数学试题(海宁)

1、数学试题（海宁）一选择题1过点 P 作抛物线 x22 py 的两条切线，分别切于A(x1, y1)、 B(x2 , y2)两点，且 x1>0> x2，若PA与PB夹角为450，则 x1 的取值范围为（D ）（A ） (0,p )（ B） (0, p)（ C） ( p ,)（ D） ( p,)22解：当x 2时，K AP1，y | x x1x11，知xp ，知 x1的取值范围为( p,)p1二填空题2服从正态分布N( ,2 ) ，记 F ( x)P(x) ，则对任意的,，给出下面已知四个结论： P(1)1F (1)；F (1)1 F(1)；F ()1； 函数 F(x)为增函数2则上述

2、所有正确结论的序号是_（ ）3点 A、B 在半径为 R 的球面上， A、B 两点的球面距离为R，则过 A、B 两点且面积的12取值范围为 _ _（R2 ,R2 ）2三解答题4双曲线x2y21的离心率为 e，过右焦点 F (c,0) 的直线 l 交双曲线于 M、N 两点，a2b 2交 y 轴于 P 点，记 PM1 MF，PN2NF（ 1）证明12 为定值；（ 2）若直线 l斜率为5 ，且以 MN 为直径的圆恰与 y 轴相切，求双曲线的离心率e解（ 1）：设 M( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), P( 0, y0 ) ，由 PM1 MF，PN2NF得：x11c, y1y0；x22

3、c, y2y0，代入x2y 21 得：11112b 21122a12 c 2y02(11 )2c2a 2b2(22(11 )2(12，相减得：，22 c 2y02a212 )2 )(12 )2a 2b2化简得：2a 212b2（ 2）由双曲线的定义得：|MF |e 得： | MF |e(x1a2 )exca 2exa ，a2c1c1x1ac | MN | | MF | | NF | e( x1x2 ) 2a ，由以 MN 为直径的圆恰与y 轴相切得：|MN |rx1x2 得： e(x1x2 )2ax1x2 ，得：1x22a22xe 1x 2y 21 得： (b25a 2 ) x 210a2 c

4、x5a 2c 2a2 b20由 a 2b 2y5( xc)得 ： x1 x210a2 c2a， 即 ：5ac1， 得5e1， 得 ：5a2b 2e 1c 2e 16 e26a2e 16e25e60 ，解得： e3或 e2，又直线 l与双曲线右支交于两点，23 k 2b 2e215满足离心率 e3a 242过抛物线C :y4x 2 的焦点作直线l交抛物线C于 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 两点，过点A、5B 分别作抛物线 C 的切线 l1 和 l2 yA1 ；（ 1） 证明： x1 x2F4（ 2）设切线 l1 和 l2 交于 P ，当直线 l 转动时，BxN OM证明：

5、 tanAPB 是定值；PtanAOB（ 3）设切线 l1 和 l 2 交 x 轴于 M 、 N ,当直线 l 转动时 ,求四边形 ABNM 面积的最小值注：原题（1）证明： x1 x21； （ 2）求 P 的轨迹4解：（ 1）设直线 l 的方程为 ykx1 ，联列 y4x 2 得：4 x2kx10 ，所以 x1 x21 4（ 2） kAO4x1 ,kBO4x2 ,由到角公式得：tanAPB4x 24x14( x1x2 ) ，116x2 x13同理： tanAOB8x28x18( x1x2 ) ，所以 tanAPB2 为定值164x2 x115tanAOB5（ 3）由（ 2）得 M ( x1

6、,0), N (x2, 0) ，过点 A 、 B 作 x 轴的垂线，垂足分别为A1 ,B1 22y1由于 x1 x20, x20 ，不妨设 x14AFSABNMSABB1 A1SAA1 MSBB1N(4x124 x22 )( x1x2 )1 12112Bx2 2 ( 2 x1 ) 4x12 (2 x2 ) 4x2 B1N OMA1= x13x232x12 x22 x22 x1 ，由于 x x21 ，P14所以SABNMx13x231 (x1x2 )( x1x2 )( x1x2 ) 23x1 x2 1 ( x1x2 )22= (x1x2 )( x1x2 ) 2 3 1 ( x1x2 ) ，设 t

7、x1x2 ，42则 SABNMt 31 t ，且 tx1(x2 )2 x1 (x2 )1，4而 S/ ( t) 3t 210 ，得 t13或 t1，4223所以 S(t ) 在 (1,) 递增，从而在 1 ,) 递增，所以SS(1)323max46若函数 f ( x) 同时满足：定义域、值域均为(0, 1) ；对任意 x1 , x2(0, 1) 且 x1x2 ，存在常数2 使 |f ( x1 )f (x2 ) | x1x2| 成立则称函数f ( x) 为“优美函数” （）设()x3 ,x(0, 1)，试判别函数g(x) 是否为优美函数；gx（）设函数f (x) 为优美函数，任取x1(0, 1)

8、 ，令 xn1f ( xn ), nN * 证明：| xnx1 |n 1 | x1x2 | ( n N * )解（） x(0, 1)时， g(x)x3(0, 1) ；又对任意 x1 , x2(0, 1) 且 x1x2 ，| g( x1 ) g( x2 ) | | x13x23 | | x12x1x2x22 | x1x2 |，x1 , x2(0, 1) 且 x1x2 ， | x1x2 | 0 且 | x12x1 x2x22 | 3 ， | g( x1 )g(x2 ) |3 | x1x2 |，函数 g (x) 是否为优美函数证（） | xn 1xn| f ( xn )f ( xn 1 ) | xn

9、xn1 | (n=2, 3, 4,)，得： | xn 1xn| xnxn 1|2 | xn 1x|n 1 | x2x |n 21又 | xnx1 | | (xnxn 1 ) ( xn 1xn 2 )(x2x1 ) | xnxn 1| xn 1xn 2| x2x | ( n 2n 31) | x2x |112 ， | xn 1n11 | x1x2 | ( n 11) | x1x2 |n 1 | x1x2 | xn |1对任意 nN * 恒有 | xnx1 |n 1| x2x1 | 成立7函数 fxx36x2 的定义域为2,t，设 f2m, ftn （ 1）求证： nm ；（ 2）确定 t 的范围

10、使函数f x在2,t上是单调函数；（ 3）求证：对于任意的t2，总存在 x02,t，满足 f 'x0nm ；并确定这样的 x0t2的个数解（ 1）设 h tnm ，则 h tt 36t 232(t2)(t4) 20 ，所以 nm （ 2） f x3x212，令 f x0 ，得 x10, x24 当 t2,0时， x2,t 时， f 'x0， fx 是递增函数；当 t0时，显然 fx在2,0也是递增函数 x0 是 f x的一个极值点，当t0时，函数 fx在2,t 上不是单调函数当 t2,0 时，函数fx 在2,t 上是单调函数（ 3）由（ 1），知 nm (t2)(t4)2 ， nmt 42t2又 f ' x3 x212， 我们只要证明方程3x212 xt20 在2,t内有解即可4记 g x 3 x212x2，t 4则 g 236t422t10 ， gt3t 212tt22t2 t4 ，t4当 t2,410,时， g2g t2t 224 t100，t方程在2,t内有且只有一解；当 t4,10时， g2t2t100 ， g t2 t2 t40 ，又 g 212t 420，方程在2,2 , 2,t内分别各有一解， 方程在 2,t内两解；当 t4 时，方程 gx3x212 x0 在2,4内有且只有一解x0 ；