高中数学竞赛中不等式的解法

1、高中数学竞赛中不等式的解法希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助O摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并 挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。.在解决不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型 竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用1.排序不等式定理1 设aia?.an,bR .bn,则有a1bna2bn 1 .anb1（倒序积和）aib1aj

2、br2. anbrn （乱序积和）a1b1a2b2. anbn （顺序积和）其中r112,., %是实数组b1b2,., bn一个排列，等式当且仅当a1a?.an或b1d .bn时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和匕乱序积和W顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记 S a1br1a2br2.anbrn。不等式 S a1br1 a2br2 . anbrn的意义：当r1 1,r2 2,., rn n时，s达到最大值 a1bla2b2.anbn.因此，首先证明an必须和bn搭配，才能使S达到最大值.也即，设rnn且bn和某个ak（k n）搭配时有akbn anbrnakbrnanbn.

3、（1-1）事实上，anbnakbrn（akbnanbrn）（bnbrn）（anak）0不等式（1-1）告诉我们当rn n时，调换bn和brn的位置（其余n-2项不变），会使和S增加.同理，调整好an 和bn后，再调整an1和bn1会使和增加.经过n次调整后，和S达到最大值a1b1a2b2.anbn,这就证明了a1br1 a2br2 . anbrna1b1 a2b2 . anbn.再证不等式左端，由a1 a2.an, bnbn 1.匕及已证明的不等式右端，得(a1bna2bn 1. anbi)(a1br1a2b2anbrn)即a1bna2bn1anbia1b1a2b2anbrn.a b c例i

4、(美国第3届中学生数学竞赛题)设 a,b,c是正数，求证：aabbcc (abc)思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明证明：不妨设a b c,则有lg a lg b lg c根据排序不等式有：alg a blg b clg c alg b blg c clg aalg a blg b clg c alg c b lg a clg b以上两式相加，两边再分别加上alga blg b clg c有 3(alg a blg b clg c) (a b c)(lg c lg a lg b)a, b c a b c,_ ,即lg a b c lg abc3abc故aabbcc (abc)

5、3.16 / 15例2设a,b,c3 cab2,2a bR ,求证：abc 2c.22223. 3b c c a a b2a 2b bc ca思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明222111证明：不妨设a b c,则a2 b2 c2且一一 一 c b a根据排序不等式，有222a b c 2 1/ 121 a b c -cab abc222a2b2c22 1； 12 1 a _ b _ c _bc a abc两式相加除以2,得222a b.22b c2c2a2br -333111再考虑a b c ,并且 bc ca ab利用排序不等式，333a b c 3 1

6、, 3 1abbccaabcaab3 1c bc333a b c 31,31a b bc ca ab ab bc3 1c ac两式相加并除以2,即得2,2,2222a b b c c a2c 2a 2b3, 33a b cbc ca ab综上所述，原不等式得证例3设0a1a2an,0b1 b2求证:n arbsbn ,而92,，in与j1, j2,，jn是1,2，n的两个排列（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式证明：令drbjs(r=1,2,，n)显然 d1 d2 . dn因为bib2. bn ,且r n r (n 1)由排序不等式一

7、堡drs 1 r s又因为a1a2. ann所以ar drr 1nn n bairdr 且arr 1r 1 s 1rsardrr 1（注意到ar0)n n aibjr j sairbjsair drn nn nardrr 1bsar bsarr 1 s 1 r s r 1 s 1 r s故原式得证.2.均值不等式A(n) Q(n)称为均值不等式定理2设a1,a2，an是n个正数，则H (n) G(n)其中,H(n)a1 a2anG(n) n a1a2.a1 ,A(n)a1a2. annQ(n)222& a2 . an:一n分别称为a1,a2,., an的调和平均数，几何平均数，算术平均

8、数，均方根平均数证明：先证 G(n) A(n).记 C n a1a2.an，令bi亘，c则原不等式b1b2.bnn其中b1b2.bn1 ,、,(a1a2.an)1Cn取 X1,X2,., Xn 使 6-xL,b22,., bn 1X2X3XnA,则 bnXnXnX1由排序不等式，易证b1b2.bnX1X2Xn 1XnXnX1下证 A(n) Q(n)一.22因为aia22an、2 ,、2 ,、2an) (a a2) (ai a3),、2(ai an),、2,、2(a2 a3) (a2 a)2(a2an).(an 1an)2所以一(aia2nan)2a1a2.an222a1a2. an从上述证明知

9、道，当且仅当 a1 a2an时，不等式取等号下面证明 H(n) G(n),.111对n个正数,.,应用 G(n) H(n),得a1 a2an工1_1a1a2an1 1 1 nr-n a1 a2 an即 H (n) G(n)(等号成立的条件是显然的).例4 已知。a x2 y20,«： loga(ax ay) log a2 8,证明：由于 0 a 1, ax 0,ay 0,ay)即loga2 "从而 loga(ax有 ax ay 2 axay2 ax y下证又因为 x y(x1所以x y、log a (a a ) loga 2等号在x= 1 （这时y=1）时取得 241.8例

10、5 （IMQ 设a,b,c是正实数，且满足 abc=1.111证明：(a 1)(b 1)(c 1 一) 1b c a证明：令a -,b -,c 三，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为 x z x(2-1)(x y z)( y z x)(z x y) xyz记 u x y z, v yzx,wzxy,注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数 如果恰有一个负数，那么 uvw 0 xyz, (2-1)式成立.如果这三个数都大于 0,由算术一几何平均不等式uv l(x2y z y z x) x同理可证， jvw y, 而U z于是uv , vw 一. wu xyzuvw

11、 xyz, (2-1)式得证.例6已知a1, a2,，an 0,且a1a2an 1.求证：-1aia2ana?a31 a1 a3an 1 a1 a2an 12n 1思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为i 1 2aii 1左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项可看为倒数形式，尝试用调和平均证明：不等式左边化为ai2 ai2 ai1)，,.2a12a2,禾U用 anA(n)H(n)有n2 ai2naii 1 2 ai2ai21 n -2inai12n1n -22n22n所以a2 ai1)3.柯西不等式2n22n2n 1定理3设ai(i=1,2

12、,n)，恒有不等式i 1等式成立.构造二次函数证明当a1a2an 0 或 bb2bn 0时，不等式显然成立n2aii 1naibi Ci 12b ，当 a1，a2,构造二次函数fAx22Bx2展开得:f X的判别式4B24AC移项得AC B2 ,得证。向量法证明4, a2,bb,bna1blanbn，2 ai ,当 cos ,平行时等号成立。数学归纳法证明i )当n=1时,有 a1bl2. 2a1 b2 ，不等式成立。.2当 n=2时，a a2b22, 22, 2a1 b1 a2 b2 2a1b1a2b2aM)2,当且仅当乡.aa2,an中至少有一个不为零时，可知A>0aib2122 a

13、 bi x binaibii 1aiXcosn2aii 1时,anbi 2 0 故.2bi.当且仅22.2.22. 22.a1 a2b1b2a1 b1a2 I：,22b2 a1b222, 2a2 b122a2 h 2alb1a2b2,故有 aaa2b2 22a12 .2a2bib2 2当且仅当a1b2a2bi ,即史b1a2 一 一一时等号成立。b2ii ）假设n=k时不等式成立，即a1bl a2b2akbk 22akb12b22bk2当且仅当a1b1a2b2义时等号成立。 bk那么当n=k+1时,aha2b2ak21bk 12ak1bkakbkak2 21 bk 12a12a12 a12a2

14、2a22 a22akb12akb12ak 1 I2bi2b22b22b22k2k2bk 12ak 1bk 122a bk 1a1bi2b1 akakbk22ak bk 122ak 1 bk 1222bk ak 1 ak 1 bk2a12a22an2bi2b22bn当且仅当a®bak1, a2bk 1b2ak 1,akbk1 bkak1时等号成立,即a1 ba2b2包曳时等号成立。bkbk 1于是n=k+1时不等式成立。由i ） ii ）可得对于任意的自然数 n,柯西不等式成立。利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式:对于两组实数a1,a2, ,an；b1,b2

15、,bn有柯西一拉格朗日恒等式22a1a2a1b2a2b1a2 b3a3 b22 .2. 2an bb2a1b3a3b 2bn2aib a2b2a1bh anh 2anbn 2由实数性质2a2bnanb2an ibnanbhR可得柯西不等式成立。以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。柯西不等式的推广若级数nnai2 与bi2收敛,则有不等式naibi 1证明:nn2ai ,i 1 i 1bi2收敛,aibi收敛，且limnaQ从而有不等式n

16、aibii 1naii 1命题23若级数 ai2与i 1n2bii 1收敛，且对f x , g x有不等式证明：因为函数 fx ,g x在区间a, b区间n等分,bf x dxalimn2ainbi2。i 1aih12aib 2f x dxa令a：f2limn赫尔德不等式4nlimai2n i 1bi2成立。dxa,b取每个小区间的左端点为nf ii 1nlimn1 ,b12dxlimnbi2aibii 12.f x dxbag2ainbi2 ，则对定义在a, b上的任意连续函数2 .x dx上连续，所以函数 fx与gx、f2x、g2 x在a, b上可积，将i,由定积分的定义得:bx, g x

17、 dxlimnb 2x, g xalimnx dxdxlimnn2g i xi 1bi2dx。收敛，由柯西不等式得nlimn从而有不等式11设 a1Q bi0,(i111,2, , n), p 0,q 0,满足一 一P q1,贝U：成立的充分必要条件是aiPW 1,2, ,n;0.aibii 1aibq、r *，、r 1证明：首先证明P1 n1时，对任何正数A及B,有_LAP P1 Bq qAB.对凹函数fx In x,有:ln1 APP1 Bq q11 In Ap P11 In Bq qIn AB1 AP1 Bqp qAB.aknPaii 1-,Bpbk加.paiakbk1pqbiaibp

18、aibqbiq例 7 设 X1,X2,., Xn-,代入以上不q等式并对于1,2,等式相1 akPnp paii 1bkq1,即1q成立。等号成立的充分必要条件是:painPaii 1bqn思路分析：注意到式子中的倒数关系,即 bq2X12X2X212XnX2X3XnX1,求证:考虑运用柯西不等式来证明X2Xn .证明：因为X1,X2,., Xn 0,故由柯西不等式，得(X2 X32VX1 xnx1 )(一X22X2X32Xn 1Xn2xn、)为所以2X1X2(1X2.xX；(X22X2X3X37 x2X3 .,X32XnX1)Xn2Xn 1Xn2Xn 为X1X2Xn .18 / 152222

19、2 一例8已知头数a,b, c,d , e满足a bcde8,a b c d e 16,求e的取值范围思路分析：由a2 b2 c2 d2 e2联想到应用柯西不等式.解：因为4(a2 b2 c2 d2) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d2)(a b c d)2,22即4(16 e ) (8 e),2264 4e2 64 16e e2即5e2 16e 0,所以 e(5e 16) 0,故0 e §.5评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目2例 9 X1,X2, X3 R 满足 X122X2X31 ,求X11X12X2X3的

20、最小值.解：容易猜到X1X2X3X12X1X22X2X32X3取最小值33 .226 / 15为了证明这一点，利用柯西不等式,只需要证明33小X (1i 1等价于_2_3.33小X (1Xi2)32Xi1X：)23,35Xi i 13 3Xi i 1(3-1 )由几何一算术平均不等式，得同理可证,2X123,35X133(2X1)(3,3)(3.32X1)X52x13v 33 X2,2x323,，3x5邢泰）喘3）x3以上三式相加，（3-1）式得证，进而证得X1 2x2 2x3 2的最小值是3-1 ,1x11 x21x32当且仅当xi x2 x3 £时。评述：柯西不等式中的aibi的

21、项aibi如何拆成两个因式ai和bi的积，可以说是应用此不等式的主要技巧（上例323xi3(1 xi2)产,我们将xi2中的xi2表示为i i3,3i i产三和"x3（1 M）的积），正因为aibi可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛例10试问：当且仅当实数xo,x，xn（n2）满足什么条件是，存在实数yo,y1,，yn使得2222 ,Z0Z1z2. zn成立，其中zkxkiyk , i为虚数单位，k=0,1，,n.证明你的结论.（局中联赛，1997）2222思路分析：将ZoZ1Z2. Zn成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找 x(i 1,2

22、,., n)的范围.2222解：将ZoZ1Z2.Zn转化到实数范围内,即nn2222xkxoykyo,(3-2)(3-3)k 1k 1nxkYkx°yok 1n2 22右存在头数yo,y”.，yn使（3-2）成立，则x°yo（xky。.k 1nn由柯西不等式可得x2y2(x2)(y2)k 1 k 1nn如果x2x2，由(3-2)可知y2y：,从而k 1k 1nnx2y2( x2)( y2)与(3-3)矛盾k 1 k 1于是得X2X2(3-4)k 1反之若(3-4)成立，有两种情况： n X2X2，则取 ykXk , k=0,1,2,n ,显然(3-2)成立.k 1 nn X

23、2X2，记 a2X2X20，则 X1,., Xn 不全为 0.k 1k 1不妨设Xn 0,aXaXn 1取 yk0,k 0,1,2,.,n 2,并且取yn 1, 2 ' 2 ,yn, 2 n1 2 .,Xn 1Xn Xn 1Xn易知（3-2 ）成立.综上，所求的条件为2X02Xk .14.切比雪夫不等式定理4设X1, x2,., Xn , y1, y2，yn为任意两组实数，若X1x2Xn 且 yy2. yn 或X1X2. Xn 且 y1y2. yn ,则nnn1/1、,1、xx (x)(yi)n i 1n i 1 n i 1(4-1 )若 X1X2. Xn且 y1y2yn 或 X1X2. Xn且 yy2.yn，则xyi1 n 1 n(x)(yi)n i 1