《选修11：导数的应用：恒成立问题、存在性问题》教案

1、.适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版课时时长（分钟）2课时知识点1.恒成立问题 2.存在性问题教学目标1. 能利用导数熟练解决恒成立问题 2. 能利用导数熟练解决存在性问题教学重点分辨恒成立问题、存在性问题教学难点理解最大最小值成立【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法： 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在

2、局部对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值(4)可用函数的单调性求f(x)在区间上的最值，若f(x)在a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)，若f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值二、知识讲解考点1 恒成立问题（1）恒成立问题的转化：恒成立；（2）能成立问题的转化：能成立；（3）恰成立问题的转化：在

3、M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.（4）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；（5）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；考点2 存在性问题（1）设函数、，对任意的，存在，使得，则（2）设函数、，对任意的，存在，使得，则。（3）设函数、，对任意的，存在，使得，则在上的值域M是在上的值域N的子集。即：MN。（4）设函数、，存在，存在，使得，则（5）设函数、，存在，存在，使得，则三 、例题精析类型一 恒成立问题例题1已知函数，其中，对任意，都有恒成立，求实数

4、的取值范围；【解析】由成立，只需满足的最小值大于即可对求导，故在是增函数，所以的取值范围是 【总结与反思】 在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的，尤其是最值的求解过程中，一定会涉及到极值的求解部分，所以也可以说：极值不一定是最值，但是最值一定是极值。例题2已知f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，f(x)取得极值2(1)求f(x)的解析式；(2)证明对任意x1、x2(1，1)，不等式f(x1)f(x2)4恒成立解：(1)由f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，知f(0)0，解得d0，所以f(x)ax3cx(a0)，f(x)3ax2c(a0)由当x1时，f(x)取

5、得极值2，得f(1)ac2，且f(1)3ac0，解得a1，c3，所以f(x)x33x(2)令f(x)0，解得x1，或x1；令f(x)0，解得1x1，从而函数f(x)在区间(，1)内为增函数，(1，1)内为减函数，在(1，)内为增函数故当x1，1时，f(x)的最大值是f(1)2，最小值是f(1)2，所以，对任意x1、x2(1，1)，|f(x1)f(x2)|2(2)4【总结与反思】 在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的，尤其是最值的求解过程中，一定会涉及到极值的求解部分，所以也可以说：极值不一定是最值，但是最值一定是极值。类型二 存在性问题例题1已知，函数，设在上是单调函数，求的取值范围

6、【解析】根据题意，当时，在上为单调函数的充要条件是，解，综上，在上为单调函数的充要条件是，即的取值范围为。【总结与反思】 本题主要考查含参数的单调性，在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。例题2已知函数存在单调递减区间，求的取值范围【解析】因为函数存在单调递减区间，所以有解.即能成立, 设.由得, .于是,由题设,所以a的取值范围是【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性，在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。四 、课堂运用基础1.当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .2. 设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为 3. 若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是_。 4.

7、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。答案与解析1. 【答案】 【解析】当时，由得.2.【答案】【解析】由方程可得，对于任意的，可得，依题意得。3.【答案】【解析】由不等式可得，由线性规划可得，由函数单调性得最大值为。xy034.【答案】【解析】画出两个函数和在上的图象如图知当时，当，时总有所以巩固1. 不等式有解，则的取值范围是 2. 已知两函数，对任意，都有成立，求实数的取值范围；3. 已知两函数，存在，使成立，求实数的取值范围；4. 已知两函数，对任意，都有，求实数的取值范围；5.已知两函数，存在，都有，求实数的取值范围；答案与解析1. 【答案】【解析】原不等式有解有解，而，所以。2.【

8、答案】【解析】 设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，由，得。3.【答案】【解析】 据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，知，于是得。4.【答案】【解析】 它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：。 ，在区间上只有一个解。，即.5.【答案】【解析】存在，都有，等价于，由(3)得，拔高1.设函数.（）求函数的单调区间和极值；（）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。2.设 ，且 （ 为自然对数的底数）（1）求 与 的关

9、系；（2）若 在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；答案与解析1. 【答案】见解析.【解析】（）令得的单调递增区间为 令得的单调递减区间为 和 当 时，极小值=当 时，极小值= . （）由 ，得 .上是减函数. 于是，对任意，不等式恒成立，等价于又2. 【答案】见解析.【解析】（1） 由题意得 而，所以（2）由 知 ，令，要使在其定义域 内为单调函数，只需 在 内满足： 或 恒成立. 当时，所以在 内为单调递减，故； 当时，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，只需，即 时， ， 在内为单调递增，故 适合题意. 综上可得，或 .五 、课堂小结高考中对导数在函数上的应用要求很高，而且每年都有考题

10、，用导数证明不等式，一般以解答题的形式出现，综合性比较大，有难度，需要学生在学习过程中一定要突破这个难关，提供综合应用知识的能力。为了解决好下面的问题，我们一定要学好导数这一知识点，掌握它的研究问题的精髓，这样有利于更好的研究函数，提高做题的质量。本节课主要研究的内容为：（1）函数中含参数的单调性与最值（2）函数中的最值问题（3）用导数证明不等式六 、课后作业基础1对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。2存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为_。3.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22a

11、x1.答案与解析1.【答案】见解析.【解析】不等式即,设，则在-2,2上恒大于0，故有：或2.【答案】见解析.【解析】设，由有解，又，解得。3.【答案】见解析.【解析】(1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR，于是g(

12、x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.巩固1设函数，其中为实数若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围2.已知函数，当时，曲线与直线只有一个交点。3.设函数证明：当时，；答案与解析1【答案】见解析.【解析】令，考虑到的定义域为，故，进而解得，即在上是单调减函数同理，在上是单调增函数由于在上是单调减函数，故，从而，即.令，得当时，；当.又在上有最小值，所以.综上，的取值范围为2.【答案】见解析.【解析】当时，令，则，令，则，令，则，当时，递减，当时，递增；且。当时，在上递减；当时，在上递增；当时，；当时，单调递减，且，即当时，曲线与直线只有一个根。所以当时，曲线与直线只有一个交点。3.【答案】见解析.【解析】当时，令，则当时，