挖掘习题归类应用

1、挖掘习题 归类应用谈一道课本习题的拓展与应用拜泉县第三中学 董云峰课本中的习题都是经过精心选编的典型题，具有很强的代表性。在平时的教学和复习当中，如果能对其进行适度挖掘和整理，就会得到一些变式题组，它对学生熟练掌握基础知识、提高基本技能及综合运用能力，往往会起到事半功倍的效果。在人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十二章第二节“作轴对称图形”一节中有这样一道探究题：如图1，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 图1 图2这个题的解法并不难，如图2，作A点关于L的对称点A1，连结A1B交L于点P，则点P为泵站，为了证明点

2、P即为所求，我们不妨在直线上任取一点P1，连结AP1、A1P1、BP1，则有AP=A1P，AP1=A1P1， AP+BP=A1P+BP=A1B，在A1P1B中，A1BA1P1+BP1 A1BAP1+BP1 即AP+BP最短，这就是几何中的线段最短问题，这个问题中共涉及四个知识点：（1）轴对称的性质；（2）线段垂直平分线的性质；（3）两点之间线段最短；（4）三角形中两边之和大于第三边。这个结论的变式和拓展，在实际应用中及中考试题中经常出现，而且这个问题又是教学中的一个难点，学生应用起来难度较大，所以在综合复习时最好归类处理，这样有利于学生突破难点，掌握技巧。现从以下几个方面归纳如下：一、台球中的

3、撞击问题。如图3所示，在一个长方形的台球桌面上，有黑、白两球分别位于A、B两点，试问：怎样撞击黑球A，才能使A球先碰撞台边CD，反弹后再击中白球B？图3 图4 图5此题可作B点关于CD的对称点B1，连结B1A，交CD于点P，故击球线路为APB。若图3中的已知条件不变，试问：怎样撞击黑球A，才能使A球连续碰撞台边CD、CN，反弹后再击中白球B？如图4，作点A关于CD的对称点A1，作点B关于NC的对称点B1，连结A1B1，分别交CD、CN于点P1、P2，故击球路线为AP1P2B。台球撞击问题，就是线路最短问题的一个应用。二、饮马问题，如图5，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，再到河边

4、饮马，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。作点A关于MN的对称点A1，作点B关于L的对称点B1，连结A1B1，分别交MN、L于点P1、P2，故这一天最短的行走路线是AP1+P1P2+P2B。三、正方形中线路最短问题。如图6已知正方形ABCD的边长为8，M在CD上且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值。图6 图7解，连结BD，因为正方形ABCD是轴对称图，所以B、D两点关于直线AC对称，连结BM交AC于点N，此时DN+NM最小，且最小值为DN+NM=BN+NM=BM= = =10。 如图7，正方形ABCD的边长为6，M在CD的延长线上，且DM=2，P为AC上一动点，则PM

5、+PD的最小值是多少？此题是图6的一个变式，解略。四、菱形中的线段最短问题，如图8，已经菱形ABCD中，AB=6，BAD=60°，E是AB中点，P是对角线AC上一个动点，则PE+PB的最小值是多少？图8此题的的关键仍是确定P点位置，点B与D关于直线AC对称，连结DE交AC于点P，PB+PE=DE= = =3 。使用四制教材时，在一次县城初中联考中，笔者有幸成为命题教师，并将课本中的一道线路最短问题改编成一道试题。如图9，直线AB、CD相交于点O，AOC=30°,A、B是两个加工厂，OA=100米，B是OA的中点，现在要在公路CD旁建一个货仓P，以便于公路运输，为使PA+PB最短：（1）试用尺规作图确定货仓位置P（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）求PA+PB的最小值。图9此题脱离了四边形，换成了两条相交直线，但其综合性和难度要超出正方形和菱形，还能较好地考察学生对“线段最短问题”的应用能力。在实际教学中，教师对