概率论与数理统计 第7章 假设检验

1、1第七章第七章假设检验假设检验2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七章第七章 假设检验假设检验 假设检验的一般理论假设检验的一般理论 正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值与方差的假设检验 分布拟合检验分布拟合检验 置信区间与假设检验之间的关系置信区间与假设检验之间的关系3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有许多实际问题有许多实际问题, 需要通过部分信息需要通过部分信息量量, 对某种看法进行判定或估计对某种看法进行判定或估计. 例例7.1 某企业生产一种零件某企业生产一种零件, 以往的资以往的资料显示零件平均长度为料显示零件平均长度为4c

2、m, 标准差为标准差为0.1cm. 工艺改革后工艺改革后, 抽查抽查100个零件发现其个零件发现其平均长度为平均长度为3.94cm.问问: 工艺改革后零件长度是否发生了显著工艺改革后零件长度是否发生了显著变化变化?4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.2 某厂某天共生产了某厂某天共生产了200件产品件产品, 按按国家标准国家标准, 次品率不得超过次品率不得超过3%才能出厂才能出厂. 现现从该批产品中随机抽取从该批产品中随机抽取10件件, 发现其中有发现其中有2件次品件次品, 问这批产品能否出厂问这批产品能否出厂. 例例7.1 要要判断判断工艺改革后零工艺改革后零

3、件平均长度是否仍为件平均长度是否仍为4cm;例例7.2 要要判断判断该批产品的次该批产品的次品率是否低于品率是否低于3%.进行这种判断进行这种判断的信息来自的信息来自所抽取的样本所抽取的样本这两个例子中都是要这两个例子中都是要对某种对某种“陈述陈述”做出判做出判断断:5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在本节中在本节中, 我们将讨论不同于参数估计我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题的另一类重要的统计推断问题. 这就是这就是根据根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确正确. 这类问题称作这类问题称作假设检验问题假设检

4、验问题. 所谓所谓假设检验假设检验, 就是事先对总体参数或就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设总体分布形式作出一个假设, 然后利用样本然后利用样本信息来判断原假设是否合理信息来判断原假设是否合理, 即判断样本信即判断样本信息与原假设是否有显著差异息与原假设是否有显著差异, 从而决定是否从而决定是否接受或否定原假设接受或否定原假设.6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验总体分布已知总体分布已知, 检验关于未知参数检验关于未知参数的某个假设的某个假设非参数假设检验非参数假设检验总体分布未知时的总体分布未知时的假设检验问题假设检

5、验问题7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 把每一罐都打开倒入量把每一罐都打开倒入量杯杯, 看看容量是否合于标准看看容量是否合于标准. 这样做显这样做显然不行！然不行！ 生产流水线上罐装可生产流水线上罐装可乐不断地封装乐不断地封装, 然后装箱然后装箱外运外运. 怎么知道这批罐装怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢可乐的容量是否合格呢?例例7.3 罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如每隔如每隔1小时小时, 抽查抽查5罐罐, 得得5个容量的值个容量的值x1,

6、 , x5, 根据这些值来判断生产是否正常根据这些值来判断生产是否正常. 每隔一定时间每隔一定时间, 抽查若干罐抽查若干罐. 如发现不正如发现不正常常, 就应停产就应停产, 找出原因找出原因, 排除故障排除故障, 然后再生然后再生产产; 如没有问题如没有问题, 就继续按规定时间再抽样就继续按规定时间再抽样, 以此监督生产以此监督生产, 保证质量保证质量.通常的办法是进行通常的办法是进行抽样检查抽样检查.9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 很明显很明显, 不能由不能由5罐容量的数据罐容量的数据, 在把握在把握不大的情况下就判断生产不正常不大的情况下就判断生产不正常, 因

7、为停产因为停产的损失是很大的的损失是很大的. 当然也不能总认为正常当然也不能总认为正常, 有了问题不能有了问题不能及时发现及时发现, 这也要造成损失这也要造成损失. 如何处理这两者的关系如何处理这两者的关系, 假设检验面对假设检验面对的就是这种矛盾的就是这种矛盾.10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在正常生产条件下在正常生产条件下, 由于种种随机因素由于种种随机因素的影响的影响, 每罐可乐的容量应在每罐可乐的容量应在355毫升上下波毫升上下波动动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要的这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位地位. 因此因此, 根据中心极限定理根据中心极

8、限定理, 假定每罐容假定每罐容量服从正态分布量服从正态分布是合理的是合理的. 罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 它的对立假设是：它的对立假设是：称称H0为为原假设原假设(或零假设或零假设, 解消假设解消假设);称称H1为为备选假设备选假设(或对立假设或对立假设).在实际工作中在实际工作中, 往往把不轻易往往把不轻易否定的命题作否定的命题作为原假设为原假设.0 H0:( = 355)0 H1:0 这样这样, 我们可以认为我们可以认为X1, , X5是取自正态是取自正态总体总体

9、的样本的样本, 当生产比较稳定时当生产比较稳定时,),(2 N是一个常数是一个常数. 2 现在要检验的假设是现在要检验的假设是:12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 那么那么, 如何判断原假设如何判断原假设H0 是否成立呢是否成立呢? 较大、较小是一个相对的概念较大、较小是一个相对的概念, 合理合理的界限在何处的界限在何处? 应由什么原则来确定应由什么原则来确定? 由于由于 是正态分布的期望值是正态分布的期望值, 它的估计它的估计量是样本均值量是样本均值 , 因此可以根据因此可以根据 与与 的的差距差距XX 0 来判断来判断H0 是否成立是否成立.0|X较小时较小时,

10、 可以认为可以认为H0是成立的是成立的;当当0|X生产已不正常生产已不正常.当当较大时较大时, 应认为应认为H0不成立不成立, 即即0|X13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 问题归结为对问题归结为对差异作定量的分析差异作定量的分析, 以确以确定其性质定其性质. 差异可能是由抽样的随机性引起的差异可能是由抽样的随机性引起的, 称称为为“抽样误差抽样误差”或或随机误差随机误差. 这种误差反映这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动偶然、非本质的因素所引起的随机波动. 14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 然而然而, 这种随机性的波动是有一

11、定限度这种随机性的波动是有一定限度的的, 如果差异超过了这个限度如果差异超过了这个限度, 则我们就不能则我们就不能用抽样的随机性来解释了用抽样的随机性来解释了. 必须认为这个差异反映了事物的本质差必须认为这个差异反映了事物的本质差别别, 即反映了生产已不正常即反映了生产已不正常. 这种差异称作这种差异称作“系统误差系统误差”.15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 问题是问题是, 根据所观察到的差异根据所观察到的差异, 如何判断如何判断它究竟是由于偶然性在起作用它究竟是由于偶然性在起作用, 还是生产确实还是生产确实不正常不正常?即差异是即差异是“抽样误差抽样误差”还是还

12、是“系统误系统误差差”所引起的所引起的?这里需要给出一个量的界限这里需要给出一个量的界限. 问题是问题是: 如何给出这个量的界限如何给出这个量的界限? 这里用到人们在实践中普遍这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则采用的一个原则: 小概率事件在小概率事件在一次试验中基本上不会发生一次试验中基本上不会发生.16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生.下面我们用一例说明这个原则下面我们用一例说明这个原则.这里有两个盒子这里有两个盒子, 各装有各装有100个球个球.99个白球个白球一个红球一个红球99个个9

13、9个个99个红球个红球一个白球一个白球17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现从两盒中随机取出一个盒子现从两盒中随机取出一个盒子, 问这个问这个盒子里是白球盒子里是白球99个还是红球个还是红球99个个?小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生.18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在我们从中随机摸出一个球现在我们从中随机摸出一个球, 发现是发现是此时你如何判断这个假设是否成立呢？此时你如何判断这个假设是否成立呢？小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生.我们不妨先假设我们不妨先

14、假设: 这个盒子里有这个盒子里有99个白球个白球.99个个19机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 假设其中真有假设其中真有99个白个白球球, 摸出红球的概率只有摸出红球的概率只有1/100, 这是小概率事件这是小概率事件.这个例子中所使用的推理方法这个例子中所使用的推理方法, 可以称为可以称为 小概率事件在一次试验中竟然发生了小概率事件在一次试验中竟然发生了, 不不能不使人怀疑所作的假设能不使人怀疑所作的假设.带概率性质的反证法带概率性质的反证法小概率事件在一次试验中基本上不会发生小概率事件在一次试验中基本上不会发生.99个个20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

15、返回返回 结束结束 概率反证法它不同于一般的反证法概率反证法它不同于一般的反证法 概率反证法的逻辑是概率反证法的逻辑是: 如果小概率事件如果小概率事件在一次试验中居然发生在一次试验中居然发生, 我们就以很大的把我们就以很大的把握否定原假设握否定原假设. 一般的反证法要求在一般的反证法要求在原假设成立的条原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立件下导出的结论是绝对成立的的, 如果事实与如果事实与之矛盾之矛盾, 则则完全绝对地否定原假设完全绝对地否定原假设.21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 现在回到我们前面罐装可乐的例中现在回到我们前面罐装可乐的例中: 在提出原假设在提

16、出原假设H0后后, 如何作出接受和拒如何作出接受和拒绝绝H0的结论呢的结论呢? 在假设检验中在假设检验中, 我们称这个小概率为我们称这个小概率为显显著性水平著性水平, 用用 表示表示. 的选择要根据实际情况而定的选择要根据实际情况而定. 常取常取0.1,0.01,0.05.22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升毫升和和360毫升之间毫升之间. 一批可乐出厂前应进行一批可乐出厂前应进行抽样检查抽样检查, 现抽查了现抽查了n罐罐, 测得容量为测得容量为X1, X2, , Xn, 问这一批可乐的容量是否合格问这一批可

17、乐的容量是否合格?23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 提出假设提出假设选检验统计量选检验统计量0XZn N(0,1)2|PZzH0: = 355 H1: 355由于由于 已知已知, 它能衡量差异它能衡量差异大小且分布已知大小且分布已知.|0 X 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 , 可以在可以在N(0,1)表中查到分位点的值表中查到分位点的值 , 使使2z 24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故我们可以取拒绝域为：故我们可以取拒绝域为：也就是说也就是说, “2|Zz”是一个小概率事件是一个小概率事件.C：2|Zz 如果由样本值算得该统

18、计量的实测值落如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域入区域C, 则拒绝则拒绝H0 ; 否则否则, 不能拒绝不能拒绝H0 .2|PZz2z2z (0,1)ZN( )f zz25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 这里所依据的逻辑是这里所依据的逻辑是: 如果如果H0 是对的是对的, 那么衡量差异大小的某个统计量落入区域那么衡量差异大小的某个统计量落入区域 C(拒绝域拒绝域) 是个小概率事件是个小概率事件. 如果该统计量的如果该统计量的实测值落入实测值落入C, 也就是说也就是说, H0 成立下的小概率成立下的小概率事件发生了事件发生了, 那么就认为那么就认为H0不可信而否定

19、它不可信而否定它. 否则我们就不能否定否则我们就不能否定H0 (只好接受它只好接受它). 不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对一定对, 而只是而只是说差异还不够显著说差异还不够显著, 还没有达到足以否定还没有达到足以否定H0的程度的程度. 所以假设检验又叫所以假设检验又叫“显著性检验显著性检验”.26机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果显著性水平如果显著性水平 取得很小取得很小, 则拒绝域也则拒绝域也会比较小会比较小. 其产生的后果是其产生的后果是: H0难于被拒绝难于被拒绝.如果在如果在 很小的情况下很小的情况下H0仍被拒绝了仍被拒绝了, 则说明实际情则

20、说明实际情况很可能与之有显著差异况很可能与之有显著差异.2z2z(0,1)ZN( )f zz27机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 基于这个理由基于这个理由, 人们常把人们常把 时拒时拒绝绝H0称为是称为是显著显著的的, 而把在而把在 时拒绝时拒绝H0称为是称为是高度显著高度显著的的.01. 005. 02z2z(0,1)ZN( )f zz28机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.4 某工厂生产的一种螺钉某工厂生产的一种螺钉, 标准要求长度标准要求长度是是32.5毫米毫米. 实际生产的产品实际生产的产品, 其长度其长度 X 假定假定服从正态

21、分布服从正态分布 未知未知, 现从该厂生现从该厂生产的一批产品中抽取产的一批产品中抽取6件件, 得尺寸数据如下得尺寸数据如下:2( ,),N 232.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格? 下面下面, 我们结合另一个例子我们结合另一个例子, 进一步说明进一步说明假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤.29机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 01:32.5:32.5HH第一步：第一步：能衡量差异能衡量差异大小且分布大小且分布已知已知32.5 (5)6XttS第

22、二步：第二步： 取一检验统计量取一检验统计量, 在在H0成立下求出它成立下求出它的分布的分布已知已知 未知未知22 ( ,),X N 分析分析: 这批产品这批产品(螺钉长度螺钉长度)的全体组成问的全体组成问题的总体题的总体 . 现在要现在要检验检验 是否为是否为32.5.X( )E X30机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即 是一个是一个小概率事件小概率事件. 2| |(5)tt 第三步第三步: 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 , 查查表确定临界值表确定临界值0.0120.005(5)(5)4.0322tt, ,使使2| |(5)Ptt得否定域得否定域(拒绝域

23、拒绝域) C: |t |4.0322故不能拒绝故不能拒绝H0 .第四步第四步: 将样本值代入将样本值代入, ,算出统计量算出统计量 t 的实测值的实测值| t |=2.9974.0322没有落入没有落入拒绝域拒绝域31机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 假设检验会不会犯错误呢假设检验会不会犯错误呢? 由于作出结论的依据是由于作出结论的依据是小概率原理小概率原理: 小小概率事件在一次试验中概率事件在一次试验中基本上基本上不会发生不会发生.不是一定不发生不是一定不发生32机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果H0成立成立, 但统计量的实测值落入

24、否定但统计量的实测值落入否定域域, 从而作出从而作出否定否定H0的结论的结论, 那就犯了那就犯了“以以真真为为假假”的错误的错误. 如果如果H0不成立不成立, 但统计量的实测值未落入但统计量的实测值未落入否定域否定域, 从而没有作出否定从而没有作出否定H0的结论的结论, 即即接受接受了错误的了错误的H0, 那就犯了那就犯了“以假为真以假为真”的错误的错误.33机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 H0为真为真实际情况实际情况决定决定拒绝拒绝H0接受接受H0H0不真不真第一类错误第一类错误正确正确正确正确第二类错误第二类错误34机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返

25、回 结束结束 两类错误是互相关联的两类错误是互相关联的, 当样本容量固定当样本容量固定时时, 一类错误概率的减少导致另一类错误概率一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加的增加. 要同时降低两类错误的概率要同时降低两类错误的概率 , 或者要或者要在在 不变的条件下降低不变的条件下降低 , 或者需要增加样本或者需要增加样本容量容量., 显著性水平显著性水平 为犯第一类错误的概率为犯第一类错误的概率.P拒绝拒绝H0|H0为真为真= ,P接受接受H0|H0不真不真= .35机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例: 某厂生产的螺钉某厂生产的螺钉, 标准强度为标准强度为68克

26、克/mm2,而实际生产的螺钉强度而实际生产的螺钉强度X服从服从 , 若若 , 则认为这批螺钉符合要求则认为这批螺钉符合要求, 否则认为不符合要求否则认为不符合要求.为此提出如下假设为此提出如下假设:2( ,3.6 )N68EX0010:68,:HH 现从该厂生产的螺钉中抽取容量为现从该厂生产的螺钉中抽取容量为36的的样本样本, 其样本均值为其样本均值为 , 问原假设是否问原假设是否正确正确?5 .68x0.0536机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若原假设正确若原假设正确, 则则23.6(68,)36XN2681.963.66XPz拒绝域为拒绝域为69.1866.82

27、4Xor X5 .68x落入接受域落入接受域, ,则接受原假设则接受原假设.37机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 犯第一类错误的概率犯第一类错误的概率=P(拒绝拒绝H0|H0为真为真)若若H0为真为真, 则则 )366 . 3,68(2NX 所以所以, 拒绝拒绝 H0 的概率为的概率为 , 又称为又称为显著显著性水平性水平, 越大越大, 犯第一类错误的概率越大犯第一类错误的概率越大, 即越显著即越显著.(69.18)(66.824)PXX38机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 H0不真不真,即即 68, 可能小于可能小于68, 也可能大也可能大

28、于于68, 的大小取决于的大小取决于 的真值的大小的真值的大小.)366 . 3,66(2NX0853. 09147. 01)37. 1 () 3 . 5 (设设 = 66, n = 36, 犯第二类错误的概率犯第二类错误的概率 = P(接受接受H0|H0不真不真)6 . 06682.666 . 06618.69)6618.6982.66(66XP39机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若 = 69, n = 36,)366 . 3,69(2NX6177. 00002. 06179. 0)63. 3()3 . 0(6 . 06982.666 . 06918.69)69

29、18.6982.66(69XP取伪的概率较大取伪的概率较大.40机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6062.56567.57072.5750.020.040.060.080.10.1267.5 70 72.5 75 77.5 80 82.50.020.040.060.080.10.12/2/2H0 真H0 不真41机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 仍取仍取 = 0.05, 则则96. 1025. 02zzc681.963.68X 由由可以确定拒绝域为可以确定拒绝域为 (, 67.118)与与(68.882, + )因此因此, 接受域为接受域为

30、(67.118, 68.882)现增大样本容量现增大样本容量, 取取n=64, =66, 则则)646 . 3,66(2NX42机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0853. 00064. 09936. 01)49. 2()4 . 6(6177. 03936. 0)6988.6812.67(69XP)1,(045. 06612.6745. 06688.68)66882.68118.67(66XP43机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 命题命题: : 当样本容量确定后当样本容量确定后, ,犯两类错误的概率犯两类错误的概率不不可能同时减少可能同时减少

31、.0100:;:HH此时犯第二类错误的概率为此时犯第二类错误的概率为 00()PHH接受不真01()P Xk10()PXk证证 设设 , 在水平在水平 给定下给定下, 检验假设检验假设),(20NX44机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 00()PHH接受不真1110()PXk110100()/kXPnn100()/kn 0nkz100()/n zn10()PXk45机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 100()/n zn221()2xzedxz 又又100/zzn 由此可见由此可见, 当当 n 固定时固定时1) 若若zz2) 若若zz100()

32、nzz46机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 抽样分布回顾抽样分布回顾: : 若若 (x) /2 /21- 0 xz /2-z /21, ,nXX2( ,),XN 2| |;P zz为样本为样本, 则则 1.(0,1);XzNn (1)/Xtt nSn2| |(1)aP tt n47机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2222122( ) ( )Pnn2222112.() ( );niiXn2222(1)nnSn2222122(1) (1)Pnn48机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 假设假设设设 为样本为样本, 为已知数

33、为已知数1, ,nXX2( ,),XN 200, (1) (双侧双侧)0010:,:HH1. 已知的情形已知的情形(z 检验检验)2202. 未知的情形未知的情形( t 检验检验)200010:(),:HH (3) (左单侧左单侧)00010:(),:HH (2) (右单侧右单侧)49机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 相同点相同点(1) 平均数值在中央且等于平均数值在中央且等于0, 以纵轴为对称轴以纵轴为对称轴.(2) 曲线由中央向两侧逐渐降低曲线由中央向两侧逐渐降低, 两尾部无限延两尾部无限延伸与横轴相靠始终不相交伸与横轴相靠始终不相交.(3) 面积为面积为1.50

34、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 不同点不同点(1) 标准正态曲线的形状不随标准正态曲线的形状不随n (自由度自由度)的大的大小而改变小而改变. t分布曲随着分布曲随着n的不同而变化的不同而变化, 曲线曲线不是一条不是一条, 而是多条而是多条(一簇一簇), 即不同的自由度即不同的自由度有不同的曲线有不同的曲线.(2) n愈小愈小, t分布曲线愈平坦分布曲线愈平坦, 曲线中间愈低曲线中间愈低, 两侧尾部翘得愈高两侧尾部翘得愈高. n愈大愈大, t分布曲线愈接近分布曲线愈接近正态分布曲线正态分布曲线. 为为时时, 分布曲线与标准正态分布曲线与标准正态分布曲线完全重合分布曲

35、线完全重合. 分布就可由标准正态分分布就可由标准正态分布来取代布来取代.51机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 双边双边 z 检验检验 设设 取自正态总体取自正态总体 的一的一个样本个样本, 为为已知常数已知常数.2202( ,)N 1,nXX(1) 检验假设检验假设00:H10:H分析分析0(0,1)/XZNnX比较集中的反映总体均值信息比较集中的反映总体均值信息, 所以所以检验函数从样本均值着手考虑检验函数从样本均值着手考虑1. 已知的情形已知的情形(z 检验检验)22052机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0000(0,1)/XXzNnn

36、H0成立时，成立时，可选用可选用 z 统计量统计量000/Xzn做为检验函数做为检验函数00Ez 因此，因此，000/Xzn应在应在0的周围随机的周围随机摆动摆动, 远离远离0的可能性较小的可能性较小, 拒绝域选在两侧拒绝域选在两侧.(2) 选用选用 z 统计量统计量000/Xzn53机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3)给定显著性水平给定显著性水平 , 查正态分布表查正态分布表, 使使Pzk即即1Pzk 2( ) 11k ( )12k 则则寻找上侧分位点寻找上侧分位点 ，使，使2zk21Pzz 54机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 确定拒

37、绝域确定拒绝域22:,Czzz (4) 计算样本实测值值计算样本实测值值, 判断其是否落入拒绝域判断其是否落入拒绝域.若若0zC, 即即02|zz, 拒绝原假设拒绝原假设.否则接受原假设否则接受原假设.55机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: 总体分布为总体分布为 01:1600;:1600HH例例7.6 某产品指标服从正态分布某产品指标服从正态分布, 均方差均方差 已已知知, 为为150小时小时. 今在一批产品中随机抽取了今在一批产品中随机抽取了26个样本个样本, 测得指标的平均值为测得指标的平均值为1637小时小时, 问在问在5%的显著性水平下的显著性水平下,

38、 能否认为这批产品的指能否认为这批产品的指标为标为1600小时小时? 2( ,150 )XN提出假设提出假设 56机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 代入代入 , 并由样本值计算得统计并由样本值计算得统计1673,26xn量量u的实测值的实测值z0 =1.25782.33故拒绝原假设故拒绝原假设H0 .落入否定域落入否定域 此时可能犯第一类错误此时可能犯第一类错误, 犯错误的概率不犯错误的概率不超过超过0.01.21(0,1)XZNn取统计量取统计量否定域为否定域为C :0.012.33zz 是是一小概率事件一小概率事件0.01zz63机动机动 目录目录 上页上页 下页

39、下页 返回返回 结束结束 例例7.8 已知某炼铁厂的铁水含碳量已知某炼铁厂的铁水含碳量(%)在正常在正常情况下服从正态分布情况下服从正态分布N(4.55, 0.112), 今测得今测得5炉铁水含碳量如下炉铁水含碳量如下:4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37.若标准差不变若标准差不变, 铁水的含碳量是否有明显的降铁水的含碳量是否有明显的降低低? ( ) 解解 此为方差此为方差 时的左边单侧检验时的左边单侧检验,220.110.05由题设知由题设知 n=5, , 又由样本观察值计算出又由样本观察值计算出220.11其假设为其假设为01:4.55,:4.55HH64机动机动 目录

40、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 364. 4x004.364 4.553.781,/0.11/ 5xzn1.645zz所以拒绝所以拒绝H0接受接受H1, 即认为铁水的含碳量即认为铁水的含碳量有显著下降有显著下降. 65机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设 取自正态总体取自正态总体 的一个的一个样本样本, 为为未知数未知数.22( ,)N 1,nXX双边双边 t 检验检验(1) 检验假设检验假设00:H10:H(2) 构造构造 t 统计量统计量0 (1)/Xtt nSn 2. 2 未知的情形未知的情形( t 检验检验)66机动机动 目录目录 上页上页 下

41、页下页 返回返回 结束结束 21()1niiXXSn其中其中(3) 给定显著性水平给定显著性水平 , 确定拒绝域确定拒绝域由由P tk1P tk 查查t-分布表分布表, 自由度取自由度取n-1, 确定分位点确定分位点拒绝域拒绝域2(1)tn22:,(1)(1),Cttntn 67机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 单边单边 t 检验检验 (1) 检验假设检验假设00:H10:H拒绝域拒绝域:(,(1)Cttn (2) 检验假设检验假设10:H拒绝域拒绝域:(,(1)Cttn 00:H68机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) 检验假设检验假设

42、00:H10:H拒绝域拒绝域:(1),)Cttn (4) 检验假设检验假设00:H10:H拒绝域拒绝域:(1),)Cttn69机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.9 假设粮食产量服从正态分布假设粮食产量服从正态分布. .某县在秋某县在秋收时随机抽查收时随机抽查了了20个村的产量个村的产量(单位单位: kg), 平均平均产量为产量为981kg, =50kg, 问该县已达到吨粮县问该县已达到吨粮县的结论是否成立的结论是否成立?( ) S0.05解解 本题是本题是 未知的左边单侧检验未知的左边单侧检验201:1000,:1000HH由于由于 未知未知, 用用 t 检验

43、检验. 由题设由题设 n=20, =50, 则则2S70机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,981x00981 10001.70,/50/ 20 xtSn0.05(1)(19)1.7291,at nt00.05(19),tt所以接受所以接受H0, 认为该县已经达到了吨粮县的标准认为该县已经达到了吨粮县的标准. 若取若取 =0.06, 由于由于t0 -t0.06(19)=-1.6280, 则则应当拒绝应当拒绝H0, 认为该县尚未达到吨粮县的标准认为该县尚未达到吨粮县的标准.71机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 欲检验假设：欲检验假设：设设211

44、( ,),XN 222(,)YN 1 . 已知时的已知时的 z 检验检验22122. 但未知时的但未知时的 t 检验检验22212012112:,:HH (3) 左边单侧检验左边单侧检验 012112:,:HH (1) 双侧检验双侧检验012112:,:HH (2) 右边单侧检验右边单侧检验 72机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 检验假设检验假设012:H112:H(2) 构造构造 z 统计量统计量221212(0,1)XYZNnn 设设 和和 分别为取自正态总体分别为取自正态总体 和和 的样本的样本, 在方差在方差 已知已知的条件下的条件下2212,211(

45、,)XN 11,nXX21,nYY222(,)YN 1 . 已知时的已知时的 z 检验检验221273机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 查正态分布表，拒绝域查正态分布表，拒绝域22:(,)Cuzz 2()Pzz (3) 给定显著性水平给定显著性水平 , , 确定拒绝域确定拒绝域(4) 求样本观测值的求样本观测值的z值值, 判断判断 与否与否.zC74机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 检验假设检验假设012:H112:H(2) 构造构造 t 统计量统计量1212 (2)11wXYtt nnSnn2. 但未知时的但未知时的 t 检验检验2

46、2212 设设 和和 分别为取自正态总体分别为取自正态总体 和和 的样本的样本, 在方差在方差 的条件下的条件下211(,)XN 11,nXX21,nYY222(,)YN 2221275机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22112212(1)(1)2wnSnSSnn其中其中特别特别 时时, ,12nn22122wSSS可以推广至检验可以推广至检验12c 此时将此时将 t 统计量分子换成统计量分子换成XYc76机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 查查t-分布表拒绝域分布表拒绝域0212(2)HPttnn (3) 给定显著性水平给定显著性水平 ,

47、, 确定拒绝域确定拒绝域22:(,)Cttt (4) 求样本观测值的求样本观测值的t-值值, 判断判断 与否与否.tC77机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.10 为比较两种农药残留时间的长短为比较两种农药残留时间的长短, 现现分别取分别取12块地施甲种农药块地施甲种农药, 10块地施乙种农块地施乙种农药药, 经一段时间后经一段时间后, 分别测得结果为分别测得结果为: 假设两药的残留时间均服从正态分布且方差假设两药的残留时间均服从正态分布且方差相等相等, 试问两种农药的残留时间有无显著差异试问两种农药的残留时间有无显著差异? ( )221212.35,3.52;

48、10.75,2.88.xSyS乙 :甲 :0.05解解 此为此为 但未知时，两个正态总体均但未知时，两个正态总体均值差的值差的 t 检验检验.22212012112:,:HH78机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 02211221212(1)(1)11()212.35 10.752.078611 3.529 2.881112 1021210 xytnSnSnnnn 120.0522(2)(20)2.0860tnnt 所以在显著性水平所以在显著性水平 =0.05下接受下接受H0, 认为认为两种农药的残留时间无显著差异两种农药的残留时间无显著差异.若若 =0.052, 拒绝

49、拒绝H0 .0.0522(20)2.0663t79机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2假设假设设设2( ,)XN 1. 已知时已知时, 2的的 2检验检验 2. 未知时未知时, 2的的 2检验检验 (1) 双侧检验双侧检验 22220010:,:HH(2) 右边单侧检验右边单侧检验 22220010:,:HH(3) 左边单侧检验左边单侧检验 22220010:,:HH80机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 检验假设检验假设2200:H2210:H2222021(1)( )niiXnSn 设设 取自正态总体取自正态总体 的一个样的一个样本

50、，本， 为已知常数为已知常数02( ,)N 1,nXX双边双边 2检验检验 1. 已知时已知时, 2的的 2检验检验 比较集中的反映了比较集中的反映了 的信息的信息2S281机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22020(1)nS (2) 选取选取 统计量做为检验函数统计量做为检验函数222O2/21( ) n2/2( ) nH0成立时，成立时，22220220(1)(1)( )nSnSn20En因此，因此，远离远离n的可能性较小的可能性较小20拒绝域选在两侧拒绝域选在两侧.82机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) 给定显著性水平给定显著性

51、水平 ，确定拒绝域，使，确定拒绝域，使212()1P kk 拒绝域拒绝域222221:(0,( )( ),)Cnn222( )2Pn为了计算方便，取为了计算方便，取2212(), ()22PkPk查查 -分布表知，上侧分位点分布表知，上侧分位点 使使222( )n2221( )2Pn分位点分位点 使使221( )n83机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 单边单边 2检验检验(1) 检验假设检验假设2200:H2210:H拒绝域拒绝域22:( ),)Cn(2) 检验假设检验假设2210:H拒绝域拒绝域221:(0,( )Cn2200:H84机动机动 目录目录 上页上页 下

52、页下页 返回返回 结束结束 (1) 检验假设检验假设2200:H2210:H拒绝域拒绝域22:( ),)Cn选统计量选统计量22020(1)nS22020nEnH0成立时，成立时， 远大于远大于n的可能性较小，拒绝域应在右侧的可能性较小，拒绝域应在右侧20由于由于 分布未知，考虑分布未知，考虑2222(1)( )nSn2085机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即 因此因此, 在给定在给定 条件下条件下, 使使2Pk2k事件事件2222220(1)(1)nSnS2222220(1)(1)nSnSPP所以所以22220(1)(1)nSnSH0成立时，成立时，对假设对假设

53、H0, 为小概事件为小概事件, 拒绝域仍为拒绝域仍为C.22086机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 检验假设检验假设2200:H2210:H (2) 构造构造 统计量统计量222212200()(1)(1)niiXXnSn2 设设 取自正态总体取自正态总体 的一个样的一个样本本, 未知未知.2( ,)N 1,nXX双边双边 2检验检验 2. 未知时未知时, 2的的 2检验检验 87机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) 给定显著性水平给定显著性水平 , 确定拒绝域确定拒绝域, 使使0212() 1HPkk 拒绝域拒绝域222221:

54、(0,(1)(1),)Cnn222(1)2Pn查查 -分布表知分布表知, 上侧分位点上侧分位点 使使222(1)n2221(1)2Pn分位点分位点 使使221(1)n为了计算方便为了计算方便, 取取2212(), ()22PkPk88机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 单边单边 2检验检验 (1) 检验假设检验假设2200:H2210:H拒绝域拒绝域22:(1),)Cn (2) 检验假设检验假设2210:H拒绝域拒绝域221:(0,(1)Cn2200:H89机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例11 已知某种棉花的纤度服从已知某种棉花的纤度服从

55、N( , 0.0482), 现从中任取现从中任取8个样品个样品, 测得纤度为测得纤度为 1.36, 1.40, 1.38, 1.32, 1.42, 1.36, 1.44, 1.32 . 问棉花纤度的方差与已知纤度的方差是否相同问棉花纤度的方差与已知纤度的方差是否相同? ( =0.10)解解 这是这是 未知情况下未知情况下, 对总体方差的双侧检验对总体方差的双侧检验.222220010:0.048 ,:HH由于由于 , 且由样本观察值计算得且由样本观察值计算得2208,0.048n90机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 221.3750.04375xS，2220.05(1

56、)(7) 14.067n对对 =0.10, 查查 2 分布表得分布表得222122(1)(1)nn 220.9512(1)(7)2.167n222022017 0.043755.815970.048nS由于由于 所以接受所以接受H0, 认为棉花纤度的方差与认为棉花纤度的方差与0.0482无显著不同无显著不同.91机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例12 在进行工艺改革时在进行工艺改革时, 一般若方差显著增一般若方差显著增大大,可作相反方向的改革以减小方差可作相反方向的改革以减小方差. 若方差变化若方差变化不显著不显著, 可试行别的改革方案可试行别的改革方案. 今进行

57、某项工艺今进行某项工艺改革改革,加工加工23个活塞个活塞, 测量其直径测量其直径, , 设改革前活塞直径方差为设改革前活塞直径方差为0.0004, 问进一步改革问进一步改革的方向应如何的方向应如何(假设改革前后活塞直径服从正态假设改革前后活塞直径服从正态分布分布, =0.10)解解 这是这是 未知情况下未知情况下, 对总体方差的单侧检验对总体方差的单侧检验.20.00066S 20:0.0004H21:0.0004H92机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对对 =0.05, 查查 2 分布表得分布表得220(1)n2(1) 33.92n 22020122 0.00066

58、36.30.0004nS由于由于 所以拒绝所以拒绝H0, 认为改革后的直径方差大认为改革后的直径方差大于改革前于改革前, 下一步改革朝相反方向进行下一步改革朝相反方向进行.选择统计量选择统计量22201nS93机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 F假设假设且它们相互独立且它们相互独立设设211 ( ,),XN 222(,),YN 1. 1, 2已知时方差齐性的已知时方差齐性的 F 检验检验2. 1, 2未知时方差齐性的未知时方差齐性的 F 检验检验(1) 双侧检验双侧检验 2222012112:,:HH(2) 右边单侧检验右边单侧检验 2222012112:,:HH(3

59、) 左边单侧检验左边单侧检验 2222012112:,:HH94机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 检验假设检验假设22012:H22112:H (2) 构造构造F 统计量统计量 设设 和和 分别为取自正态总体分别为取自正态总体 和和 的样本的样本, 在均值在均值 已知已知的条件下的条件下12, 211(,)XN 11,nXX21,nYY222(,)YN 1. 1, 2已知时方差齐性的已知时方差齐性的 F 检验检验95机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22122111( ,)(,)F n nFn n (3) 给定显著性水平给定显著性水平

60、 , 确定拒绝域确定拒绝域2212121:( ,)( ,)CFFn nFF n n注意注意:122211122121()(,)()niiniinXFF n nnY/212( ,)Fn n1/212( ,)Fn n/2/296机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1) 检验假设检验假设22012:H22112:H (2) 构造构造F 统计量统计量2. 1, 2未知时方差齐性的未知时方差齐性的 F 检验检验 设设 和和 分别为取自正态总体分别为取自正态总体 和和 的样本的样本, 在方差在方差 未知未知的条件下的条件下12, 211(,)XN 11,nXX21,nYY222(