初中几何最值问题

1、初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例 1】 在锐角 ABC 中， AB=4 ，BC=5 ， ACB=45 °，将ABC绕点 B 按逆时针方向旋转，得到 A 1BC 1点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中， 点 P 的对应点是点 P1 ，求线段 EP1 长度的最大值与最小值C1P1AEPA 1BC【巩固】以平面上一点 O 为直角顶点， 分别画出两个直角三角形，记作AOB 和COD ，其中ABO= DCO=30 ° 如图，若 BO= 3 3 ，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2 点 P 是

2、线段 AB 上的一个动点，在将 AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为_，最大值为 _AOPOBNNCDCD备用图【例 2】 如图，MON90 °，矩形 ABCD的顶点 A B 分别在边 OM ，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2 ，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为_【巩固】已知： AOB 中，ABOB2 ， COD 中，CDOC3 , ABO DCO .连接 AD、BC，点M 、N、P分别为 OA、OD、BC的中点.若 A 、O 、C 三点在同一直线上， 且 ABO

3、 2 ，固定 AOB ，将 COD 绕点 O 旋转，则 PM 的最大值为 _BAMOPNDC【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点 M 为线段 AB 的中点点 D 、E 分别在 x 轴、y 轴的负半轴上，且 DE AB 10 以 DE 为边在第三象限内作正方形 DGFE ，请求出线段 MG 长度的最大值，并直接写出此时直线 MG 所对应的函数的解析式yBMDOAxGEF如图，已知2, y1 )，B(2, y2 )为反比例函数yx 图像上的两点，【例 3】A( 11动点 P(x,0) 在 x 正半轴上运动，当线段AP 与线段 BP 之差达到最

4、大时，点P 的坐标是 _yABOPx2、轴对称【例 1】求2x2 1 的最小值x 34【例】 AB CD 是半径为 5 的 O 的两条弦， AB8 ，CD6 ，MN 为直径，2ABMN 于点 E , CDMN 于点 F ， P 为 EF 上任意一点，则PA+PC 的最小值为 _CP +PDACMNEOPFDB【巩固】设半径为1 的半圆的圆心为 O ，直径为 AB , C、 D 是半圆上两点，若弧 AC 的度数为96 °，弧 BD 的度数为 36 °，动点 P 在直径 AB 上，则的最小值是 _【巩固】设正三角形ABC 的边长是2， M 是 AB 边上的中点， P 是边 BC

5、 上任意一点，则 PA +PM 的最大值为 _,最小值为_【例 3】如图，已知等边 ABC 的边长为 1，D、E、F 分别是 AB 、BC、AC 边上的点（均不与点 A 、B、C 重合），记 DEF 的周长为 p .若 D、E、F 分别是 AB、BC 、AC 边上任意点，则 p 的取值范围是.ADFBEC【例 4】 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y x22x3 与 x 轴交于 A B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点（ 1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（ 2）请在直线 AC 上找一点 M ，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标图 1【例 5】

6、如图，直线 y3x 2 分别交 x 轴、y 轴于 C 、A 两点，将射3线 AM 绕点 A 顺时针旋转 45 °得到射线 AN ，D 为 AM 上的动点， B 为 AN 上的动点，点 C 在 MAN 的内部（ 1）当 AM x 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求 BCD 的面积；（ 2）求 BCD 周长的最小值；（ 3）当 BCD 的周长取得最小值， 且 BD 5 32 时，求 BCD 的面积yAyAyA222D1M11O123C 4xO123C4xO123C4xBN备用图备用图【例 6】在直角坐标系中， A1, 2 ， B 4, 1 ， C m,0 ， D n, n 为四边形的

7、4 个顶点，当四边形 ABCD 的周长最短时， m_nyODCxBA【巩固】如图 1，抛物线 yax 2bx c （ a 0 ）的顶点为C（ 1，4），交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（ 3，0）。（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为 2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为直线 PQ 上的一动点，则x 轴上师范存在一点 H，使 D、G 、H、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点请说明理由。yPCyCDDFABAOxOG 、H 的坐标；若不存在

8、，yCEDBABxOxQ图13图2【例 7】 已知，如图 1，二次函数 y ax22ax 3a a 0 的图像的顶点为 H ，与 x 轴交于 A 、B 两点（ B 在 A 的右侧），点 H 、B 关于直线 l ：y3x3 对称3（1）求 A 、B 两点的坐标，并证明点 A 在直线 l 上；（2）求二次函数的解析式；（3）过点 B 作 BK AH 交直线 l于点 K，M 、N分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点，连结HN 、NM 、MK ，求 HN NM MK 的最小值yHlKAOBx图 1【巩固】如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数 y322xbx c的图象与x 轴交于 A（-1,

9、0 ）、 B（3,0）两点 , 顶点为 C .(1) 求此二次函数解析式；(2) 点 D为点Cly3 x3关于 x 轴的对称点，过点 A 作直线：33交 BD 于点 E，过点 B 作直线 BK AD 交直线 l 于 K 点.问：在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（ 2）的条件下，若 M 、 N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点，连结DN 、 NM 、 MK ，求 DNNMMK和的最小值 .【例 8】 在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B

10、 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA3 ， OB4 ，D 为边OB 的中点 .（）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，温馨提示：如图，可以作点 D 关于 x轴求点 E的坐标；对称点D，连接CD与 x轴交于点 E ，此时 CDE 的周长是最小的 . 这样，你只需求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了 .yBCyBCDDOEAxOAxD（）若E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF 2 ，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E 、 F 的坐标 .【巩固】已知点A（3，4），点 B 的坐标为（ 1，1）时，在x 轴上另取两点 E，F，且 EF=1线段 EF

11、在 x 轴上平移，线段 EF平移至何处时，四边形 ABEF的周长最小？求出此时点 E 的坐标【例 9】 已知直线 y1x 1与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 D，抛物线2y1 x2bxc 与直线交于 A 、E 两点，与 x轴交于 B、C2两点，且 B 点坐标为 (1，0).（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上找一点 M ，使 | AM MC |的值最大，求出点 M 的坐标。【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y3 x 64与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A 、B，将 OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点C.

12、（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A 、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT上一点，直接写出 QA QO的取值范围 .3、旋转【例 1】 如图，已知在 ABC 中， BC=a 等边三角形 ABD. 当 ACB 直线 AB 的两侧时，求 CD的度数 .， AC=b ，以 AB 为边作变化,且点 D 与点 C 位于的最大值及相应的 ACBCABD【例 2】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为 (0,2) ，点 D 在 x 轴的正半轴上， ODB 30 ，OE 为 BOD 的中线，过 B 、E 两点的抛物线 y a

13、x23x c 与 x 轴相交于 A、F 两点（ A 在 F 的6左侧）（1）求抛物线的解析式；（ 2）点 P 为三角形 ABO 内的一个动点， 设 m PA PB PO ，请直接写出 m 的最小值 ,以及 m 取得最小值时，线段 AP 的长 .yBEAOGFDx【巩固】已知矩形 ABCD ， AD =10 ， AB =6 ，在矩形 ABCD 内有一点 P ，在BC边上有一点 H ,分别确定点 P和H 的位置，使得APDPPH 最小ADPBHC【巩固】直角梯形ABCD 中，BC90 ，在梯形内求作一点O 使OQBC 于 Q 且 OA+OD +OQ 的值最小DAOBQC二、垂线段最短【例 1】已知

14、 AB 10 , P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 BP 为边作两个等边三角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 长度的最小值是 _CDAPB【例2】如图，在锐角ABC中，CAB4，2BA°，4C 5 BAC 的平分线交 BC于点 D，M、N分别是AD 和 ABDM上的动点，则BMMN 的最小值是_ ANB【巩固】矩形ABCD 中， AB20 ， BC10 .在 AC 、 AB 上各取一点 M 、N ，使 BM +MN 的值最小，求这个最小值O 【例 4】已知在DCMANB【例 3】如图，在 ABC 中， AB=15 ，AC=12 ，BC=9 ，经过点

15、 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB、CA 分别相交于点 E、F，则线段 EF 长度的最小值是 _BECFAABC 的 BC 边上取一点 D ，设 ABD 和 ACD 的外接圆的圆心分别是 O和 O ，求：使两圆半径为最小值时点 D 的位置OAO'BDC【巩固】点M 在ABC 的 AC 边上，分别作ABM 和CBM 的外接圆。问当 M 点在什么位置时，两外接圆公共部分的面积最小？OBO'CMA【例 5】在已知 ABC 内，作内接矩形 DEMN ，使一边 DE 在最大边 BC 上，另外两个顶点 M 、N 分别在边 AC ， AB 上。试确定矩形 DEMN 的位置，使对角线 DM

16、 长最短 .ANMBDEC【巩固】点 P 在锐角 ABC 的边上运动，试确定点 P 的位置，使 PA+PB +PC 最小，并证明你的结论 .【例 6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点， D 为抛物线的顶点， O 为坐标原点若OA、 OB（ OAOB）的长分别是方 程 x2 4x 3 0 的两根 ，且DAB45°（ 1）求抛物线对应的二次函数解析式；（ 2）过点 A 作 AC AD 交抛物线于点 C ，求点 C 的坐标；（ 3）在（2）的条件下，过点 A 任作直线 l 交线段 CD 于点 P，y求 C、 D 到直线 l 的距离分别为d1、 d2

17、，试求 d1+d2 的最大值cCclPOcBxAccDc【例 7】在直角坐标系中，点 A 坐标为（ -3，-2），圆 A 的半径为 1，P 为 x 轴上一动点， PQ 切圆 A 于点 Q ，则当 PQ 最小时， P 点的坐标为 _【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知 OAB 是等腰三角形（ OB 为底边），顶点 A的坐标是（2 ，4），点 B 在 x 轴上，点 Q 的坐标是 6 ，0 ， ADx 轴于点 D ，点 C 是 AD 的中点，点 P 是直线 BC 上的一动点（ 1）求点 C 的坐标（ 2）以点 P 为圆心、 2 为半径作圆，得到动圆 P ，过点 Q 作 P 的两条切线，切点分布为

18、E 、F ，问：是否存在以 O 、E 、P 、F为顶点的四边形的最小面积为 S ？若存在，请求出 S 的值；若不存在，请说明理由yACQODBx三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中， 最长的弦是直径， 最短的弦是垂直于过该点的直径的弦【例 1】如图， O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 10 ，如果过点 P 作弦，那么长度为整数值的弦的条数为 _OP2、设 A是 O 内一点，在连接 A 与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长；设 A 是 O 外一点，在连接 A 与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短【例 1】在直线 MN

19、的同侧有定点 A 及定圆圆 O，试在 MN 上求一点 P，在圆 O 上求一点 Q ，使 AP PQ 最短OQAMPN【例 2】点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上，记 dmaxM，N 为线段 PQ 长度的最大值，dmin M ，N 为线段 PQ 长度的最小值，图形 M 、 N，d max M ， Nd min M ， NN2的平均距离 Ed M（1）在平面直角坐标系xOy 中，O 是以 O 为圆心， 2为半径的圆，且 A1 ， 3， B 2，2 3 ，求 EdA， O 及 Ed B， O ；（直接2 2写出答案即可）（ 2 ）半径为1的 C 的圆心与坐标原点O 重合，直线343xyy

20、 -x3 与轴交于点 F，记线段 DF 为图3轴交于点 D ，与形 G ，求 Ed G， C （3）在（ 2）的条件下，如果C 的圆心 C 从原点沿 x 轴向右移动， C 的半径不变，且 EdG， C25 ，求圆心 C 的横坐标3、过圆上点作割线的垂线段， 当圆心在这垂线段上时， 该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点【例 1】已知： AB 是 O 中一条长为 4 的弦， P 是 O 上一动点， cos APB 13 问是否存在以 A 、P 、B 为顶点的面积最大的三角形 ,试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段， 当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上

21、所有点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点【例 1】如图，AB 是半圆的直径，线段 CA AB 于点 A ，线段 DB 上 AB点 B，AB=2 ，AC=1 ，BD=3 ，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是_DCPAOB5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角， 而这圆周角则大于该弧所对的圆外角【例 1】B 为 MON 的边 OM 上的两点，试在 ON 上求作一点 C ，使 ACB最大MBAOCN【例 2】如图所示，直线 CD 与线段 AB 为直径的圆相切于点D ，并交 BA 的延长线于点 C ，且PAB 2，AD1，

22、 P 点在切DCD 上移动 .当 APB 的度CA·BO最大时，则ABP 的度数_线数为四 、转化类【例 1】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与 B 点或 C 点重合），分别过 B、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B、 C、 D ，则 BB+CC +DD 的最大值为 _，最小值为 _DCB'PD 'ABC'【巩固】在ABC 中，A120， BC6 ，若ABC 的内切圆半径为r ，则 r 的最大值为 _【例 2】已知抛物线 y ax2 bx c 经过 A 4 ，3 、B 2 ，0 两点，当 x 3 和 x3时，这条

23、抛物线上对应的纵坐标相等 经过点 C 0 ， 2 的直线 l 与 x 轴平行， O 为坐标原点（1）求直线 AB 和这条抛物线y的解析式；（ 2 ）以 A 为圆心， AO 为半径的圆记为圆 A ,判断直线 l 与圆OxA 的位置关系，并说明理由；（ 3 ）设直线 AB 上的点 D 的横坐 标 为1 ,P m ，n是 抛 物 线y a2 x b x上的c动点，当 PDO 的周长最小时，求四边形 CODP 的面积【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 2，且 A（4，0），B（4，4），点 P 在 O 上运动。（ 1）求 2BP+AP 的最小值。（2）若点 M 是函数 y4x（ x>0,x 2）的图象上一点， MEx轴