平面向量专题复习知识梳理印用

1、平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）；单位向量、基底、正交基底；向量的模（或向量的长度）；（二）向量的基本运算：1. 向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：向量求和的三角形法则；向量求和的平行四边形法则；向量减法法则；数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作 ；其长为 ；其方向为： ；2. 向量共线的条件：结论1 （平行向量基本定理）向量与平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使特别地，三点共线结论2：若不重合，则三点共线存在实数，使且3（平面向量基本定理） 设是平面上两个不共线向量（

2、称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数使这里 称为向量关于基底 的分解式。4. 平面向量的坐标表示及运算设，则有： ； ； ； ；5.向量的数量积：两个向量的数量积：，其中为两个向量的夹角，其范围为 数量积有如下性质： ； 夹角公式 ；（坐标形式） 即 （用于求模）； ；（坐标形式） （某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律： ；（2）数乘律： ；（3）分配律： 。（请给出证明）注意：不满足消去律：推不出结论，举例： 6.三角不等式 ，称为向量三角形不等式（三）三角形的“四心”与向量1. 关于重心G，有重心公式：坐标，并有性质；2. 关于垂心H，有性质；3. 关于外心

3、O，有性质；结论：O、H、G三点共线且；此线称为欧拉（）线。（如何证明？）4. 关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如。二、典型例题例1.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）例2在中，M为BC的中点，则_.（用表示）例3D是ABC的边AB上的中点，则向量( )（A） （B） （C） （D）例4在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点，已知,试用表示 .如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为PABCMN例5、如图在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN与CM相交于点P，且，试用、表示例6与向量=的夹角相等，且模为1的向量是( ) (A)

4、(B) 或（C） （D）或例7设向量与的夹角为，且，则_例8.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （ ） （A） （B） （C） （D） 例9.已知向量=(-)，点O(0,0)和点A(1, -2)在直线l上的射影分别为和，且，则=（ ）A B- C 2 D-2例10（1）求证: ，其几何意义是 。（2）若,则 （3）已知,则与的夹角为 （4）已知中每两个向量夹角都为且,求值.例11.设平面向量、的和.如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）（A） （B）（C） （D）例12*证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成的两条线段。求证三条高相交于一点 例13已知O

5、，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，则实数= 。 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心向量练习题一班级_姓名_一、选择题1已知平面向量a= ，b=， 则向量( )A平行于轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于轴 D平行于第二、四象限的角平分线 2一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作

6、用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( )A 6 B 2 C D 3设P是ABC所在平面内的一点，则（）A B C D4设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( )A B C D5已知，向量与垂直，则实数的值为（ ） （A） （B） （C） （D）6在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD7已知平面向量，且/，则（ ）A、 B、 C、 D、8已知平面向量，与垂直，则是( )A 1 B 1 C 2 D 29若向量满足，与的夹角为，则( ) A B C D210已知平面向量，则向量( ) 11在

7、直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是( )（A） （B） （C） （D） 12已知向量，若与垂直，则( )A B C D4二、填空题1若平面向量，满足，平行于轴，则 2已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 3已知向量和的夹角为，则 4已知向量，且，则= 5设O、A、B、C为平面上四个点，且，则_6在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则_（用表示）7. 设向量，（1）若与垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求证：.8已知和，且求的值.向量练习题二班级_姓名_一、选择题：1若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a与b的夹角等于（ ） A B C

8、 D 2在平面直角坐标系中作矩形,已知,则·的值为（ ）A 0 B 7 C 25 D3向量,的夹角为120°，2，则·（）等于（ ）A B 2 C D 64已知向量，|1，对任意实数t，恒有|t|，则（ ）A B() C() D()()5已知，向量与垂直，则实数的值为（） （A） （B） （C） （D）6已知向量，如果，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向7已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向二填空题：8已知向量若向量，则实数的值是 ； 9设O为坐标原点

9、，向量 将绕着点 按逆时针方向旋转 得到向量 , 则的坐标为_10设集合平面向量，定义在上的映射，满足对任意x，均有(x) =x（R且）若a= b 且a、b不共线，则( a) (b)（a+b）=_；若，且，则_11若把函数的图象按向量平移，得到函数的图象，则向量的坐标为 12设向量则的最大值为 _13已知向量，如果，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向14已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向三、解答题：15四边形中， （1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及

10、四边形的面积。16平面向量，若存在不同时为的实数和，满足条件：，且，试求函数关系式。 17.如图，在直角ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。参考答案例1.A例2.例3A例4 2例5例6B例7. 例8.B例9.D例10 例11.D例13.C 1 B向量练习题一班级_姓名_一、选择题1已知平面向量a= ，b=， 则向量( C )A平行于轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于轴 D平行于第二、四象限的角平分线 2一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( D )A 6 B 2 C D

11、 3设P是ABC所在平面内的一点，则（B）A B C D4设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( B )A B C D5已知，向量与垂直，则实数的值为（ A ） （A） （B） （C） （D）6在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD7已知平面向量，且/，则（ BA、 B、 C、 D、8已知平面向量，与垂直，则是( A )A 1 B 1 C 2 D 29若向量满足，与的夹角为，则( C ) A B C D210已知平面向量，则向量( D ) 11在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是( C )（A） （B）

12、（C） （D） 12已知向量，若与垂直，则( C )A B C D4二、填空题1若平面向量，满足，平行于轴，则 (1,1) 2已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 33已知向量和的夹角为，则 7 4已知向量，且，则= 5设O、A、B、C为平面上四个点，且，则_6在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则_（用表示）7. 设向量，（1）若与垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求证：.8已知和，且求的值.向量练习题二班级_姓名_一、选择题：1若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a与b的夹角等于（D ） A B C D 2在平面直角坐标系中作矩形,已知,

13、则·的值为（ D ）A 0 B 7 C 25 D3向量,的夹角为120°，2，则·（）等于（ D ）A B 2 C D 64已知向量，|1，对任意实数t，恒有|t|，则（ C ）A B() C() D()()5已知，向量与垂直，则实数的值为（A） （A） （B） （C） （D）6已知向量，如果，那么( D ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向7已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（D ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向二填空题：8已知向量若向量，则实数的值是 ； 9设O为坐标原点，向量 将绕着点 按逆时针方向旋转 得到向量 , 则的坐标为_(0.5)_10设集合平面向量，定义在上的映射，满足对任意x，均有(x) =x（R且）若a= b 且a、b不共线，则( a) (b)（a+b）=_0_；若，且，则_2_11若把函数的图象按向量平移，得到函数的图象，则向量的坐标为 (-3,-4) 12设向量则的最大值为 _2_13已知向量，如果，那么( D ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与