第一章行列式

1、第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2.解(1)1101-4_1=2汉(_4)汉3 + 0汉(_1)汇(_1) + 1疋1汇883-0 13 -2 ( -1) 8 -1 (-4) (-1)二-24 8 16 _ 4 二-4a b c(2) b c a = acb+bac+cba-bbb-aaa - ccc cab=3abc - a3 - b3 - c3(3)1a2a1 1b c = bc2 + ca2 + ab2 - ac2 - ba2 - cb2 b2 c2=(a _ b)(b _ c)(c _ a)x(4) yx + y=x(x y)y yx(x y) (x y)yx -

2、y3 -(x y)3 - x3=3xy(x y) - y3 - 3x2y - 3y2x - x3 - y3 - x333、八2(x y )2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1) 1 2 3 4(3) 3 4 2 1(2) 4 1 3 2(4) 2 4 1 3(6) 13(2n - 1)(2n)(2n - 2)2.解(1)逆序数为0(2)逆序数为4: 4 1 ,43 ,4 2 , 32(3)逆序数为5: 3 2 ,31 ,4 2 , 41,2 1(4)逆序数为3: 2 1 ,41 ,4 3(5)逆序数为n(n - 1)23 21个5 2 ,5 42个7 2 ,7 4 , 7

3、 63个(5) 1 3(2n -1)2 4(2n);(2n - 1) 2 , (2n - 1) 4 ,(2n - 1) 6，(2n- 1)(2n - 2)(n- 1)(6)逆序数为n(n-1),(2n- 1) (2n - 2)(n- 1)(2n - 1) 2 , (2n - 1) 4 , (2n - 1) 6 ,(n - 1)个(2n) 2 , (2n) 4 , (2n) 6，(2n) (2n - 2)3.写出四阶行列式中含有因子 引代23的项解 由定义知，四阶行列式的一般项为1)taipia2ft2a3p3a4p4，其中 t为 P1P2P3P4的逆序数.由于 5=5 = 3 已固定，p1 p

4、2 p3p4只能形如13，即卩1324或1342.对应的t分别 为0 010 = 1 或 0 002=2412解(1)12010520114.计算下列各行列式:4 0 c4 - 75 1070210022-1410-12304-1-104-110122 汇(1)4七=12-2103-1410314C2C399100 0 2 =017 1714214121403121C4 一 93-1221232123050625062-ab214021403-1224 - A3-1221230123021400000aeb ceac=adf bde-cebdbf-cdcf=adfbce 1-ef1-1=4ab

5、cdef-100b-10c-1=(1)(D21=(-1)( -1)3 2a1 ab1 cdad 1c-11 ab-102 2 b aad1 + cd05.证明:(1)左边-2a1ab - a2ba02b - 2a0M-1)ab - a2bab22b - 2aa b + a3,= (b-a)(b-a)= (a - b)=右边1 2xay + bzaz+ bxyay + bzaz+ bxyaz + bxax + by+ bzaz+ bxax + byzax + byay + bzxax+ byay+ bz按第一列(2左边十axay+bzzyzaz +bx2 ayaz+bxx+ 0+0+ bzxax

6、 +byzax+byyxyay +bz分别再分xyz分别再分 3ayzx+ b3zxyxyzzxxyzxyz3 ayzx+ b3yzxzxyzxyxy2(1)2右边2a(2a1)(2b 1)(2c 1)(2d1)2b 12c 12d 1(a 3)2 (b 3)2 (c 3)2 (d(a 2)2 (b 2)2(c 2)22)26a + 9(d3)24a 44b 44c 46b+ 96c + 94d6d + 94a 44b 44c 444d6a + 96b + 96c6d2ab22cd24a 44b 44c 44d 424Ca a 4 9a21 4a 6ab2b 4 9+b21 4b 6bc2c

7、4 9c21 4c 6cd2 d 4 9d21 4d 6d二 0第一项5 - 4c2c4 6c2c _ 4c2第二项c4 一 9c26a+ 96b+ 96c + 96d + 91000左边ab-ac -ad-a_ 2.2222.22ab-ac -ad-a4444.44ab-ac -ad-ab-ac -ada.2222.22b -ac -adab2(b2-a)c(c2a2)d2(d2-a2)111(b-a)»(ca)(d-a)b +ac+ ad + ab2(b+ ai) c2(c + a)d2(d+a)=(b _ a)(c _ a)(d _ a)1 0 0b + ac-bd-b2 2

8、2 2 2b (b + a) c (c + a)_ b (b+a) d (d + a)_b (b+a)=(b _ a)(c _ a)(d _ a)(c_ b)(d _ b)1 12 2 2 2(c + be + b ) + a(c + b) (d + bd + b ) + a(d + b)=(a - b)(a - c)(a - d)(b- c)(b - d) (c- d)(a b e d)(5)用数学归纳法证明x 1当n = 2寸,D2 = x2 + a1 a2,命题成立.a2 x 十 aq假设对于(n - 1)阶行列式命题成立，即%一厂 xn 盼"2ax a则Dn按第1列展开：Dn

9、 二 XDn 為(-1)" 1所以，对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D = det（aj ,把D上下翻转、或逆时针旋转90、或an1annam annanna1n9，D2 =a，D3 aan a1nanan1an1a11依次得n（n）D1 =依副对角线翻转，证明二（一1）DE证明D = det(aij)an1anna=（一1严anan1a1nannaana1 na21a2na11D1a1na21(1)2(1严a2nanna31a11a3na1n(-1)2(-1)2 (1)n(n_1)(1)1 2(2) (2) D = (_1) 2 Dn(n J)同理可证D2 = (-1) 2

10、a11an1n(n-1)n(n-1)(-1) 2 D (-1) 2 Da1 nannn(n J)n(n J)D3 十1)n(n )(-1) 2 (1)D = ( 1)n(n1)D = D7.计算下列各行列式Dk为k阶行列式）：.解Dn（再按第一行展开按最后一行展开(nJ) (n_1)（廿(n_1)(n_1)十 1)n1 (1)nn -2n -22a (a - 1)(n2)(n2)（2）将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得Dnx (n - 1)aaaa0x - a0000x - a0000 0x - a再将各列都加到第一列上，得Dn二X (n -1)a(x a)n1 从第n 1行开始，第n 1

11、行经过n次相邻对换，换到第1行，第n行经（n - 1）次对换换到第2行，经n （ 1）1 = n（； 1）次行交换，得111aa Ta - n - n -A a(a-1)z.、n/(a - n)n a(a-1)n(a-n)nn(n 1)Dn 厂(T)2此行列式为范德蒙德行列式n( n 1)Dm 十1) 2 it (a i 1) (a - j 1)n州注Aj色n(n J)n(n 1)n (n“ 亠1= (T) 2 H (i - j)(1) 2(1)2 IT (- j)n1 _i .j _1n亠1.j_1it (i - j)n ij ianbn(4) D2naibiCidi按第一行展开anCndn

12、an Jbn_iaibidiCn _idn_idnan -1( i)2n 'bnai都按最后一行展开CidiCn -1andnD2n-2 - bnCn D 2n2dn-i由此得递推公式:D2n 二(andn 一nD2n m (aid： - biCD2idD2na1bid1=a1d1(aidibcji =10123-n -11012¥-n- 22101¥n- 3Dn =det(aj)=3210n - 4n -1n -2n-3n - 4-0-11111-1-11111 -r-1-1-111C2+ G,C3 + G2 - r3,-1-1-1-1 1C4 + G,n -1n

13、 -2n - 3n-40-1000-0-1-2000-1-2-20-0=(一1)n1(n-1)22-1-2-2-20n -12n -32n - 42n-5n -11 511-j(5)11a21(6) Dn1an-a200a2- a30a3-a4按最后一列展开（由下往上）- an_10and-anana1(1 an)(aa2and) _a200a2-a20a2-a3a3-a30a3-a4-a20a2-a30a3-a4-an/0an4-an-and0anX-an=(1an-i)aQ2=(aan)(1n 1-)i ai+an -3an -2an- and0a?a3an_20an-an111101-2

14、300-13800-51411D1-1-3-1-5-51-5-1_ 905090-13-3-2301211012111-5-1_ 90121105090-13-3-23012111_ 5-1-9012110010-46002312015111- 51- 90 1 2 11 =-14200-138000142D2 150-121111111112-1401-23(1) D 二=2-3-1-50-5-3-7312110-2-188.用克莱姆法则解下列方程组:解111 10 1-23=1420 0-1- 540 00142151115110-1320119003931000

15、-284302110-15- 12-24-3-2-51011134265600015600D =015600015600015按最后一行展开560015605D -015000161115D4 =12-1-22-3-1-23120142冬宀1,X2 -2 _ 2 ,X3=3,X41DD=5D - 6D二 5(5D - 6D ) - 6D 二 19D - 30D= 65D114D=65 佃 114 5 = 665（D为行列式D中%的余子式,D为D 中 an的余子式,D ,D类推）1 60 5D1 = 010 00 0 06 0 05 6 0156按第一列展开6D"5100 0 06 0

16、 05 6 0156=D64 二佃D - 3064 二 1507510001600500010600按第二列05601600D2 =00560 展开015605600015600150156010155 6 0315 6 - 5 汉 6 = -65 - 1080= -11450 150按第三列展开0061 6 00 5 6+ 60 150116515010 二佃 6 114 二 70315D4 = 010 00 0按第四列展开15 6 0015 00 0 160 0 0 55 6 0 015 6 00 15 00 0 165 6 0= 5 615 6 = -3950 1515600156D = 1211 = 21200150001按最后一列 展开1507 _ 6651145703-395212X4 _ 665X4 一 665N 十 x2 + x3 = 09问-取何值时，齐次线性方程组 X- "x2 x3 = 0有非零解?Xq + 2