导数典型试题

1、导数典型试题处的导数.例1.用导数定义求函数 剖析：本小题考查函数在一点的导数的概念.Ay = f (1 + Ax) - f(l'=解析:-Ak十如(1十十加)g1> 加 TTTAxQ + J1 + Ah)Ax=肮_ _!JI =-n J1 亠 Ak1 + Jl + 加) 2点悟：利用导数定义求函数的导数应分三步:AyAyAy再曲(1)求函数增量'-'(2)求平均变化率 匚；(3)求极限 丄；，本题的关键是对 匚；的变形.例2.求下列函数的导数:y = -弦耳_ 7藍】+ 1(1)皈;(2)萝小禺;(3)-：；(4)-； 1 ：1 ''(5)In

2、k y =y- SITlK剖析:本小题考查导数的运算法则及复合函数求导法则.解析:1-(x"s)'-3(x33i-7(x2)i+0上 .=一一囂 - T ；( 6) - 9起'一 14盂3y = In xr y'=(2) 当兰：'-时，-y'=(一丄)(-!) = -,'(1 - X + X3) - K(l - X -F x求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第（1）小题中切线与曲线 C是否还有其他公共点？ 剖析：本小题考查导数的几何意义及利用导数求切线的方法.)1(3) 'I ；八1 -父 + 翹° -Ji(Q -

3、 1 + 2龙) (l-X + K2)(4) .- '： ：. ' L"= 0I),eK + 3,t (e')'-(ixy+O-33- ex + ? eK - 21 In 2 -卩护n严 ln2I (nx)'(ia 4-L)fclnx(X3 +1)'(5) 1丄十蠢山盂x2 + 1- 22 ltLK二(6) n -：I I -： ：- I ：:- : II ：点悟：熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性.例3.已知曲线C:解析:（1）把=-代入C的方程，求得'切点为

4、（1, -4）切线的斜率 = 11-1 - = -12t由 ly-12H+s得二二：'.二-丄二-I.即：.函数'：-的解析式； r： ：函数I，-的单调区间.2玄=L - 2、一, 4弋入y = 3k解析：（1）由函数 J；的图象在点M（ -1，f （-1 ）处的切线方程为，知一一.二一，即 - 2x剖析：本小题考查利用导数求曲线的切线及确定函数的单调区间. - 9玉卫 + 4求得*1 I 即公共点为（1 , -4 ）（切点），（-2 , 32）,（，0）除切点外，还有两个交点（-2 , 32）,（，0）.点悟：曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，直线

5、与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点 对一般曲线不一定正确.例4.已知函数二+ -的图象在点M.求:a(l+b) + 2-a- 6)11 + 疗2a- 2b -斗< a(l 4- fc) - 十 6) J解得一一；一 一 工：'所求的函数解析式是f() =2k- 6r - 2好+ 1型斗15f (幻.5<(2)f令_ 21 口 + 6二0，解得返L = $- 2斯"送乞二3+诽 当-: ,'' .'. : - -. I. .- I ；当，. .1.1', i -.- f仗)=务一在(-口3 - 243)-内是减函数，在(3-活亠

6、 25)内是增函数;点悟：设函数' I，在某个区间内可导，若'为增函数；若'1：:-例5.已知函数 -二二一-在R上是减函数，求a的取值范围.剖析：本小题考查已知函数的单调性，利用导数及不等式求参数的范围.解析：求函数丁的导数；一 ”W(1) 当- 一 是减函数.3ax2 4- (5x -1 < 0(x eR)<=> < O,fiA= 36 4- 12a <0« a <-3所以，当一寸厂-是减函数.1a = _3时f (葢)=-3x5 + 3xs - x + 1 = -3(k - 一尸 + 当-由函数： 在R上的单调性，可知

7、当三=一1时，匚(三三三)是减函数.(3) 当1 :：-时，在R上存在一个区间，其上有一宀所以，当勻一时，函数：-八亠丄 不是减函数.综上，所求a的取值范围是（-怕-3点悟：因为f (x)在R上为减函数，即 f'W <0 在R上恒成立，再解不等式即可得解.本题另一解法：由原问题转化为1 -J.- 在R上恒成立，只需即可，现在转化为求函数的最小值.本题易忽视讨论时，门.也为减函数.例6.已知函数i-的图象在工=:处的切线方程为 r Li：(1) 求函数的解析式;(2) 求函数-"丄-上的最值.剖析：本小题考查利用导数求函数的最值.解析：(1)7= 卞/，而；在】=处的切线

8、方程为 一'宀rk=-i2=f'（i）12 ¥ 2a+ b = -124-»-a + b + 5-12-=>a = *3nb =-18故暑：'那么厂的增减性及极值(2)毗'(刃12疋一血一送15(工“)(血-3)，令f'(x)-0，解得衍-1如下:X十(幻的符号f增减性（-巴-1）+递增-1+极大值16(-卩递减3/20极小值一山4引驻点:1 ' '-；-T -，.'-'-'厂'-上的最小值为一，最大值为16.点悟：闭区间上的连续函数的最值可能是该区间上的极值，也可能是端点值.(一

9、)导数及其运算1. 根据导数的定义，求函数 y=迫) 在点工处导数的方法:(1) 求函数的增量Af f(K0 + Ax) -(2) 求平均变化率丄亠：f'(Kn)= Lim(3) 取极限，得导数2. “函数I：；在点工处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系(1) “函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数.(2) “导函数”：如果函数在开区间(a,b )内每一点都可导，就说在开区间()内可导，这时对于区间(a,b )内每一个确定的值：，都对应着一个导数 g) ，这样就在开区间 feb) 内构成一个新的函数，我们把这一

10、新函数叫做£盘)在开区间(a,b )内的导函数，记作r Af 十 ：F仪十血)-F(x)hn =hm Ax iw-*oAx(3)函数I， 'l："-在点呵处的导数一 < 就是导函数】在点处的函数值.''：''：-u所以求函数在一点处的导数，一般是先求岀函数的导函数，再计算这点的导函数值.3. 复合函数的导数(1) 一般地，对于两个函数；和：-，如果通过变量u, y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数-1的复合函数，记作.(2)复合函数-的导数和函数'-:的导数间的关系为- '>，即y对x的导数等于y对u

11、的导数与u对x的导数的乘积.(二)导数的应用1. 若在某区间上有有限个点使 ：，在其余点恒有L -，则匚 仍为增函数(减函数的情形完全类似)，也 就是说在区间内-，_ -是在此区间上为增函数的充分而不必要条件.2. 极值点与导数为0的点的关系(1) 导数为0的点不一定是极值点.如函数-" ，在工=I处的导数是0，但它不是极值点.对于可导函数，极值点的导数必为0.因此对于可导函数，导数为 0是点为极值点的必要而不充分条件.(2) 函数的导数不存在的点也可能是极值点.如：函数- I-,在二处，左侧(L二时)上曰一，右侧：I i “ I,当:=:时二是u的极小值点，但 f'(0)不

12、存在.3. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 分析实际问题中各量之间的关系，列岀实际问题的数学模型，写岀实际问题中变量之间的函数关系'；(2) 求函数的导数 f'M ，解方程 十-;(3) 比较函数在区间端点和使'的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.4. 解决生活中的优化问题应当注意的问题(1) 在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去.(2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使"-'的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值.(3)

13、 在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定岀函数关系式中自变量的定义区间.六.体验高考例1.( 2005湖南，6 )设皿爲卫二*(对川 如"Q，氓N，则S4( )A. sin kb. - sin 益C.D. cm蛊剖析：本题考查函数的求导及函数的周期性的基础知识.答案：C解析：.：.-11 -，垃(x)- f1； (x) -an z? f3(x)- f'3 (x) - cossf4 (x)- f(x) sin'周期为4，故J： -：'故选C.U V _L 1例2.( 2005江苏，14)曲线° 在点(1，3)处的

14、切线方程是 .剖析：通过求导得到切线的斜率即可.答案：二一解析'时，“- I切线方程为= ：'，即7厂例 3.(2005 全国 II , 22)( 14 分)已知 H -，函数： 丨：|： 1 '(1) 当x为何值时，匚取得最小值？证明你的结论；(2) 设一一一上是单调函数，求 a的取值范围. 剖析：本题考查函数求导，函数的单调性及函数的最值问题. 解析：(1)对函数 '丿求导数，得f '(x)=(妇2a)ex 4 览- 2a) ia + 2(1- a)z - 2a e1令= 得+ 2(1- a)x - 2aeK = 0从而H解得"i '

15、;1'"其中 1当x变化时，-：L丿的变化如下表:(-叫耳1)S1(区衍莖2(勒+«)+0-0+匕)T极大值极小值T即-处取到极大值，在 工二处取到极小值.当亠一为减函数，在 :上为增函数.而当H <0时，f(x)x侄-2a)h汕；当x = 0时，fW=0所以当I时，4 L '取得最小值.亍+CD)即a的取值范围是r(2)当时，匚二丄 上为单调函数的充要条件是 -，即丄- ，解得 综上，I > 在-上为单调函数的充分必要条件为4x3 - 7追)=川曰叩 例4.(2005全国III , 22)( 14分)已知函数-.(1) 求 逊)的单调区间和值域

16、；(2) 设1，函数:J ' 1' J：1'!一门.若对于任意一 一 I 1 ,总存在一一- 使得丁 . '- 1.成立，求a的取值范围.剖析：本题考查运用导数知识研究函数的单调性、极值及不等式问题；考查分析和解决问题的能力.解析：(1)对函数 求导，得-4 + 16-7(2x-l)(2x-7)= 7Z 二 "" 7Z Ta'(2-Q(2-痴时，-U是增函数.令'<',解得0(专)1if'W0+21-4T-3当x变化时，-的变化情况如下表:所以，当J 时，是减函数；当"当时，的值域为(2)对函数

17、打：求导，得-：因为a>l，当恥叮时，g(町注(1-)引.所以当：-时，为减函数，从而当-二时，有-1-：.又 g(l)-l-2a-3aaJ g(0)-2a，即当 xe0J时有- 2a- 3a2,-2a任给还叮,F（纽疋-4,-3,存在x0£0使得，则1-2旦-为：厂血二卜4厂可-2&-3a> 1式a <- -解式得；解式得一1 <a<-又mA：，故a的取值范围为二例5.（ 2005湖北，17）（ 12分）已知向量I :厂 ： I .若函数- 亠在区间' 1 '上是增函数，求t的取值范围.剖析：本题考查向量以及用导数研究函数的单调

18、性的基础知识.解法一：依定义 电）"“17）+5?斗蚀+ t ,则珥劲一护+ 2X4 t .若在（-1 , 1）上是增函数，则在上可设' '' <； 一二闩 I上恒成立.1勺X =设函数亠：由于-I的图象是对称轴为-，开口向上的抛物线，故要使二：在区间； 上恒成立），即圧.而当 圧时，-：一上满足-，即-上是增函数.故t的取值范围是：-：.解法二：依定义： （：| ,:若- -；一上是增函数则在，上可设，0壬® 的图象是开口向下的抛物线，-当且仅当® 十 3 f1） = t-5>0时，在（-】）上满足吃）> 0，即F在（71）上是增函数，故t的取值范围是圧1 例6.( 2004天津)已知函数 丄、：丄：L：-” 二-在v = =1处取得极值.(1) 讨论 川和 是函数的极大值还是极小值；(2) 过点A (0, 16)作曲线 y=fW 的切线，求此切线方程.剖析：本小题考查函数的极值及不过切点的曲线的切线.解析：(1)-；,依题意，兀十2b-3 = 03d'2b-3-0解得r 、- I.f(x) = x3 - 3xf'(x)=- 3 - 3(e + 1)(k- 1 j令巳伝) OL得Ki - 1若 “m