利用导数求单调区间的一些大题(含答案)

1、.例 1. 已知函数 f ( x)1 x3ax2b 在 x2处有极值 .3（1）求函数 f (x) 的单调区间；（2）求函数 f (x) 在 3,3上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。例 2已知函数 f ( x)1 x3(k 1) x2 ， g ( x)1kx ，且 f ( x) 在区间 (2,) 上为增323函数（1）、求实数 k 的取值范围；k 的取值范围（2）、若函数 f ( x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点，求实数.解： (1)由 f ( x)1 x3ax 2b ，得 f (x)3x22ax a230, 得 x1 =- a , x2令 f (x)3x22ax a2a(a0

2、)3当 x变化时， f ( x), f (x)的变化情况如下表：x(, a )a( a , a)a( a, )333f ( x)0_0f ( x)Z极大值极小值Z由上述表格可知，f (x)极大值 =f (a )(a )3a( a )2a2 (a )15 a31a3a3a33a333327f ( x)极大值f (a)11(2) 由（ 1）可知f ( x)在 (,a)和( a,a上单调递减，3)上单调递增， 在（-,a ）3当 0a1, f ( x) 极大值 =f (a )5a310, f ( x)极小值 =f(a)=1-a 30a327yf ( x)在（,+上最多只有一个实数根，且此零点仅在 a

3、1时取得-）3又 yf (x) 在 (,a) 上单调递增，且f (1)a2aa(a1)03y f (x)在（ - ，-a ）上最多有一个实数根3f (x)y f (x)于是，当0 a 1时，y有 1个或 2 个零点，即函数至多有两个实数函数根。解：（ 1）由题意 f(x) x2(k1) x f ( x) 在区间 (2,) 上为增函数， f ( x)x 2(k1)x0在区间 (2,) 上恒成立即 k 1x 恒成立，又 x2 ， k12 ，故 k1 k 的取值范围为 k1（ 2）设 h( x)f ( x)g ( x)x3(k1) x2kx1，h (x) x 2323( k 1) x k (x k

4、)( x 1)令 h (x)0 得 x当 k1 时，当 k1 时，k 或 x1 由（ 1）知 k1 ，h ( x)(x1) 20 ， h( x) 在 R 上递增，显然不合题意h(x) ， h ( x) 随 x 的变化情况如下表：x( , k )k(k,1)1(1, )h ( x)00h( x)极大值极小值k 12.k 3k 21623由于 k10 ，欲使 f ( x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点，即方程h( x)0 有三个2k1k3k211)( k 20，即 (k不同的实根，故需2k 2) 0 22k，623k2 0解得 k 13综上，所求k 的取值范围为 k13例 3（ 2007

5、 年高考天津理科卷）已知函数f x2axa2 1x2x R ，其中 a R 。1（） 当 a1 时，求曲线 yfx 在点 2, f 2处的切线方程；（） 当 a0时，求函数 fx的单调区间与极值。.（ 2010 山东理数） (22)( 本小题满分 14 分 )已知函数 f ( x)ln xax1 a1 (a R) .x( ) 当 a1时，讨论 f ( x) 的单调性；2（）设 g( x)x22bx4. 当 a1 时，若对任意 x1(0, 2) ，存在 x21,2 ，使4f ( x1 )g( x2 ) ，求实数 b 取值范围 .解：（）当 a1时，曲线 yf x 在点2, f 2处的切线方程为6

6、x25 y320 。2ax212x2axa212ax ax1a（）由于 a0，所以 f x。x22x22110，得 x11, x2a 。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大由 f xa小。因此，需对参数 a 的取值分 a0 和 a0 两种情况进行讨论。（1）当 a0 时，则 x1x2 。易得 fx 在区间,1， a,内为减函数，在a区间1 , a为增函数。故函数f x在 x11 处取得极小值 f1a2 ；函数aaaf x在 x2a 处取得极大值f a1。（2）当 a0时，则 x1x2 。易得 fx 在区间 (, a) ， (1 ,) 内为增函数，在区a间 (a,1 ) 为减函数。 故

7、函数 fx在 x11处取得极小值f1a2 ；函数 fx 在aaax2 a 处取得极大值f a1。解：（）因为 f (x)ln xax1a，x1所以f (x)1aa1ax2x1 a x (0, ) ，xx2x2令h( x)ax 2x1a, x(0,) ，.1当 a时，x1x2, h( x)0 恒成立，此时 f ( x)0 ，函数f ( x) 在（0，+）上单调递减；11当 0 a时，110 ，2 ax (0,1) 时， h( x) 0，此时 f (x)0 ，函数 f ( x) 单调递减；x(1,11)时 h(x)0 ，此时 f (x)0 ，函数 f ( x) 单调递增；ax(11,) 时， h(

8、 x)0 ，此时 f ( x)0 ，函数 f (x) 单调递减；a1当 a0 时，由于10 ，x (0,1)， h( x)0 , 此时 f ( x)0 ，函数 f ( x) 单调递减；x (1,) 时， h(x)0 ，此时 f ( x)0 ，函数 f ( x) 单调递增 .综上所述：0（）因为 a= 1(0,1) ，由（）知，x1 =1，x2 =3(0, 2) ，当 x(0,1) 时， f (x) p 0 ，42函数 f ( x) 单调递减； g (x) min g(2) 8 4b0b (2, )1 b17,当28x (1,2) 时， f ( x) f0 ，函数 f ( x) 单调递增，所以

9、f ( x) 在（ 0， 2）上的最小值为 f (1)1 。2由于“对任意 x1(0, 2) ，存在 x2 1,2 ，使 f ( x1 ) g( x2 ) ”等价于“ g (x) 在 1,2 上的最小值不大于 f ( x) 在（ 0,2 ）上的最小值1 ”（*）2又 g (x) = ( x b) 24b2 ， x1 1,2 ，所以.当 b p 1 时，因为 g( x) min g(1)52b f0 ，此时与（ * ）矛盾当 b1,2时，因为 g( x) min4b20 ，同样与（ * ）矛盾当 b(2,) 时，因为 g ( x) ming(2)84b ，解不等式 8-4b1 ，可得 b1728

10、综上， b 的取值范围是17 ,。8（2010 北京理数） (18)( 本小题共13 分 ) 已知函数f ( x )=In(1+x )- x + x x2 ( k 0) 。2( ) 求 f ( x ) 的单调区间。（ II ） f ( x)x(kxk 1) ， x(1,) .1x当 k 0 时， f(x)x.所以，在区间 ( 1,0)上， f ( x)0 ；在区间x1(0, ) 上， f (x)0 .故 f (x) 得单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0, ).当 0 k 1 时，由 f ( x)x(kxk 1)0 ，得 x10 ，x21 k01xk所以，在区间( 1,0)和 (1 k

11、 ,) 上，f ( x) 0；在区间(0, 1k ) 上，kkf ( x)0故 f ( x) 得单调递增区间是(1,0)和 (1 k ,) ，单调递减区间是(0, 1 k ) .kk当 k 1 时， fx2故 f ( x) 得单调递增区间是( 1,) .(x)x1当 k1 时， f ( x)x(kxk1)，得 x11k0 .1x0( 1,0) ， x2k1k) 上， f (x)01 k,0)上， f(x) 0所以没在区间 ( 1,)和(0,；在区间 (kk故 f ( x) 得单调递增区间是 (1,1k ) 和 (0,)，单调递减区间是(1k ,0)kk4、已知函数 f(x)=ax 3-3x2+

12、1- 3 ,讨论函数 f(x) 的单调性a2已知函数 f(x)= xa (a0)在（ 2， +）上递增，求实数 a 的取值范围 x.6、若函数 f x1 x31 ax2a1 x 1 在区间（ 1，4）内为减函数，在区32间（ 6，+）上为增函数，试求实数a 的取值范围。1322、f(x)=x(1a) x4ax2a(a1) ，讨论函数 f(x) 的单调性及极值4、已知函数 f(x)=ax 3 -3x2+1- 3,讨论函数 f(x) 的单调性a2解析： f (x)=3ax-6x+1(a 0)22 x1=0 x2=令 f (x)= 3ax-6x+1(a 0a当 a0 时 x1x2 (导函数图象 )x(- ,0)0 (0,2)2(2,+ )aaaf,(x)+-+.f(x)f(x) 在（ -,0)和 ( 2,+ )上为增函数，af(x) 在 (0,2)为减函数。a当 ax 2=2列表ax222 (0,+ )(-, )(,-)aaaf ,