 前往 终了 TS且。例例1.1.2 整数集是可列集整数集是可列集解：因为整数集可以按规律0，1，-1，2，-2，n,-n, (1,2,3,)nAn 排成一列，因而是可列集。设个集合An都是可列集，则它们的并集是无穷可数个集合，其中每一一定是可列集。即有下面的定理。121|,nnnnAAAAxnNxA存在使定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。机动 目录 上页 下页 前往 终了 证明见P7。( ,1,nnnAn nnZRA令证由定理1.1.1,只需证明(0,1中的有理数集是可列集即可.区间(0,1中的有理数可唯一表示为既约分数q/p,

7、其中pN+, qN+,qp, q，p互质。我们按以下方式排列这些有理数。见P8.定理1.1.1 可列个可列集之并必是可列集。机动 目录 上页 下页 前往 终了 定理1.1.2 有理数集Q是可列集。作业：作业：p10 2(2),55 .笛卡尔笛卡尔( Descartes )乘积集合乘积集合 的集合称为集合A与集合B的Descartes 乘积集合。 设A与B是两个集合，在集合A中任取一个元素x，ABBA记为AB, 即 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 前往 终了 在集合B中任取一个元素y，组成一个有序对 (x,y)。把这样的有序对 (x,y)作为新的

8、元素，它们全体组成2、 映射与函数映射与函数1. 映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 前往 终了 引例引例1. 引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 前往 终了 定义定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规那么 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 ,

9、 那么称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作:( )fXY xyf x元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像也称为原像）.集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记为Df=X;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域 ,记为Rf 。留意留意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy机动 目录 上页 下页 前往 终了 对映射YXf:假设()ff XRY, 则称 f 为满射; XYf)(Xf假设,2121xxXxx有 )()(

10、21xfxf则称 f 为单射;假设 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. XY)(Xff机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例1.三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例例2. 如下图,Sxyoxey x),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3. 如下图,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f则有(满射满射) (满射满射)机动 目录 上页 下页 前往 终了 X (数集 或点集 ) 阐明阐明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 前

11、往 终了 f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 称号. 例如, 2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义定义1.2.2 若映射:( )f Xf X为单射, 则存在一新映射1:(),ff XX使习惯上 ,( ) ,yf xxX的逆映射记成1( ) ,()yfxxf X例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 x()f XXf1f1() ,( ),yf Xfyx 其中,)(yxf称此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 (2) 复合映射机动 目录 上页

12、 下页 前往 终了 1Xfg手电筒XX2X2X引例. 复合映射 定义1.2.3 xXg( )()ug xg X1uXf)(ufy 则当1()g XX由上述映射链可定义由 X 到 Y 的复, )(xgfy ( ),.fg xxX设有映射链记作1()Yf X合映射 ,时,或1(X )Yf)(ufy )(xgf1XXx)(xgu gfgf ()g X机动 目录 上页 下页 前往 终了 留意: 构成复合映射的条件 1()g XX不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.下述两恒等映射。 要注意，映射要注意，映射f和和g的复合是由顺序的，这就是说，的复合是由顺序的，这就是说，机动 目录 上页 下页 前往

13、 终了 特别地，若将f与它的逆映射f -1进行复合，则得到11( ),( ),fffyyyRff xxxX 讲也是不同的。fg有意义并不意味gf也一定有意义。即使都有意义即Rg Df 与Rf Dg都满足，复合映射fg与gf一般来定义域3 函数函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义1.3.1. 设数集设数集RX ,则称映射:RfX 为定义在D 上的函数 ,记为( ) ,()fyf xxXD f ( X ) 称函数的值域 函数图形函数图形: ),(yxC xX, )(xfy xy(,)Xababxy()Xf X机动 目录 上页 下页 前往 终了 自变量因变量xXf()( ),yf Xy yf x

14、 xX(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)( 1 , 1 ,X 22(),f X 定义域定义域 对应规律的表示方法对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RX 值 域()0 ,)f X 机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 已知函数已知函数 1,110,2)(xxxxxfy求 )(21f及, )(1tf解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 0 ,)D 值 域 ()0 ,)f

15、 D 机动 目录 上页 下页 前往 终了 当两个函数不仅函数关系相同，而且定义域也相同，于是它们的值域 也必然相同，它们表示相同的函数，例如例如sin( )sin( )xxf xxxx与g否则就表示不同的函数。至于此时自变量与因变量采用什么符号，那倒是无关紧要的。 sin ,(,)yx x 因为定义域不同sin ,(,)uv v 机动 目录 上页 下页 前往 终了 所以表示的函数也是不同的。而而与表示同一个函数。在函数的解析表示法中，函数的分段表示、隐式表示和参数表示在数学分析中是最常用的。函数的分段表示函数的分段表示( )x设A,B是两个互不相交的实数集合，( )( )( )xxAf xxx

16、B机动 目录 上页 下页 前往 终了 分别定义在集合A,B上的函数，那么如例如例4与是定义在集合AB的函数。( )x是函数的隐式表示函数的隐式表示是指通过方程F(x,y)=0来确定变量y是x之间的函数关系的方式。如天体力学中著名的Kepler方程。函数的参数表示函数的参数表示在表示变量x与y的函数关系时，我们常常需要引入第三个变量例如参数t），通过建立t与x、t与y之间的函数关系，间接地确定x与y之间的函数关系，即( ), , ( ),xtta byt机动 目录 上页 下页 前往 终了 例如：上半园的方程例如：上半园的方程摆线方程摆线方程sin ,0,)1 cos ,xtttyt cos ,0

17、, sin ,xRttyRt2. 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性若存在两个常数m和M,( ),mf xM使函数f(x)满足 , Ix,0M使,)(Mxf则称 )(xf其中其中: m是它的下界，是它的下界，M是它的上界。是它的上界。 在 I 上有界。 若函数f (x)有界，即意味着f 即有上界，又有下界; 说某函数是否有界，一定要指明其所在的区间。 当一个函数有界时，它的上下界不是唯一的；有 则称f (x)为 I 上的有界函数。 有界函数的另一种定义： 留意：机动 目录 上页 下页 前往 终了 , Ix如函数f (x)=1/x在1,+)上

18、是有界函数，而在(0,1)上却是无界函数，因此不能简单说f (x)是有界函数。 直线 y=M与y=-M为边界的带形区域之间。比较函数f (x)在I上有界和无界的定义，不难发现两个函数有界的几何意义是:f (x)在区间I上图像位于两 都存在x0I，使得|f (x0)|M。设f (x)为定义在 I 上的函数，若对任意大的正数M0， 无界函数的定义 互为逆命题的定义，有如下的对偶写法。机动 目录 上页 下页 前往 终了 机动 目录 上页 下页 前往 终了 函数的性质定义函数f(x)在I上有上界 MR, xI, 都有f (x)M函数f(x)在I上无上界 MR, x0I, 都有f (x0)M函数f(x)

19、在I上有下界 mR, xI, 都有f (x)m函数f(x)在I上无下界 mR, x0I, 都有f (x0)M逆命题定义的主要差别在于：把存在逆命题定义的主要差别在于：把存在与任意与任意互换。互换。把x换成 x0，|f(x)|m)换成|f(x0)|M(0，那么xR，有即有1()0 xD xrx当 为有理数当 为无理数机动 目录 上页 下页 前往 终了 所以 r 为D(x)周期。然而，正有理数没有最小数，所以狄利克雷函数是没有最小正周期的周期函数。同样 f (x)=C 也是周期函数，且任何大于0的正实数都是它的周期，故它也不存在最小正周期。()( ),D xrD x那么什么样的周期函数一定有最小正

20、周期呢？一般地，有如下的定理两个周期函数的和或积不一定是周期函数与( )sinf xx机动 目录 上页 下页 前往 终了 是周期函数但 F(x) = f (x)+ g (x) 却不是周期函数。可用反证法证明如下： 例如: 定理： 设f 是异于常数的周期函数,且 f 延续,那么 f 有 最小正周期。( )sin,g xexxR假设F(x)是以k (k0)为周期的周期函数,那么xR，有sin()sinsin()sin,xkxexkeex 即sin()sin()sinsin,xkexkexex机动 目录 上页 下页 前往 终了 令x=(-k )/2 , 得(*)0=cos(e/2)sin(ke/2)

21、 cos(/2)sin( /2)cos(/2)sin(/2),xkkexkeke 所以,sin(ke/2)=0,因而ke必是2的整数倍,设ke=2m,mN，在(*)式中再令x=(-ke)/2e，再得Cos (/2e)sin(k/2)=0所以sin(k/2)=0，因而k必是2的整数倍，设k=2n,nN，故e=2m/ 2n=m/n,这与e是无理数矛盾！3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 前往 终了

22、 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: 2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 前往 终了 指数函数机动 目录 上页 下页 前往 终了 例1 若f是(-a,a) 上的奇函数，并且有反函数f -1，那么 f -1(x)也是奇函数。证: 因对任意x(-a,a), 有f (f -1(-x)= -x, 于是 x= - f(

23、f -1(-x)=f (-f -1(-x) 即对任意x(-a,a)有 f -1(x) =f -1(f (-f -1(-x) )= -f -1(-x)所以所以f -1是奇函数。是奇函数。(2) 复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且那么Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 前往 终了 复合映射的特例 u 称为中间变量. 留意: 构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函数链函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .

24、可定义复合机动 目录 上页 下页 前往 终了 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv机动 目录 上页 下页 前往 终了 例2 设f: RR严增, f -1是其反函数,x1是f(x)+x=a的根,解: 因f(x1)+x1=a， f -1f是恒等映射知， f -1f(x1)=x1 f(x1)+f -1f(x1)=a x2是f -1(x)+x=a的根,试求x1+x2的值。 此即表明，f(x1)是方程f -1(x)+x=a的根。 但由于f严增，可知f

25、 -1+x也严增,所以方程f-1(x)+x=a 有根必唯一.故f(x1)=x2,因此 x1+x2=x1+f(x1)=a。机动 目录 上页 下页 前往 终了 例3 假设 f -1是f 的反函数,y=f -1(-x)是y = f(-x)的反函数,解: 令g(x)= -x, 则y=f -1(-x)就是f -1与g(x)的复合函数，即 f -1(-x)=f -1(g(x)=(f -1g)(x) 试证f (x)是奇函数。 同理， f(-x)=f(g(x)=(f g)(x)。 按题设条件，f -1g与f g互为反函数，因此 f g=(f -1g)-1=g-1f 即对任意x(-a,a)有 f(-x) =f

26、g(x)=(g-1f)(x) = g-1(f(x)=-f(x)所以所以f是奇函数。是奇函数。4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0)上的任意函数上的任意函数f都可以表示成奇函数与偶函数之

27、和的形式。分析分析:假设f可以表示成奇函数与偶函数之和的形式，根据条件把这两个函数“找出来”。( )( )( ), f xF xG xxa a ()( ),()( )FxF x GxG x 故)(xf可以表示成奇函数与偶函数之和的形式。 令()( )( )fxF xG x 机动 目录 上页 下页 前往 终了 其中于是（1）（2）联立式(1)与(2)，解得11( ) ( )(),( ) ( )()22F xf xfxG xf xfx 在上述证明中在上述证明中,F(x)和和G(x)这两个函数是通过分析这两个函数是通过分析找找出来的，而不是在证明时直接“拿出来的，这种构造性的证明思路在数学分析中是常

28、见的。它是解决初学者“为什么你能想得到，而我却想不到的这种疑问的很好的解题方法。假设( )( )2 () ()22xyxyf xf yff证明留给大家做练习。 机动 目录 上页 下页 前往 终了 上题的结论可用来判断一类函数的奇偶性，其原理为设 f 可表成奇、偶函数之和的形式f(x)=F(x)+G(x),然后再用题目给定的条件证明其中的F(x)=0或G(x)=0。例 对x,yR, f (x+y)=f (x)+f (y), 证明f(x)为R上的奇函数。，那么 f (x)是偶函数。 3 . 设函数设函数),(, )(xxfy的图形与,ax 均对称, 求证)(xfy 是周期函数.)(baby证证:

29、由 )(xaf)(xf的对称性知),(xaf )(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)(axaf)2(xaf)2(bxabf)2(bxabf)(2abxf故)(xf是周期函数 , 周期为)(2abT机动 目录 上页 下页 前往 终了 4 . 求函数求函数244( )sinsincosf xxxx的周期。解解:311cos2(1 cos4 )224xx222221 cos2( )(sincos)2sincos2xf xxxxx5/4的周期为任意大于零的实数,cos2x的周期为,Cos4x的周期为/2，它们的最小公倍数为，故f(x)的周期为。( )1cos3sin23xxf x 类似可求函数

30、的周期。 机动 目录 上页 下页 前往 终了 511cos2cos4424xx 5 . 若函数若函数( )/f xx在(0,+)上单调增加，那么f(x1)+f(x2) f(x1+x2)解解:( )( )/ ,g xf xx类似可求证：机动 目录 上页 下页 前往 终了 121122112212( )()( )()()()f xf xx g xx g xx g xxx g xx设由题设知g(x)在(0,+)上单调增加于是对x1,x2(0,+),且x11时，f (x)0, 证明 f 在R+上是增函数。 数学分析中的几个重要不等式数学分析中的几个重要不等式1.| |ababab证：机动 目录 上页

31、下页 前往 终了 三角不等式对任意实数a和b, 都有|a baba b 所以所以222222|2|2|2|aa bbaabbaa bb开方后就得到上述不等式。因为对任意实数a和b, 都有机动 目录 上页 下页 前往 终了 证：当n=1或h=0时，不等号显然成立(且等号均成立)21(1)11 (1)(1)(1)(1)nnhhhhh 121()()nnnnnabab bbaa2. 伯努利(Bernoulli)不等式设h -1, nN+, 则成立(1)1nhnh 其中等号仅在h=0时成立。当n1和h 0时，将(1+h)n-1作因式分解，得到 若若h0, (1)式方括号内的每一项都大于或等于式方括号内的每一项都大于或等于1,因此就有当-1h0时，(1)式方括号内的每一项都小于或等于1(1)1nhnh 而方括号中表达式之和小于n,由于hv基本初等函数 (一)幂函数的图形 同一坐标系中幂函数的图象同一坐标系中幂函数的图象)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (二)指数函数的图形 同一坐标系中指数函数的图象同一坐标系中指数函数的图象)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( (三)对数函数的图形 同一坐标系中对数函数的图象同一坐标系中对数函数的图象)1, 0(log aaxyaxya