异面直线及其夹角

1、异面直线及其夹角教学目标： 知识目标： 1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。2 、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角 能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。教学重点、难点 :重点： 异面直线所成角的概念 , 能求出一些较简单的异面直线所成的角。难点： 异面直线所成角的定义 , 如何作出异面直线所成的角。教学准备： 多媒体课件教学课时： 二课时教学过程：第一课时一、导入新课1引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线

2、不在同一平面内。 它们既不平行也不相交，这样的两条直线 有什么特点呢？2请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有 3 种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我 们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？） 。（板书课题）二、新课讲解前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过 前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相 交）。我们给它一个新的名称“异面直线” 。1 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。 2两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。 （如前面我们所说的两

3、个例子，同学 们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。3. 空间两条异面直线的画法。 如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其 特点）这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任 何一个平面的特征难以体现。 （今后我们也可以不用平面来衬托） 同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？4异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线。（这一过程主要老师进行分析，让学生完成证明过程，并及时进行改 正，完善证明过程）证明 ：（反证法）假设 直线 AB与l 共面

4、， B ,l ,B l ，点 B和l 确定的平面为 直线 AB与l共面于 ， A ，与A 矛盾，所以， AB与l 是异面直线归纳异面直线的三种判定方法：定义、 定理、 性质： （ 既不平行，也不相交 ） 。5异面直线所成的角：由动画引导启发学生如何寻找异面直线所成的角的大小， 同学们都知道两条相交直 线所成的角大小可以度量，那么两条异面直线的夹角我们如何求呢？（演示动画并让 同学们思考）用化归的思想，将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角 共有 4 个，两对对顶角， 这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应 该是那一个角）。已知两条异面直线 a,b ，经过空间任一点 O作

5、直线 a /a,b /b， a,b 所成的角的 大小与点 O的选择无关，把 a,b 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a,b所成的角（或 夹角）为了简便，点 O 通常取在异面直线的一条线上。 （强调：这不是唯一的方法） （ 这是根据平行线的性质定理；如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并 且方向相同，那么这两个角相等。 ）6同学们想一想两条直线在什么条件下是垂直，进一步提出问题，两条异面直线能 不能垂直呢？如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面 直线 a,b 垂直，记作 a b 7异面直线所成的角的范围： （0, 由动画演示得出异面直线所成的角的范围： （0, ，及

6、异面直线垂直的概念。（这一环 节主要是先让学生观察动画，然后让他们讨论异面直线所成角的范围）三、例题讲解例 1 在正方体 ABCD ABCD 中，E是 AB的中点，（1）求 BA/与 CC/夹角的度数 .（2）求 BA/与 CB/夹角的度数（3）求 A/ E与 CB/夹角的度数解：（1）由 BB /CC ，可知 BBA 等于异面直线BA 与CC 的夹角，所以异面直线 BA 与 CC 的夹角为 45（2）连结 CD/ ，B/D/ ，则 BA / CD/， B/ CD/等于异面直线 BA 与 CB/的夹角，由 CB/D/ 为等边三角形， B/ CD/=60OBA 与 CB/ 的夹角为 60O（3）

7、连结 A/D，DE，则 A/D/ CB /， DA/E等于异面直线 A/E与 CB/的夹角。设 AA/=2，AE=1，A/E=DE= 5 ，A/ D=2 2 ，在三角形 DA/ E中，DA/E=arccos 105DA/E=A/D2 /A/E2/ DE2 = 10 ，A/E与 CB/的夹角为arccos 102A/D.A/ E5总结出求异面直线所成的角的方法： （板书）（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线，这两条相交直 线所成的锐角（或直角）即为所求的角。（2）同时作两条异面直线的平行线，并使它们相交所成的锐角（或直角）即为所求 的角。（3）向量法：用向量的夹角公式求解

8、。（这一部分主要通过前面我们所学的向量知识 求解，教师分析出用向量求角的过程） 。（4）求异面直线的夹角的一般步骤是： “作证算答” 注：无论用哪种方法都应注意到异面直线所成角的范围。以及利用三角形中位线平 移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移。例 2、如图空间四边形 ABCD中，四条棱 AB，BC，CD，DA及对角线 AC，BD均相等， E为 AD的中点， F 为 BC中，（1） 求直线 AB和 CE 所成的角。（初步应用）解：（1）取 BD中点 M，连结 MC，ME，则 ME/AB， 角，取 ME中点 O，连结 CO，CM=C，E OC ME111设 AB=2， CM=CE

9、=3 ，OE=1 ME=1 AB=1 ，242CEM等于异面直线 AB和 CE的夹cosCEM=OE =CE 6（2） 求直线 AF和 CE 所成的角。（深化提高）直线 AB和 CE 所成的角 =arccos 3 6(2) 连结 FD, 取 FD中 N, 连结 EN,CN.则 NE/AF， CEN等于异面直线 AF 和 CE的夹 角。设AB=2，在 Rt NFC中， CN= 12 ( 3)2 = 713NE=1 AF= 3 ，CE= 3 ，在 NFC中，22cosCEN=CE2 EN 2 CN 22CE.EN2CEN= arccos32AF和 CE的夹角为 arccos 2 3请同学们思考：如

10、果上式中我们求出的cos CEN= -2 时，我们所求的夹角应该3等于多少呢？主要根据是什么？四、课堂练习 ： 正方体 ABCD ABCD 中（1） 正方体棱所在的直线中与直线 BA 是异面直 线有几条？ 答案 6 条（2） 方体棱所在的直线中与直线 CC/ 垂直的直线有 几条？ 答案 8 条2如图，正方体 ABCD ABCD 中E为 AB的中点，F为BC的中点， O为正方形A/B/ C/D/ 的中心。必做题：（1）求直线 A/E与 B/F 夹角的度数 答案（ arccos 4 ）5选做题: （2）求直线 A/E与 DO夹角的度数答案（ arccos10五、小结 这节课我们主要学习了两条异面直线的概念及它的判断方法， 明确了空间两条直 线的位置关系有三种，“平行、相交、异面” 。认真分析研究了异面直线夹角的概念， 夹角的范围， 扩充空间两条直线垂直的定义。能用平移的方法求异面直线的夹角和 用向量法求夹角的主要过程和它们各自所具有的特点和要求， 求异面直线的夹角的一 般步骤是：“作证算答”六、课后作业 ：课后作业：必做题： P 课本 15：3，4，5，7选做题：如图， A1B1C1-ABC是直三棱柱， D1，F1 分别是 A1B1， A1C1的中