概率论与数理统计试题及答案

1、考试科目：概率论与数理统计 考试时间:120分钟 试卷总分100分题号一二三四总分得分123456、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分)1点的概率为(A )。1.掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现(A)1/3(B)232.设随机变量的概率密度f(x)(A)1/2(B)1(C)¥6(D)36Kx 2x1x ，则 K= ( B )00 x 1(C)-1(D)32E( )E(),则(B )D( ) D()(D)填在题末的括号中， 本大题共5小题，每小题3分,3.对于任意随机变量，若E()(A) D( )

2、D( )D( )(B) D(D),不独立(1.25) 0.8944,(1.75) 0.9599, WJ P-2< <4= ( A )。(C), 一定独立5.设 N(1.5,4),且(A)(B)(C)二、填空题(在每个小题填入一个正确答案， 总计15分)1 .设A、B为互不相容的随机事件P(A) 0.3, P(B) 0.6，则P(A B)()。2 .设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为(1/10 ) 1,0 x 1 一3 .设随机变量X的概率密度f(x)则PX 0.2( 8/10 )。0, 其它4.设 D( )=9, D( )=16,0.5，则 D( )=

3、( 13 )。*5.设 yN( , 2),则一(N(0,1)。n三、计算题(本大题共 6小题，每小题10分，总计60分)1.某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25%, 35%,40%,又这三条流水线的次品率分别为，,0现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少(1)全概率公式3P(A)P(Bi)P(ABi)i 10.0345255354100 100 100 100401002100(6分)(4分)2.设连续型随机变量X的密度为 f(x)Ae 50,00.(1)确定常数A(2)求 P X 0.2(3)求分布函数F(x).(2) (x)dx0dxAe 5xdx-

4、A 1 5(3分)故 A=5 。 P( 0.2)0.25e5xdx0.3679.(3分)当 x<0 时,F(x)=0;(1分)当x 0时,F(x)(x)dx5 x e0dxx5e Xdx0(2分)故 1蚁 F(x)5x,x,x(1分)3.设二维随机变量的分布密度f(6,20,0其它求关于和关于的边缘密度函数。(3)fx(x)f (x, y)dy(2分)xx2 6dy 6(xx2),0 x其它1(3分)0fy(y)f (x, y)dx(2分)yy 6dx 6( , y y), 00 y 1其它（3分）4.设连续型随即变量的概率密度f（x）x,2 x,0,x其它求 E(x),D(x)(4)

5、EX1x2dx021 x(2 x)dx(41)3(81) 1(4分)EX21 3 x dx0221 x (2 x)dx12金(84 31)1 (1641)7（3 分）DXEX2(EX)2 7 1 i(3分)四.证明题（本大题共2小题，总计10分）2k2k2.设Xk(k 12 )是独立随机变量序列，且Xk 122n122k试证XJ服从大数定理。_k 1E(Xk) (2)/70D(Xk) E(X；)( 2k)2(122k)2 22k 1(2k)2c2k 1(乙 ) c2k 1220,1,(2分)(k 1,2, ). (2 分)由切比雪夫大数定理可知Xk服从大数定理(1分)考试科目：概率论与数理统计

6、 考试时间:120分钟 试卷总分100分、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分)1.设A, B为两随机事件，且 BA,则下列式子正确的是A. P(A B) P(A)B. P AB P AC. P B|A P BD. P B A P B P A2 一2 .设 X : N ,，那么当 增大时，P X-A,增大B.减少 C.不变D.增减不定3 .设XPpoission布，且E X-1 X 21则A_A. 1B. 2C. 3D. 0二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，总计15分1 .设A、B、C、是三个随机事件。用 A、B、C表

7、示事件"A、B、C至少有一个发生”AUBUC ;2 .设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 3 .设随机变量 X与Y相互独立，X N 1,2 ,YN 0,1，则随机变量Z 2X Y 3的概率密度函数13、2一e4.已知X N2,0.42，则 E X23三、计算题(本大题共 6小题，每小题10分，共计60分)1.设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为 3份，7份，5份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。解.设B为“取得的报名表为女生的"，A为“考生的报名表是第i个地区的" ，

8、i=1,2,3由全概率公式2分3P(B) P(A)P(B|A)3 分i 11 33 1029907 1+15 3 5即先取到一份报名表为女生的概率为29902 .设随机变量X的概率密度为Ax+10,0 x其他求A值;X的分布函数F x ;(2)F x0,1,1.5 X2.50dt0,1x41,x dxAxdx2A1,dt1t2x,dt,P 1.5 X2.52.51.50.06253 .设二维随机变量（X,Y）有密度函数:f (x,y)ke3x4y求:(1)常数A;(2)x,y落在区域0,x其它0,y0;D的概率，其中D x, y ;0x 1,0<y3. 0(3x 4y)ke dxdy3x

9、4y kk e dx e dy _ 10012k 125分Px, y D P 0 X 1,0 Y12 1e 3xdx 2e 4ydy 1 e 3 1e 80.95024场，则比赛结束，假设AB在每场比赛中获胜的概率均4.设足球队A与B比赛，若有一队胜,1 一 一为，试求平均需比赛几场才能分出胜负24.设X为需要比赛的场数,18，14 -8161616，16，5.8答：平均需比赛6场才能分出胜负2 .设Xn为相互独立的随机变量序列P Xn2-,n n2,3,L证明Xn服从大数定律。-12. E Xn n 一 n、.nD XnX：Xn,n21 02ni 2,3,LXi,n2,3,L ,则 EYn0

10、,D Yn0,由切比雪夫不等式知P YnE Yn故有lim P YnE Ynn1,即Xn服从大数定律。1.对于事件 A, B ,下列命题正确的是A.若A, B互不相容，则A与B也互不相容.B.若A,B相容，则A与B也相容.C.若A,B互不相容，则A与B也相互独立.D.若AW计目互独立,那么A与B相互独立.2.假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f (x) .若X与一X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是A. F(x)= F( x)；B.F(x)= F( x)；C. f (x) = f (D.f(x)= f( x)；3 .若X N(X,Y)的联合分布为A.二维正态，且0;B .二维正

11、态，且 不定;c .未必是二维正态;D.以上都不对4 .设随机变量X和Y的方差存在且不等于0 ,则D(X Y) D(X) D(Y)是X和丫的A.不相关的充分条件，(!不是必要条件；B独立的必要条件，但不是充分条件；C.不相关的充分必要条件；D.独立充分必要条件.二、填空题(本大题共 5小题，每小题3分，总计15分1 .设A、B、C、是三个随机事件。用 A、B、C表示事件"A、B、C恰有一个发生”ABC U ABC UABC ;2 .设离散型随机变量 X分布律为pX k 5A(1/2)k (k 1,2)则人=1/53 .用(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)表示 pa X b,Y c

12、 =F(b,c) F(a,c);4 .已知 X N 10,0.6 , Y N 1,2，且XWYffi互独立，则 D 3X Y 三、计算题(本大题共 6小题，每小题10分，共计60分)1 .轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400, 200, 100 (米)的概率分别为，又设他在距离目标400, 200, 100 (米)的命中率分别为，。求目标被命中的概率。1.由全概率公式0.5*0,01 0.3*0,02 0.2*0.1 0.031目标被命中的概率为 0.031.2 .设随机变量 X的概率密度为f X春，X 10,其他,求C值;X的分布函数F(x);1 1求X洛在区间(-,-)内的概率。2 2八

13、 .,J 1,12.(1) Q f x dx C /2 dx 1, C 1 . 1x2x F x f t dt0,x 1x 111 dt arcsinx -, 1 x 11 x22,1,x 1P 0.5 X 0,5 F 0,5 F 0.51/31223 .设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f (x,y)R2，xyR20, 其它求：求关于X与关于Y的边缘分布密度;3.当 R x R 时 fX(x)f (x, y)dyR2 x21R2 x2R2dy2 R2x23分是 fX(x)2.R2 x2R20,其他同理fy(y)4 .设随机变量X具有密度函数f(x)2 x 1 x 2,求 E(X)及 D(X

14、)。0 其他124. E(X) q x dx x(2 x)dx 15 分oO 1 O2 oD(X) EX2 (EX)2Qx3dx 1 x2(2 x)dx 1 1/6四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分)2k 02k2 设Xj, (k 1,2L )是独立随机变量序列，Xk1111 - 22k 1122k 22k 1证明Xk服从大数定律。2. E(Xk) ( 2k) 3 0 (1 5)2k 白 0,(2分)2222k 21k 21八D(Xk) E(Xk) ( 2 ) 尸(2 )/ 1， (k 1,2，). (2分)22由切比雪夫大数定理可知Xk服从大数定理。(1分)一、填空题(本大题

15、共 5小题，每小题4分，总计20分)1 .设 AB为随机事件，P A05PB0.6,P AUB0.7，则 PA|B 2/32 .设10把钥匙中有2把能打开门，现任意取两把，能打开门的概率是17453 .设 X N(10,3), YN(1,2),且 X 与 Y 相互独立，则 D(3X 2Y) 354 .设随机变量X在区间0,6上服从均匀分布，则关于未知量x的方程x2 2Xx 1 0有实根的 概率为 5/65 .设随机变量X的数学期望E(X) 7,方差D(X) 5,用切比雪夫不等式估计得P 2 X 124/5.二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，

16、每小题4分，总计20分)1 .设事件A,B相互独立，且P(A) 0,P(B) 0,则有 B(A) P B | A0;(B) P A|BP A ;(C) P A|B0;(D) P ABP A2 .设 XN( , 2),那么概率 PX 2D(A)(C)随 增加而变大；（B）随随增加而不变；（D）随增加而减小;增加而减小3.设 P X0,Y(A)10 -,px5(B) 2；50(C)PY4.设X,Y相互独立,X服从0,2、2，、0,则 Pmax X,Y 0 5上的均匀分布,(D)r e y, y 0Y的概率密度函数为 fY(y),0, y 0则 P X Y 1,1（A） 1 e ;、计算题（本大题共

17、_,2(B) 1 e ;2(C) 1 2e ;5小题，每小题10分，共计_，- _1(D) 1 0.5e50分)1.某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为 0件，1件，2件的概率分别为80%,10%, 10%,现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求：（1）顾客买下该箱产品的概率；（2）在顾客买下的一箱产品中，确实无 次品的概率.解:设A表示“顾客买下该箱产品”,Bi分别表示“箱中次品数为 0件,1件，2件" i0,1,2则 P Bo80 % , P B110 % P B210% ,，P A|Bo1 , P A|B1C9Co

18、 'P A|B2C(3分)由全概率公式得:A| Bi P Bi448/475,(7分)由贝叶斯公式得:B0|AP A|B0 P BoP(A)95/112(10 分)2.已知随机变量X的密度为ax b,f(x) 0,其它1，且 Px 1/2求：（1）常数a,b 的值；（2）随机变量X的分布函数解：（1）由1f (x)dxa/2 b, 5/8 P X1/2f (x)dx 3a/8 b/2 解得1/2a 1,b 1/2 (4 分)(2)f(x)0.5,所以0,0,2 x/2,1,3.设二维随机变量解:fY(2)0 x其它1，当0.5 dxx 1 (10 分)0时，F/2,(X,Y)有密度函数

19、：f (x, y)(1)求边缘概率密度fx x(3)求概率P X Y .(1)fxf (x, y)dy1时，F，当0 x1,fY y；(2)2x20,0,3xy,01,0其他y 2;求条件密度fXYx|y , fY|X y |x ；2x/3,0 x其他1/3 f (x, y)dxu,2 时，fXY x|y1时,4.设随机变量fY|x y|xy/6, 0f (x,y)fY(y)f(x,y)fx(x)f (x, y)dyx y1dx0X,Y独立同分布,随机变量U与V的相关系数4 .解：E X E Y ,D Xy 2其他(4分)6x22 0,2xy其他3x2 6x2 0,xy2x其他(8分)1一 x

20、y3dy7/24(10 分)都服从参数为UV的泊松分布，设U 2X Y,V 2X,E U 3 ,E V 3Y,求Cov U ,V,=3/5（10 分）DU D V 5 ,Cov U,V 4D X DY 3 , （8 分）D U D V四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分)1 .设事件A, B,C相互独立，证明事件A B与事件C也相互独立1 .证明：由于事件 A,B,C相互独立，所以P ABC P A P B P C , P AB P A P B , P AC P A P C , P BC PBPC,(2 分)所以P A B C P AC BCP AC P ABCP A P C P

21、 A P B P C P A B P C即PABC P A B P C，所以事件A B与C也相互独立(5分)一、填空题(本大题共 5小题，每小题4分，总计20分)1 .设A,B是两个随机事件 下(A)=0.7 ,P (A B)=0.3，则事件“ A, B同时发生” 的 对立事件的概率为 2 .设有40件产品，其中有 4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的为次品的概率是3 .设随机变量X与Y相互独立，XN 1,2 ,YN 0,1，则随机变量Z 2X 4Y 3的方差为244 .设随机变量X的数学期望E(X) 75,方差D(X) 5 ,用切比雪夫不等式估计得P X 750.05

22、，则 10二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分)1 .设总体X N(1, 2),X1,X2, ,Xn是取自总体 X的一个样本，则为参数 2的无偏估计量的 是(A )1n- 21n_ 21n 22(A) ；(XiX) ; (B) (XiX) ; (C) Xi; (D) Xn 1 i 1n i 1n i 12 .设XN( ,1)，则满足P X 2 P X 2的参数 (C )(A) 0;(B) 1;(C) 2;(D) 333.设 PX 0,Y 0 -, PX40 PY 0亍，则 Pmax X,Y 0 （ C3 456（A） 7

23、；（B） 7 ；（C） 7 ；（D） 7三、计算题（本大题共 5小题，每小题10分，共计50分）1.两个箱子中都有10个球，其中第一箱中 4个白千6个红球，第二箱中6个白球，4个红球, 现从第一箱中任取 2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，（1）求 从第二箱中取的球为白球的概率；（2）若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率0,y 0;1.解：设A表示“从第二箱中取的球为白球”Bi分别表示“从第一箱中取的2个球都为白球,1白1红，2个球都为红球” i 1,2,3 ,则P B1C：.Z15 PBC4c6.8/15= =2/15P B2=8/15,Ci202C20C2

24、-4=1/3, P A|B1公式得：B11AP A|B PB12.设随机变量与事件B2.解:P（A）2/3, PP A|Bi8/51A|B2P Bi（10 分）X与Y同分布，X的概率密度为fY a相互独立，且P AU B由于事件AUB712,17/303-x80,A,B相互独立，所以P AB PAB 2P AA 1/2 或 P A 3/2 （舍去），（5 分）A|B31/2,由贝叶其它a的值。（4分）由全概斯公式得：事彳牛AX a3/ 4 ，解得所以 1/2 P A P X a af （x）dxa3/8 ，a3/4（10 分）3.设二维随机变量（X,Y）有密度函数:f（x, y）4x 3yAe

25、,x0,其他(1)求常数A;(2)求边缘概率密度fX x , fY(3)X ,Y是否相互独立。3.解：(1)0 f(x,y)dxdy(4x 3y) ,1Ae dxd0A y 1212(4分)(2)fXf (x, y)dy4e0,4x,x 0 其他(2)fY y3e f(x, y)dx0,(3) f(x,y)fx x fY y设随机变量X N1,9 , YN求：随机变量(2)4 .解:随机变量D Y 16,Z 1E X33x,y其他(8分),所以X,Y相互独立。0,16 ,相关系数Z的期望E Z与方差D ZX与Z的相关系数XZX N 1,9 ,Cov(X,Y)1E Y2由于 Cov(X,Z)1D

26、 3XY四、证明题（本大题共1.设事件(10 分)1.ABY N 0,16 ,所以xy,D X . DV1 - -Cov(X,Y)2小题，每小题5分，共A, B,C相互独立，证明事件由于事件A,B,CAUB CP ACACUBC1d4所以10分)9,所以XZ2Cov(X,Y)6Cov(X,Z),D X . D Z3(5 分)(10 分)AUB与事件C也相互独立相互独立P BCABCP ACAPB所以P BCABCP A P C P B P C P A P B P CPAPB PAPC PAPBPCP AUB P C即P AUB C P AU B PC，所以事件AUB与C也相互立。（5分）、填空

27、题（本大题共 6小题，每小题3分，总计18分）1 .设 A,B为随机事件，P AUB 0.8,P B 0.4，则 PA|BZ32 . 10个球队平均分成两组进行比赛，则最强的两个队分到同一组的概率为2/93 .设随机变量 X在区间0,1上服从均匀分布，则Y eX的数学期望为 e 14 .设 X b（n, p）为二项分布，且 E X 1.6, D X1.28，则 n 8p 5 .设随机变量 X在区间0,2上服从均匀分布，用切比雪夫不等式估计得P X 1 21/12.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）1 .设A,B为事件

28、，且AB,则下列式子一定正确的是 （B ）（A） P AUB P A ;（B） P BA P A ;P A P Bk 1,2,L ，则 a(D) e 1X，则有(A )(C) P AB P B ;(D) P A B1 k2 .设随机变量X的分布率为P X k,a k!(A) e ;(B) e ;(C) e 1;3 .设X: N(1,1)，概率密度为f x，分布函数为F(A) P X 1 PX 1;(C) f x f x , x R;(B) PX 0 PX 0;(D) F x 1 F x , x R4.设 PX 1,Y1 2,PX51 PY 1'，则 Pmin X,Y 51(A)(B)

29、25(C) 5;(D)5.设随机变量 X,Y满足方差D X YD X Y，则必有（B（A） X与Y独立；（B） X与Y不相关；（C） X与Y不独立；（D） D X 0或D Y 0三、计算题（本大题共 6小题，每小题10分，共计60分）1.有三个盒子，第一个盒子中有2个黑球,4个白球，第二个盒子中有 4个黑球,2个白球，第三个盒子 中有3个黑球,3个白球，今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球.（1）求此球是白球的概率;(2)若已知取得的为白球，求此球是从第一个盒子中取出的概率解:设A表示“取得的为白球”Bi分别表示“取得的为第一,二，三盒的球” i1,2,3 则PR P B2P B31/3

30、3,P A|B12/3P A|B21/3AR1/2 , （2分)由全概率公式得:A|B P Bi1/2（6分）由贝叶斯公式得:B1|AP A|B1PBiP（A）4/9（10 分）2.已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)0,1,求：(1)常数A, B的值；(2)随机变量X的密度函数解：(1)由Fx右连续性，F a解得A1/2,B1/（6 分）（2） f（x）1 a20,其它a/2 =1/33.设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布3.解：X的概率密度为fX xxBarcsin 一, aa淇中a 0为常x ；（3）P2（8分）（10 分）2X e得A -B2概率密度。-B 1, 2x 2其他反

31、函数导数1, 12 x2xe , y 2e0,242244 ，- 2X, 一 一_、，min e ,e e , max e ,e e ,所以Y e 的概率密度为P A P B P AUB P AB P AUB P C 1 P C (4 分)2yfy yfx h y h y , y0,其他1/ 2y4.设二维随机变量（X,Y）的密度函数：f （x, y）0,其他(10 分)2 -Ay, 0 x y ,0 y 10, 其他（1）求常数 A的值；（2）求边缘概率密度 fx x , fy y ；（3） X和Y是否独立0 x 1其他（6分）4.解：(1)由 f (x, y)dy 1,得 A 4 (3 分

32、)(2) fx x2 1 x f(x, y)dyu,fy yf (x, y)dx4y3, 0 y 10, 其他(9分) fx x fy y f (x,y),不独立(10 分)5 .设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数：求（1）数学期望E X与E Y ; （2）6x, 0 x yf(x,y)0,其他X与Y的协方差Cov X,Y5 .解：E X 1/2,（2 分）EY 3/ 4 ,（4 分）E XY 3/5 （6 分），所以Cov X,Y E XY E X E X =9/40 （10 分）四、证明题（本大题共 1小题，每小题4分，共4分）1.设三个事件AB,C满足AB C,试证明：PA PB 1

33、 P C1.证明：由于 AB C ,所以P AB P C ,所以一、填空题(本大题共 6小题，每小题3分，总计18分)1 .设 A,B为随机事件，P A P B 0.7,P AB0.3,则 P AB2 . 10件产品中有4件次品，从中任意取2件，则第2件为次品的概率为3 .设随机变量X在区间0,2上服从均匀分布，则YP ABX2的概率密度函数为fYy0,0 y 4其他4.设随机变量X的期望E X 3,方差D X5,则期望E X545.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得1/2.二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小

34、题3分, 设A,B为对立事件总计18分),0 P B 1,则下列概率值为1的是(C )2.3.4.5.(A) P A|B ;(B) P B| A；(C) P A | B(D) P AB设随机变量XN(A)(C)(A)(C)设PX(A)PX 0f x f是随机变量1,Y设随机变量(D ) (A) 40;1,1，概率密度为PX 0);x , x R;f x，分布函数(B) P X 1)(D) F x 1F x，则下列正确的是(X的概率密度，则一定成立的是(定义域为0,1;的值域为0,1;41) -,PX920(B)彳X,Y的方差D(B) 34;(C)；(B) f(D) f非负;连续1(D)PY4 (C)94, D1)PXF1)；x , x R5皿一,则 Pmin X,Y 1)( 91(D)-31,相关系数XY 0.6，则方差、计算题(本大题共 6小题，每小题10分，共计60分)1.甲乙丙三个同学同时独立参加考试，不及格的概率分别为：,(1)求恰有2位同学不及格的概率；(2)若已