定积分的应用PPT课件

1、 badxxfA)(回顾用定积分求曲边梯形面积的问题：0 , , ybxax，且且0)( xf及直线所围成的曲边梯形的面积其求解步骤如下：上上连连续续，在在设设,)(baxfy 、则则由由曲曲线线)(xfy ab xyo)(xfy A第1页/共38页abxoy)(xfy iiixfA )( 即即 ,1iiixx 任取任取第一步：分割将区间,ba任意分成n个小区间), 2 , 1(,1nixxii 由此曲边梯形就相应地分成个小曲边梯形。第二步：近似形面积之和即 niiAA1所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯为高，为高，以以)(if iiixxx 1为底的小矩形面积iixf )( 近似代替小曲边梯

2、形面积iA iA i n1 ixix第2页/共38页第三步： 求和第四步： 取极限Aiinixf )(lim10 max1inix 其中其中总结：上述四步中，由第一步知，,ba有关，部分量的和，可加性.,ba分成许多小区间，的面积A这个量就相应地分成许多部分量，如果把区间,ba具有这种性质称为所求量A对区间则所求而A是所有.)(1iinixf abxoy)(xfy iA i 1 ixix A所求面积A这个量与是是定定积积分分的的积积分分区区间间。,ba badxxf)(第3页/共38页就是定积分的被积表达式abxoy)(xfy iA 1 ixix上述第二步中的近似表达式iiixfA )( 可确

3、定定积分的被积表达式dxxf)(方法是：,1 iix 取取于是有iiixxfA )(1再将区间,1dxxxxxii 记为记为则iixxf )(1可写为dxxf)(称dxxf)(为面积A的微元，于是 badAAdAdxxfdA)( 即xdxx i 记为dA badxxf)( iA A第4页/共38页一般地，当所求量F符合下列条件：以上方法称为有关的量；有关的量；的变化区间的变化区间是与变量是与变量,)1(baxF具具有有可可加加性性，对对于于区区间间,)2(baF,ba即如果把即如果把，分分成成许许多多部部分分区区间间许许多多部部相相应应地地分分成成则则F，分量分量许许多多部部分分量量的的和和；

4、等等于于而而F可可这是量这是量F.以以用用定定积积分分表表示示的的前前提提上上，的的任任意意小小区区间间在在,)3(dxxxba 相相应应分分量量，的近似值可表示为的近似值可表示为dxxfF)( 称为称为将将dxxf)(,dF且记作且记作,的微元的微元F.)(dxxfdF 即即这就给出了定积分的被积表达式dxxf)(于是 badFF badxxf)(“微元法”第5页/共38页微元法解决实际问题的一般步骤如下：(1) 根据问题的具体情况，x选取一个变量例如取为积分变量， 并确定它的变化区间; ,ba，上上任任取取一一个个小小区区间间在在,)2(dxxxba 求出所求量求出所求量，微元微元的的dx

5、xfF)( badFF)3( badxxf)(以上步骤要熟练掌握!第6页/共38页如：平面图形的面积；引力和平均值;液体的压力；变力做功；平面曲线的弧长；体积；注意 微元法解决实际问题的使用对象：具有可加性的量等等.第7页/共38页)(xfy ab xyo)(xfy axboy badxxf)(二、平面图形的面积0)( xf1）如果则 badxxf)( badxxfS)(，上上如如果果在在0)(,)2 xfbaSS即则则S上所围的面积上所围的面积在在,)(. 1baxf上上在在,ba（一）、在直角坐标系下的面积问题S 第8页/共38页)(xfy abxyo1S2S区区间间上上时时正正时时负负，

6、在在若若,)()3baxf 21SS如图21)(SSdxxfba 则 badxxf| )(|?第9页/共38页)(xfy )(xgy abxyo badxxgxfA)()(dx.,)(),(. 2所围平面图形面积所围平面图形面积及及由由bxaxxgxf dxx x上上连连续续，在在、设设,)()(baxgxf，且且)()(xgxf bxaxxgyxfy ,)(),(及及直直线线求求由由曲曲线线.A所所围围成成的的平平面面图图形形面面积积 熟记用微元法：dA.为积分变量为积分变量取取x)()(xgxf 第10页/共38页cd)(yx )(yx yxo dAA.,Adycy所所围围成成的的平平面面

7、图图形形面面积积及及直直线线 y dyy dyy dA)()(),(yyyxyx ）（且（且求由求由dyyydc )()( 熟记用微元法：.为积分变量为积分变量取取ydy)()(yy 第11页/共38页xy 1所围成的图形例1 计算由抛物线,xy 轴轴xx,1 的面积A . 解为积分变量，为积分变量，取取x.1 , 0积分区间为积分区间为 10dAAdxx 1032 dxx x dA用微元法dxxdA 第12页/共38页2xy xy 2xyo例例 2 2 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积 A . 确定积分区间： dA 10dAA10333

8、223 xx31 解方法一：选择 x 作积分变量 xyxy22由由1从而得到积分区间,1 , 0区间上任取一小区间,dxxx dAxdxx 1, 0 xx解得解得dxxx)(210 1 , 0在在面积微元dxxx)(2 ?第13页/共38页ox2xy xy 2y确定积分区间：面积微元 dA 10dAA10333223 yy31 方法二：选择 y 作积分变量解得 y=0, y=1 xyxy22由由从而得到积分区间,1 , 0区间上任取一小区间,dyyy 1yy+dydA1 , 0在在dyyy)(210 dyyy)(2 ?第14页/共38页xy22 4 xy例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy2

9、2 和和直直线线4 xy所所围围 解求两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选 为积分变量y4, 2 y dA 42dAA选 x 作积分变量时，需求两块面积yy+dy作面积微元 dAdA18 dyyy 42224成的图形的面积.,242dyyy ?第15页/共38页yxo解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积)20, 0(sincos433 tataytax求求星星形形线线例例)cos(sin43203tatdaA 注意：.所所围围成成图图形形的的面面积积)cos(sin43023tatda dttta20242cossin)3(4 dttta)sin1(sin1222

10、042 283a aaa a aydxA04dxxx ydxdA 第16页/共38页如果曲边梯形的曲边 )()(tytx )( t的方程为参数方程：)(xfy ), 0)(baxxf ,)(,)(ba 且且上上具具有有连连续续导导数数，在在,)( t.)( 连连续续ty ,)(,)(ba 或或oyxab)(xfy 曲边梯形的面积 )()( tdtdxxfAba )(由上例可知：dxxfAba )(或或 )()( tdt第17页/共38页yxo 20)cos(sin4 tatdb解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 02)cos(sin4 tatdbAdttab 202sin4 .ab .

11、)20(sincos所所围围成成图图形形的的面面积积求求椭椭圆圆 ttbytax注意：abb a aydxA0练习第18页/共38页 xo d )( rr 面积微元 drdA2)(21 曲边扇形的面积.)(212 drA （二）、在极坐标系下的面积问题)(,)( 及及射射线线由由曲曲线线rr所围成的图形，.A求其面积求其面积称为曲边扇形.解为积分变量，为积分变量，取取 ., 积积分分区区间间为为用微元法，上上任任取取一一小小区区间间, d , 在在第19页/共38页xo ar )0(1 aar 计计算算阿阿基基米米德德螺螺线线例例的图形的图形的一段弧与极轴所围成的一段弧与极轴所围成变到变到从从

12、 20上相应于上相应于.A的面积的面积a 2解 A da222021 20323121 a3234 a da220)(21 ?.)(212 drA 第20页/共38页ox解.232a daA)cos1(21220 d)coscos21(2 2022a 2022sin41sin2232 a)0( a)cos1( ar所围平面图形的面积A .例2 求心形线 .)(212 drA 第21页/共38页解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AA daA2cos214402 xy 2cos22a xo1A求双纽线 2cos22a 所围平面图形的面积.2a 22cos402da 4022sin a .

13、)(212 drA 练习第22页/共38页 xo2. 在极坐标系下的面积问题.)(212 dr )( rr A?第23页/共38页三、 体积旋转体圆柱圆锥圆台（一）、旋转体的体积由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴第24页/共38页y取横坐标x为积分变量, 一般地,轴所围成的曲边梯形,及x轴旋转一周而成绕x?V求求体体积积由连续曲线)(xfy 直线bxax ,的立体,yxoab)(xfy ,ba它的变化区间为相应于,ba上任一小区,dxxx 间间小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片近似地等于以f(x)为底面半径、dx为高的圆柱体的体积，即体积微元为2)(xfdV dx

14、于是，在闭区间a,b上作定积分，得所求旋转体体积为Vdxxfba 2)( 的体积xdxx 第25页/共38页例1圆锥体的体积解xhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 直线 的方程为OPyrhPxoxhry 利用旋转体体积公式，圆圆锥锥体体的的体体积积dxxfVh20)( dxxhrh20 hxhr03223 .32hr hdxxhr0222 知：dxxfVba 2)( .32hrV 的的高为高为求证半径为求证半径为hr 第26页/共38页例2 计算椭圆12222 byax绕x轴旋转而形成的旋转体的体积.oxy12222 byaxa a解这个旋转体可以看成以半个椭圆22xaaby 绕x

15、轴旋转而成的立体取积分变量为x,aax 利用旋转体体积公式，知：所求的体积为 aadxxaabV222 aadxxaab)(2222 aaxxaab 322231 234ab 第27页/共38页求星形线绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay 332322 xay,aax 由旋转体的体积公式，知： dxxfVaa2)( .105323a dxxaaa33232 )0(323232 aayx练习第28页/共38页xyo)(yx cd 类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx直线cy 、dy 及y轴所围成的曲边梯形 绕y轴旋转体积为dyy2)( dcV熟记一周而成的立体，第29页/共38页

16、xoy12例3 轴轴所所围围成成的的及及直直线线xx1 ，求由抛物线求由抛物线22xy 旋转一周而成的旋转体的体积.图形解为为轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体的的体体积积绕绕xdxyVx 102 dxx 1044 54 为为轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体的的体体积积绕绕yyV 2 212 dyx 202 dyy 202 轴轴轴，轴，分别绕分别绕yx第30页/共38页（二）、平行截面面积为已知的立体的体积设一立体位于 过点x=a, x=b 且垂直于 x 轴的两平面之间，,)(dxxA .)( badxxAV 从而用垂直于 x 轴的任一平面截此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数，)(xAx取

17、 x 为积分变量，在区间 a, b 上任取一小区间过其端点作垂直 x 轴的平面，)(xAxx+dx作体积微元：)(xAxx+dxxoaby.V求求这这个个立立体体的的体体积积dV体体积积微微元元为为x , x+dx ，以A(x) 为底，dx 为高作柱体，用微元法：第31页/共38页xoy例例 一一平平面面经经过过半半径径为为R 的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.解取坐标系如图底半圆方程为22xRy 截面面积)(xA立体体积V.323 tgR 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角

18、形222Ryx RR tgxR)(2122 ytgy 21dxtgxRRR )(2122 RRdxxA)(第32页/共38页,. 1的圆的圆计算底面是半径为计算底面是半径为 R而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积.解设截面面积为取坐标系如图)(xA222Ryx 底圆方程练习)(xA 2260 xRtg 22221xR dxxRRR )(322 223xR V3334R 2260 xRtg xyoR R第33页/共38页oxy所所围围成成的的图图形形为为底底，及及求求以以抛抛物物线线04. 22 yxy.2的的矩矩形形的的立立体体的的体体积积轴轴的的所所有有截截面面均均是是高高为为直直于于y而垂而垂解设截面面积为)(yA)(yA242 yy 44Vdyy 4044364 第34页/共38页)(xfy )(xgy abxyocd)(yx )(yx yxo恰当的选择积分变量有助于简化积分运算.小结1. 在直角坐标系下的面积问题 A A注意： badxxgxf)()(dyyydc )()( ?第35页/共38页2. 旋转体的体积3.平行截面面积为已知的立体的体积平面图形绕 轴旋转一周而成的立体的体积x平面图形绕 轴旋转一周而成的立体的体积y轴所围成的轴所围成的及及