圆的方程与性质专题教师版

1、圆的方程及其性质专题1.知识点：圆的定义：动点到定点的距离相等的所有点的集合圆的标准方程：222222xy=r(x-a)(y-b);r圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0其中，D2+E24F0圆心坐标(2，-),半径LD2+E24F222方程Ax2BxyCy2DxEyF=0A=Cw0表示圆的充要条件：B=0_2_2一D+E-4AF0圆的参数方程关于参数方程与普通方程x=f(t)(1)即对于曲线上任意一点的坐标M(x,y)都是某个变数t的函数，y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组为这条曲线的参数方程，联系x、y之间的变数t称为

2、参变数，简称参数。点与圆的位置关系若圆方程为x2+y2=r2点(x0,y0)则x2+y2r2点(x0,y0)在圆外x2+y；=r2点(x,y)在圆上x=rcos9y=rsinu圆心(0,0),半径rx=arcos?y=brcos?圆心(a,b),半径rx2+y；r2点(x,y)在圆内直线与圆设圆的方程为f(x,y)=0,直线方程为Ax+By+C=0,圆心到直线Ax十By+C=0的距离为d,圆心半径为rf(x，y)=0ru相离 u无解AxByC=0d=rud=ru 相切 uFuF(x(x y)y)= =有唯一解AxByC=0drudru 相交 uJuJ(x(x，y)y)- -0 0有两解AxBy

3、C=0弦长公式、切线方程：圆与圆的位置关系设圆心距为d,两圆半径分别为ri和2,dar1+r2y相离d=r1+r2u外切|r1r2|dr1+r2u相交d=|r1r2启内切d|r1r2|u内含典型例题】例1.求过点A(2,3),B(-2,5)且圆心在直线x2y3=0上的圆的方程解法 1 1：设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(2-a)2+(-3-b)2=r2,由条件知？(-2-a)2+(-5-b)2=r2,a-2b-3=0得2a+b+4=0，由，得a=1,b=2,：r2=i0,即所求的圆方程为(x+i)2+(y+2)2=10解法2：由已知条件知圆心为AB的中垂线与x-2y-3=0

4、的交点，且kAB1=2，AB中点为(0,-4),AB中垂线方程为2x+y+4=0事2x+y+4=0,/曰x=1,由得x-2y-3=0,y=-2,圆心为(_1,2),r2=(2+1)2+(4+2)2=10,;所求的圆的方程为(x1)2(y2)2=10小结：解法1利用了待定系数法，解法2利用了圆的几何性质。这两种方法在解析几何中经常用到，要注意选择恰当的方法。例2.已知ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,5),求ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径。解法1:设乙ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,有1+16+D+4E+F=0,r.点P在圆外.说明：本题利用两

5、种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例4当m为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切、相离.分析一(判别式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0=4m(3m+4)当4=0时，得m=0或m=-4时，直线与圆相切.3当。时将m0或mv-4时，直线与圆相交.3当v0时，得-4vmv0时，直线与圆相离.3分析二(几何法)由已知得圆心坐标为(2,1)半径r=

6、2,圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0Rm-l-m-1|m-2.1m2.1m2，一 r 一八4一一当d=2时，即m=0或m=-时，相切34当d2时，即-rmv0时，相离34当dv2时，即m0或mv-时，相父3例5已知圆O:x2+y2=4,求过点P(2,4)与圆O相切的切线.解：点P(2,4六在圆O上，切线PT的直线方程可设为y=k(x2)+4根据d=r34一.3所以y=(x2)+4即3x4y+10=04因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入

7、圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解).运用x0 x+y0y=r2,求出切点坐标x。、y0的值来解决，此时没有漏解.-2k+4,1k2=2解得例6.自点P(3,3)发出的光线l经x轴反射，其反射线所在直线正好与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程解法1：将已知圆方程化为(x-2)2+(y-2)2=1,易知P(-3,3)关于x轴的对称点P(4,-3)在反射光线上，设反射线所在直线的方程为y+3=k(x+3),即kx-y3k-3=0由点到直线的距离公式得12k12k一2 2+ +3 37 7=1,=1,解得匕=4,=4,k k2得反V1k21324射光线的方程为-x-y

8、+1=0或x-y-=0344由于入射线与反射线关于x轴对称，故所求光线l的方程为4x+3y+3=0或3x4y-3=0解法2 2：已知圆c的标准方程是(x2)2+(y2)2=1,它关于x轴的对称圆c的方程为(x2)2+(y+2)2=1,设光线l所在直线的方程是y3=k(x+3)(其中斜率k待定)。由题设知对称圆的圆心C(2,2)到这条直线的距离等于1,即d=5k+5I=1整理得12k2+25k+12=0,.k=-3,或-4,1k243:所求的直线方程是y-3=-(x+3)或丫一3=4(x+3)43即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0例7已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2

9、m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR)(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.(2)求直线l被圆C截得的弦长最短的长度及此时的直线方程.分析若按常规思路只须证圆心O(1,2)到直线l的距离恒小于半径即可.但注意到直线l的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0,则可知直线l恒过定点(3,1),如果该定点在圆内，问题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=525.点(3,1)在圆内这样，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线l过定点M(3,1),且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|的距离=2.还可以IMO|=(31)2十(12)2

10、=近且r=5.弦长=2725-5=451“212m121止匕日k|=.-=-1=2koMm11-3.m=-3 3代入直线l得方程2x-y-5=04例8设点P(x,y)是圆x2+y2=1是任一点，求u=y二2的取值范围x1分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y,转化为三角问题来解决解法一：设圆x2+y2=1上任一点P(cos6,sin6)则有x=cos8,y=sinOew0,2n)sinu-2u=,ucost)+u=sin8-2-ucos6sin8=(u+2).cos?1即4u2+1sin中)=u+2(tan9=u)又.sine邛)E1.u u+ +2 2 工1解之得：uE3.Ju2+14

11、4分析二：u=YN的几何意义是过圆x2+y2=1上一动点和定点(-1,2)的连线的斜率，利用此直线x1与圆x2+y2=1有公共点，可确定出u的取值范围.y-222解法一：由u=7得：y2=u(x+1),此直线与圆x+y=1有公共点，故点(0,0)到直线的x1距离d1.一3E1解得：u4另外，直线y2=u(x+1)与圆x2+y2=1的公共点还可以这样来处理y2=u(x+i)2222由22消去y后得:(u+1)x+(2u+4u)x+(u+4u+3)=0,.sin(1-:)=(u2).u21u2u21x2+y2=12.2.223此方程有头根，故A=(2u+4u)-4(u+1)(u+4u+3)之0,解

12、之得：u,贝Ud=x2y2=96cos-cos2-168sin-sin2-.4=26+6cos8+8sin6=26+10cos(S巾)(其中tan4=-).3所以dmax=26+10=36,dmin=2610=16.(法2)圆上点到原点距离的最大值d等于圆心到原点的距离d1加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1.所以d1=32421=6.d2=-3242-1=4.所以dmax=36-dmin=16.例10圆(x3)2+(y3)2=9上到直线3x+4y11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线ll2的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：

13、圆(x3)2+(y3)2=9的圆心为O1(3,3),半径r=3.3x3+4x3-11设圆心O1到直线3x+4y11=0的距离为d,则d=,=23.3242如图，在圆心O1同侧，与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线1与圆有两个交点，这两个交点符合题意又r-d=32=1.与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.m11设所求直线为3x+4y+m=0,则d=1=1,22,3242，m+11=5,即m=6,或m=T6,也即l1:3x+4y6=0,或l2：

14、3x+4y16=0.22设圆O1:(x3)+(y3)=9的圆心到直线11、12的距离为dd2,则.11与。1相切，与圆。1有一个公共点；12与圆。1相交，与圆。1有两个公共点.即符合题意的点共3说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解.圆O1至U3x+4y11=0距离为1的点有两个显然，上述误解中的d是圆心到直线3x+4y-11=0的距离，dr,只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.d1=|3父3+4父3-6,32423,3x3+4x3-16d2、3242设圆心O1到直线3x+4y11=0的距离为d,则d313+4；311|%3242=23.到一条直线的距离等

15、于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断变式：圆x2+y2+2x+4y一3=0上到直线x+y+1=0的距离为J2的点共有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：把x2+y2+2x+4y_3=0化为（x+1f+（y+2f=8,圆心为（1,2）,半径为r=2-2,圆心到直线的距离为夜，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2,所以选C.例11自点A（-3,3放出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆22C:x+

16、y4x4y+7=0相切（1）求光线l和反射光线所在的直线方程.（2）光线自A到切点所经过的路程.分析、略解：观察动画演示，分析思路.根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为（-3,-3）,其次设过A的圆C的切线方程为用图3y=kx3-3根据d=r,即求出圆C的切线的斜率为,4.3k=或k=一34进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x-3y+3=0或3x-4y-3=0最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0222光路的距离为AM,可由勾股定理求得AM|=|AC-CM|=7.说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解.又P、Q在直线x+

17、2y3=0上,1_、1_、1W丫2=2(3x1)3(3x2)=793(x1+x2)+xx2.m12将代入，得y1y2=m_J25将、代入，解得m=3,代入方程，检验A。成立,m=3.解法二：由直线方程可得3=x+2y,代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0,有221m2x2+y2+-(x+2y)(x-6y)+(x+2y)2=0,39整理，得(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0.由于x#0,故可得(4m-27)(、)24(m-3)Y12m=0.xx例12已知圆x2+y2+x_6y+m=0与直线x+2y3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP_LOQ,求实数m的值.分析：设P

18、、Q两点的坐标为（x1,y1）、（x2,y2）,则由kOPkOQ=-1,可得x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为y,由直线l与圆的方程构造以xY为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出kOPkOQ的值，从而使问题得以解决.x解法一：设点P、Q的坐标为（xi,yi）、（x2,y2）.一方面，由OP_LOQ,得koPkoQ-1,即Xx1V21=1,也即：x1x2+y1y2=0.x2另一方面，（xi,yi）、（x2,y2）是方程组x+2y3=022的实数解，即x1、x2是方程x+y+x6y+m=025x210 x4m-27=0 x1+x2=-2

19、,x1x2=4m-27行5 koP,%Q是上述方程两根.故koPkoQ=_1.得12m=-1,解得m=3.4m-27经检验可知m=3为所求.说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在.解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于_y的二次齐次方程，x虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感.强化提升：A组一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围

20、是()A.-3a7B.-6vav4C.-7a3D.-21a0)相切，则实数r的值等于()A.学B.10.2D.25.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于()A.8B.40.2、2D.4.2、填空题6.过点P(2,1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为.7.设集合m=(x,y)|x2+y225,N=(x,y)|(x-a)2+y29,若MUN=M,则实数a的取值范围是.8.已知P(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是,过点P的最长弦所在直线方程是.三、解答题9.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP，OQ(O是原点)，求m的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+V4-x2有两个不同的交点，求实数k的取值范围.B组一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是()A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)