24全国初中数学竞赛辅导(初2)第24讲-整数的整除性

1、第二十四讲* 整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的1整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下定义设a，b是整数，b0如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作ba如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若ba，cb，则ca性质2若ca，

2、cb，则c(a±b)性质3若ca，cb，则c(a±b)性质4若ba，dc，则bdac性质5若a=bc，且ma，mb，则mc性质6若ba，ca，则b，ca(此处b，c为b，c的最小公倍数)特别地，当(b，c)=1时，bca(此处(b，c)为b，c的最大公约数)性质7若cab，且(c，a)=1，则cb特别地，若p是质数，且pab，则pa或pb性质8若ab，n是自然数，则(a-b)(an-bn)性质9若a-b，n是正偶数，则(ab)(an-bn)性质10若a-b，n是正奇数，则(ab)(anbn)2证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法

3、；(3)按模分类法；(4)反证法下面举例说明例1证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)21=12(n2n1)所以12(2n-1)2(2n1)2(2n3)2又n2+n1=n(n1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2n+1是奇数，故24 (2n-1)2+(2n+1)2(2n3)2例2若x，y为整数，且2x+3y，9x5y之一能被17

4、整除，那么另一个也能被17整除证设u=2x3y，v=9x5y若17u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x所以 173v因为(17，3)=1，所以17v，即179x5y若17v，同样从式可知175u因为(17，5)=1，所以17u，即172x3yq1求pq的值解若p=q，则不是整数，所以pq不妨设pq，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5所以pq=3×5=15例4试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数最小的一个：y(y2x)，所以y2x，于是数两两互质，所以x=1 所求的

5、三个数为1，2，3例5设n是奇数，求证：606n-3n-2n-1分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可对于幂的形式，我们常常利用性质8性质10，其本质是因式分解证 60=22×3×5由于n是奇数，利用性质8和性质10，有226n-2n，223n1，所以226n-2n-3n-1， 36n-3n， 32n+1，所以36n-3n-2n-1，56n-1，53n+2n，所以56n-1-3n-2n由于22，3，5两两互质，所以606n-3n-2n-1我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即

6、被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k1，3k2这三类形式，这是按模3分类有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理例6若整数a不被2和3整除，求证：24(a2-1)分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k1，6k2，6k3，6k4，6k5这六类由于6k，6k2，6k4是2的倍数，6k3是3的倍数，所以a只能具有6k1或

7、6k5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k5写成6k-1(它们除以6余数均为5)证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2k(3k±1)，于是便有24(a2-1)例7求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除证按模2分类若n=2k为偶数，k为正整数，则3n1=32k1=(3k)21由3k是奇数，(3k

8、)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l1，于是3n1=8l2=2(4l1)4l1是奇数，不含有2的因数，所以3n1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除若n=2k1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k1+1=3·(3k)21 =3(8l1)1=4(6l1)由于6l1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证例8已知a，b是整数，a2b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除证用反证法如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3a，3b令

9、a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m23n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾(2)a，b两数都不能被3整除令a=3m±1，b=3n±1，则a2b2=(3m±1)2+(3n±1)2 =9m2±6m+1+9n2±6n1 =3(3m2+3n2±2m±2n)2，不能被3整除，矛盾由此可知，a，b都是3的倍数例9设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在证用反证法假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1所以与(a1，b1)=1矛盾例10设p，q均为自然数，且求证：29p证注意到29是质数令a=10×11××19所以 ap=29q·b，29a·p，29是质数，且29a，所以29p练习二十四1求证：对任意自然数n，2×7n1能被3整除2证明：当a是奇数时，a(a2-