生产计划问题2

1、数学建模与计算问题生产计划问题一、问题的提出已知某工厂计划生产 I 、 II 、III 三种产品，各产品需要在A 、 B、 C 设备上加工，有关数据如下：IIIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058400C21310420单位产品利润（千元）322.9试回答： (1) 如何发挥生产能力，使生产盈利最大？(2) 若为了增加产量，可租用别的工厂设备万元，租用 B 设备是否划算？B，每月可租用60 台时，租金1.8(3) 若另有二种新产品 IV 、V ，其中新产品 IV 需要设备 A 为 12 台时、 B 为 5台时、 C 为 10 台时，单位产品盈利 2.1 千元；新产品 V 需要

2、A 为 4 台时、 B 为 4 台时、 C 为 12 台时，单位产品盈利 1.87 千元，如果 A 、B、C 的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？(4) 对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品I 需要设备 A为 9 台时、设备 B 为 12 台时、设备 C 为 4 台时，单位盈利 4.5 千元，这时对原计划有何影响？二、问题的分析对问题进行分析，该问题属于线性规划问题中的整数规划问题，需要根据线性规划的思想，根据题意建立线性规划问题。根据线性规划的思想，建立线性规划模型，要根据已知条件建立出目标函数，意义对目标函数所影响的约束条件。对于该问题，首先要确定决策变量，

3、要求如何生产三种产品使得利润最大。其次，根据约束条件，利用工具求解。最后，确定问题的目标函数，由题意知安排最好的生产方式使得总的盈利最大。三、基本假设(1) 在已知条件下该问题存在可行解。(2) 生产产品是设备部损坏。四、定义符号的说明x1每月生产产品 I 的台数x2每月生产产品 II 的台数x3每月生产产品 III 的台数x4每月生产产品 IV 的台数x5每月生产产品 V 的台数z 每月最大的总盈利五、模型的分析、建立以及结果分析5.1 模型的分析对问题进行分析，该问题属于规划问题中的整数规划问题！建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们

4、；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式；第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。5.2 模型的建立以及结果分析该问题完整的线性规划模型如下：(1)目标函数maxz = 3 x1 + 2 x2 + 2.9x3- 1 -约束条件为8 x1+ 2 x2+ 10 x330010 x1+ 5 x2+ 8 x3400S.t2 x1+ 13 x2+ 10 x3420xi0, i = 1,2,3;以下是 lingo 中下的代码：model :max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3;8*X1 + 2*X2 + 10*X3 <=

5、 300;10*X1 + 5*X2 + 8*X3 <= 400;2*X1 + 13*X2 + 10*X3 <= 420;gin (X1);gin (X2);gin (X3);End以下是程序的运行结果：结果分析：由以上可知每月生产 I 产品 24 台， II 产品 24 台， III 产品 5 台，可使生产盈利最大，最大利润为 134.5 千元- 2 -(2)IIIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058460C21310420单位产品利润（千元）322.9目标函数maxz = 3 x1 + 2 x2 + 2.9 x3 - 18则此时的约束条件为8 x1+ 2 x2 +

6、 10 x330010 x1+ 5 x2 + 8 x3460S.t.2 x1+ 13 x2 + 10 x3420xi0, i = 1, 2, 3;以下是 lingo 中下的代码：model :max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3-18;8*X1 + 2*X2 + 10*X3 <= 300;10*X1 + 5*X2 + 8*X3 <= 460;2*X1 + 13*X2 + 10*X3 <= 420;gin (X1);gin (X2);gin (X3);end以下是程序的运行结果：- 3 -结果分析：由以上可知最大盈利为127 千元 小于（ 1）中的 134.5

7、千元，故租用B 设备不划算。(3)IIIIIIIVV设备有效台数（每月）A8210124300B105854400C213101012420单位产品利322.92.11.87润（千元）目标函数max z = 3 x1 + 2 x2 + 2.9 x3 + 2.1 x4 + 1.87 x5则此时的约束条件为8 x1+ 2 x2 + 10 x3 + 12 x4+ 4 x530010 x1+ 5 x2+ 8 x3+ 5 x4+ 4 x5400S.t.2 x1 + 13 x2+ 10 x3+ 10 x4 + 12 x5420xi0, i = 1, 2, 3, 4, 5;- 4 -以下是 lingo 中下

8、的代码：model :max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3+2.1*X4+1.87*X5;8*X1 + 2*X2 + 10*X3+12*X4+4*X5 <= 300;10*X1 + 5*X2 + 8*X3 +5*X4+4*X5 <= 400;2*X1 + 13*X2 + 10*X3+10*X4+12*X5 <= 420;gin (X1);gin (X2);gin (X3);gin (X4);gin (X5);End以下是程序的运行结果：结果分析：由以上可知此时的最大盈利为135.96 千元大于（ 1）中的 134.5 千元，故这两种新产品投产在经济上划算。-

9、5 -(4)IIIIII设备有效台数（每月）A9210300B1258400C41310420单位产品利润（千元）4.522.9目标函数maxz = 4.5 x1 + 2 x2 + 2.9 x3则此时的约束条件为9 x1 + 2 x2 + 10 x33012 x1 + 5 x2 + 8 x3400S.t.4 x1+ 13 x2 + 10 x3420xi0, i = 1, 2, 3;以下是 lingo 中下的代码：model :max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3;9*X1 + 2*X2 + 10*X3 <= 300;12*X1 + 5*X2 + 8*X3 <=400;13*X1 + 13*X2 + 10*X3<= 420;gin (X1);gin (X2);gin (X3);End以下是程序的运行结果：- 6 -结果分析：由以上可知此时的最大盈利为 101.5 千元小于（ 1）中的 134.5 千元，则如果对产品工艺重新进行设计，改进结构，这时的最大盈利会比原计划的最大利润少。参考文献1 陈东彦 ，数学建模，北京