集合知识点归纳

1、事合知识点归纳ompany Document number : WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998高中数学第一章-集合考试内容:集合、子集、补集、交集、并集考试要求:(1) 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包 含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合集合知识要点一、知识结构：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分：二、知识回顾:(-)集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确

2、定性、互异性、无序性.集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为AyA； 空集是任何集合的子集，记为OuA； 空集是任何非空集合的真子集；如果AqB,同时BA,那么A=B.如果AqB, BuC,那么4yC.注:Z=整数 (V) Z二全体整数 (x) 已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(x)(例:S=N ； A=N+, 则 QA=0) 空集的补集是全集. 若集合/1=集合 3,则(M=0, C" = 0 Cs (Ca5) =D (注：Ca5 = 0)3(兀y) lxy=o, xER, yER坐标轴上的点集.0(兀 y) lxy<0, xER, yER 二、

3、四象限的点集.®(兀 y) Lry > 0, xER,/?-、三象限的点集.注:d)对方程组解的集合应是点集.例:.解的集合】)2x_3y = 1点集与数集的交集是 0.(例:A=(x. y)y=x+l B=yly =x2+l贝 ljAAB=0)4. Q为个元素的子集有2”个.刃个元素的真子集有2” -1个刃个元素的非空真子集有2" - 2 个.5. (1) 1 个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真否命题O逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真原命题O逆否命题.例：若a + h 5,则a h 2或b h 3应是真命题.解：逆否：(匸2且” =3,贝a+b =

4、5,成立，所以此命题为真.2. x h 1 llv H 2, x + y 工 3.解：逆否:x + >' =3 Qx = 1 或 y 二 2."工1且，工2 *x + y = 3,故x+y工3是xhI且y h2的既不是充分，又不是必要条件.(2) 小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3. 例:若xa5, =>»>5或心2.4. 集合运算：交、并、补.【并集】在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包 含其他元素。基本定义：若A和B是集合，则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而没有其他元素的集合。A和B

5、的并集通常写作"AUB"O形式上：x是A UB的元素，当且仅当x是A的元素，或x是B的元素。举例:集合1,2,3和2,3,4的并集是1,2, 3,4。数字9不属于素数集合2, 3, 5,7,11，)和偶数集合2, 4, 6,&10,的并集，因为9既不是素数，也不是偶数。更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A, B和C的并集含有所有A的元素，所有B的元素和所有C的元素，而没有其他元素。形式上：x是A UB UC的元素，当且仅当x属于A或x属于B或x属于Co代数性质：二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算，即AU(BUC) = (AUB)UCO事实上，AUB

6、UC也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略匚相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。空集是并集运算的单位元。即 UA = A;对任意集合A。可以将空集当作零个集合的并集。结合交集和补集运算，并集运算使任意屛集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配 律，而且这三种运算满足德摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔 环。咬集】数学上，两个集合A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的 隼厶口 OA和B的交集写作"A GB"。形式上：x属于A AB当且仅当x属于A且x属于Bo例如:集合1,2,3和2,3,4的交集为2

7、,3。数字9不属于素数集合2, 3,5,7, 11和奇 数集合1,3,5,7,9,11的交集。若两个集合A和B的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合A, B. C和D的交集为AABncnD =aa（b n（c ad）o 交集运算满足结合律，即 a n（Bnc）=（AnB）nco最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。若M是一个非空集合，其元素本身也是集 合，则x属于M的交集，当且仅当对任意M的元素A, x属于A。般地，设S是一个集合、A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中 子集A的补集（或余集）记作CsA.

8、在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集C1：若人，B, C是集合，则下列恒等式成立：C (A AB) = (C A) U(C B)C (A UB) = (C A) n(C B)C (B A) = (A AC) U(C B)(B A) nC = (B AC) A = B n(C A)(B A) UC = (B UC) (A C)A A =A =A = A若给定全集u,则A在U中的相对补集称为A的绝对补集(或简称补集)，写作AC,即：AC = U A与补集有关的运算规律求补律AUCsA=SA DCsA二集合的性质：确定性：每一个

9、对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学"“很小的数”都不能构成集合。互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成1, 1, 2),应写成1, 2。无序性：a,b,c)c,b,a是同一个集合。集合有以下性质：若A包含于B,则AnB=A, AUB=B集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。1, 2, 3,2描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。xIP

10、(x为该集合的元素的一般形 式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于口的正实数组成的集合表示为：XIOVXVTT 3图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表 示一个集合。常用数集的符号：(1) 全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N(2) 非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+ (或N*)(3) 全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4) 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q(5) 全体实数的集合通常简称实数集，记作R(6) 复数集合计作C5. 主要性质和运算律(1) 包含关系°人U A，U AM U A u S

11、(2) 等价关系：AB>ACB = AAJB = BCUAJB = U(3) 集合的运算律：1交换律AQB 二 BQAAUB 二 BUA2结合律(AAB)nC=An(BAC) (AUB)UC=AU(BUC)3 分配律An(BUC)=(AAB)U(AnC)AU(BAC)=(AUB)n(AUC)2德摩根律Cs(A A B)=CsA U CsBCs(AU B)=CsA ACsB列举法和描述法是表示集合的常用方式。吸收律AU(AAB)=AAA(AUB)=A求补律AUCsA=SA DCsA二(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法(零点分段法)将不等式化为a0(x

12、-X1) (x-x2)-(x-xJ>0«0)形式 并将各因式x的系数化“+” ；(为了统一方便)(2)求根，并在数轴上表示出来；(由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么)；若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”，则找“线"在x轴下方的区间.(自右向左正负相间)则不等式勺対+*2 +鶴>0(<0)(如>0)的解可以根据各区间的符号确定.特例|一元一次不等式ax>b解的讨论；一元二次不等式ax2+box>0 (a>0)解的讨论.二次函数(a >0)的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R2分式不等式的解法(1)标准化：移项通分化为4>0(或厶10)； m $0(或卫W0)的形式, g(x)g(x)g(x)g(x)转化为整式不等式(组)S>0o/(x)g(x)>0;Sn0o/f悝皆° g(x)g(x)1"."U3. 含绝对值不等式的解法(1) 公式法:ct