微积分 二重积分ppt课件

1、第一节第一节 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质一、引例一、引例二、二重积分的定义二、二重积分的定义三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例解 分三步解决这个问题.引例1 质量问题.已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量) 随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.),(yx分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:,21n其中任意两小块 和 除边界外无公共点.与一元函数的情况类似，我们用符号 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,n).)( jijii故所要求的质量m的近似值为.),(1iniiim近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值

2、)，将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密度.得iiiiii),(i),(ii.),(iiiimi取极限 记 ，则定义,max1n(1) ),(lim10niiii为所求薄板D的质量m.引例2 曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.解 也分三步解决这个问题.分割 区域D用两组曲线任意分割成n个小块:,21n其中任意两小块 和 除边界外无公共点.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面

3、积.)( jijii近似、求和 记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，在 中任取一点 ,以 为高而底为 的平顶柱体体积为ii iii ),(ii),(iifi.),(iiif此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近似值可以取为.),(1niiiif取极限 若记 ，则定义,max21nniiiif10),(lim为所讨论的曲顶柱体的体积. 二、二重积分的定义定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点， 既表示第i小块，也表示第i小块的面积.ii，n,21近似、求和 对任意点 ，作和式iii),(.)

4、,(1niiiif)(jij取极限 假设 为 的直径，记 ,若极限,max21nniiiif10),(limii存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为),(ii. ),(limd),(10niiiDiiff(2)称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元， 为面积微元(或面积元素).d 由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质量等于其面密度 在D上的二重积分.因此二重积分 的物理意义可以解释为：二重积分的值等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.),(yxDyxfd),(二重积分 的几何意义：Dyxfd),( (1

5、) 若在D上f(x,y)0，那么 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.Dyxfd),(2) 若在D上f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下 方，二重积分 的值是负的，其绝对值 为该曲顶柱体的体积.Dyxfd),(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些 子区域上为负的，那么 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).Dyxfd),(二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积). 三、二重积分的性质 二重积

6、分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即.d),(d),(d),(),(DDDyxgyxfyxgyxf性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即).( d),(d),(为常数kyxfkyxkfDD.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf 性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，那么).(dDSD性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，那么性质5 若在D上处处有f(x,y)

7、g(x,y)，则有.d),(d),(DDyxgyxf推论.d),(d),(DDyxfyxf性质6(估值定理) 若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D的面积，那么).(d),()(DMSyxfDmSD(3) 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点 ，使),().(),(d),(DSfyxfD(4)证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有MyxfDSmDd),()(1成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，存在 ，使D),(.d),()(1),(DyxfDSf(5),(f (5

8、)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 使 取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连续函数的平均值定理.),(例1 设D是圆域： ，证明4122yx.e3dee3422Dyx解 在D上， 的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4=3.由估值公 式(3)得22e),(yxyxf.e3dee3422Dyx第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二、二重积分在极坐标系下的计算二、二重积分在极坐标系下的计算

9、 一、二重积分在直角坐标系下的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法. 在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有,21n.dd),(d),(DDyxyxfyxf由定积分的几何应用：设一立体满足 ，bxa在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体积.d)(baxxSV 设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为. )()(21bxaxyyxy(1) 在a,b上取定一点x，过该点作垂直于x

10、轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间y1 (x),y2 (x)上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示.d),()()()(21xyxyyyxfxS.dd),(d)(dd),()()(21 baxyxybaDxyyxfxxSyxyxf故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为(2)将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.为了简便常记为.d),(ddd),()()(21xyxybaDyyxfxyxyxf 需要指出，计算 时，应将x视为常量，按定积分的计算方法解之.)()(21d),(xyx

11、yyyxf. )()(21dycyxxyx 同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为(3)，)()(21d),()(yxyxxyxfyS 在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，那么.d)(dcyySV所给立体体积.d),(d dd ),( d)(dd),()()()()(2121 yxyxdcdcyxyxdcDxyxfyyxyxfyySyxyxf因而(4)即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分. 先对x积分时， 中的y应视为常量，按定积分的计算方法解之.)()(21d),(yxy

12、xxyxf 在上述讨论中，我们假定f(x,y)0，但是实际上，上述结论并不受此限制. 如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及重积分的可加性可求区域D上的二重积分. 为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：(1) 画出积分区域D的图形.(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作

13、为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限. 而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间a,b，a是下限，b是上限，即.d),(ddd),()()(21xyxybaDyyxfxyxyxf 如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.解 即求以z=62x3y为顶，以ABC围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分.d)326(Dy

14、x解法1 先对y积分.)31(2030d)326(dd)326(xDyyxxyx作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为 ，作为积分上限.312xy30)31 (202d23)26(xyyxx3022d3163112xxx. 6d316302xx解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积 分下限，出口曲线为 ，作为积分上 限.积分区域D在y轴上投影区间为0,2，213yx)21 (3020d)326(dd)326(yDxyxyyxyyxxxyd36)21(3 0 202，6d)41 (920yyy这个结果与

15、我们熟知的四面体的体积是一致的.6632213131高底V例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：Dyxxydd2. 10 , 21yx解 像这样的正方形区域可以不必画，即得102212ddddyxyxyxxyD.41d21212xx211022d21xyx例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.Dyxyxddcossin2x解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为 .2, 0 xDyyxxyxyx020dcossindddcossin.4dsindsinsin202200

16、 xxyyxx解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为 .D在y轴上的投影区间为 .故2, 02xxDxyxyyxyx020dcossindddcossin.4dcosdcoscos202202yyyxyy 例4 计算积分 ，其中D由 y0确定.Dyxydd, 122 yx解法1 先对y积分， 作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为 ，因而21xy.102xy21011ddddxDyyxyxy.32d)1 (21112xx11102d212xyx 解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与区域

17、D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为 ，因而21yx21yx2211yxyyyxxyyyxyyyyyDddddd222211101110.32)1 (32d1210232102yyyy 比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.例5 计算积分 ，其中D是由不等式： 所确定的长方形区域.Dyxxyxydd)cos(220 ,20yx解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，计算会简单些.因而，我们选择先对y积分，即202202d)cos(ddd)cos(yxyxyxyxxyxyD2

18、0202d)sin(21xxy201sin4 d0.2x x例6 计算 ，其中D由不等式及 所确定.xyxy1 ，2xDyxyxdd22解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为y=x，因而xy1.1xyxx轴上的积分区间为1,2.21, 2yx得xxDyyxxyxyx1221222d1ddd.49241d12124212xxxxxx, 1,xyxy由. 1, 1yx得, 2, 1xxy由2112d1xyxxx解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入口曲线不唯一，这需要将积分

19、区域分为两个子区域., 2,xxy由. 2, 2yx得在y轴上的积分区间为2 ,21 当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时，沿x轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为x=2.121 yyx1 当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时,沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.21 y22221212212122ddddddyyDxyxyxyxyyxyx21212152d831d1831yyyyyy.496512172831841312121214yyyy 显然解法1较简便.因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题.例7 计算积分 ，其中区域D由直线y=x，y=0与x=1围成的

20、区域.Dyxxxddsin 解 由不定积分可知 不能用初等函数表示出来，因而，所给积分不能化为先对x积分后对y积分的积分次序.xxxdsin 欲化为先对y积分后对x积分的二次积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，因而.0 xy 将积分区域D投影到x轴上，投影区间为0,1.故xDyxxxyxxx010dsindddsin. 1cos1dsin10 xx100dsinxyxxx例8 计算二次积分.dsind110yxxxy解 由不定积分可知 其被积函数 的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出此二重积分.对此类问题常考虑采用交

21、换积分次序的方法来解决.其一般步骤为：xxxdsinxxsin(1) 先依给定的二次积分限，定出积分区域D的范围，并依此作出D的图形. (2) 再依区域D的图形，依前述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.由给定的积分限可知积分区域D的范围为).( 1),( 10内层积分限所确定外层积分限所确定xyy 依上述不等式组可作出区域D的图形，再化为先对y积分后对x积分的二次积分.xyyxxxxxxy010110dsinddsind例8通常又称为交换二重积分次序问题. 1cos1例9 交换二次积分 的符号分次序.yyyyxfyyyxfyI2021010d),(dd),(d解 所给积分由两部分

22、组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等式表示：.20, 21: ,0, 10:21yxyDyxyD 如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2x，因而在D中 ，xyx210 x.d),(d210 xxyyxfxIxxyyxfxyyxfxI2021010d),(dd),(d2例10 交换二次积分的积分次序.解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.20, 21: ,0, 10:221xyxDxyxD12xxy而 的解为(1,1),12xxy如果换为先对x积分，后对

23、y积分，作平行于x轴的直线与D相交，沿x轴正方向看，入口曲线线 ，出口曲线为x=2y，因而 .在区域D中 ,于是yx 10 yyxy2.d),(d210yyxyxfyI由于 的解为(1,1)， 二、二重积分在极坐标下的计算 若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有如下关系：),(r.sin,cosryrx 在极坐标系中，我们用r=常数和 =常数来分割区域D.设 是由半径为r和 的两个圆弧与极角等于 和 的两条射线所围成的小区域.这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以它的面积rrrr ，rr因而，在极坐标系中.dddrr于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为,d

24、d)sin,cos(d),(DDrrrrfyxf这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.也可以写成.dd)sin,cos(dd),(DDrrrrfyxyxf(6) 公式(6)区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.现在分三种情形讨论：(1)若极点在区域D之外. 为了确定的变化范围，过原点作两射线：=和=，使D恰好被夹在 此二射线之间，且. 那么，便知取值范围是 ；再确定r的取值范围.则D可以记为),()(,21rrr从而有.d)sin,cos(ddd)sin,cos()()(21rrDrrrrfrrrrf (2) 极点在区域D的边界线上，D

25、的边界曲线为 , 又设射线 刚好夹住区域D，且 , 则D可以表记为)(rr 与).(0 rr ，.d)sin,cos(ddd)sin,cos()(0rDrrrrfrrrrf则有(3) 若极点在区域D的内部，D的边界曲线为 .则D可以记为)(rr ).(0 , 20rr .d)sin,cos(d dd)sin,cos()(020rDrrrrfrrrrf则有 如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1) 将 代入被积函数.sin,cosryrx

26、(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.(3) 将面积元dxdy换为 .ddrr2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.例11 计算二重积分 区域D为由x2+y2=2y及x=0围成的第一象限内的区域.，Dyxyxdd22解 区域D为第一象限内的圆心为(0,1)，半径为1的右半圆，极点在D的边界线上. D的边界曲线为x2+y2=2y，用 代换，可得极坐标表达式 .此时D可以表示为sin,cosryrxsin2r，sin20 ,20rsin202022ddddrrryxyxD20320sin203dsin38d31r.916

27、coscos3138203202cosd)cos1 (38例12 计算二重积分Dyxxyyxdd)(22其中D为. 122 yx解 区域D为圆心在原点，半径为1的圆内区域，即极点在区域D内.区域D的边界曲线为 ，将 代换，得极坐标系下的表达式r=1.因此D可以表示为122 yx,cosrx sinry . 10 , 20r1022022d)sincos(ddd)(rrrryxxyyxD20201043dsincos4131dsincos4131rr.32sin8131202例13 求 ，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围成的区域.Dyxyxdd)1 (22区域D可以表示为.

28、10 ,40r将区域D的边界曲线x2+y2=1化为极坐标下表达式r=1.解1024022d)1 (ddd)1 (rrryxyxD201042d4121rr.16d4140例14 计算二重积分 ，其中D是单位圆域：Dyxyxdd)1ln(22. 122 yx解 原点在D内部，D表示为：. 10 , 20rDyxyxdd)1ln(22102202d)1ln(ddd)1ln(rrrrrrD).12ln2(d211)1ln()1 (10221022rrrrrr1022)d(1)1ln(rr例15 计算积分.ddsin2222422yxyxyx解 积分域是圆环，D可以表示为： .2,20r220422d

29、sindddsin2222rrryxyxyx.6dcoscos2222rrrr例16 用极坐标计算例4中的二重积分.积分区域同例4中的D.解 显然D可以表示为：有 故, 10, 0r而1020d sindddrryxyD.32d sin3100103d sin3 r例17 计算二重积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.Dyxxdd22xxyx解 积分区域D由y=x和x2+y2=2x所围的弓形区 域 . 半圆的极坐标方程是 ，故 24cos2rcos20 r2 4 cos2 0 2dcosdddrryxxD.dcos382 4 4 2 d22cos1cos2181ttt.83321ddDyxx

30、 2 2d)cos1 (81tt2 4 22 4 4d)2cos1 (41 dcos 而,8332124381例18 计算积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.Dyd0, 0222xyxyx及, 422 yx解 极点在区域D的边界曲线上，但是过极点引出的射线与区域D的边界曲线有三个交点. 过极点O引射线与积分区域D相交，沿射线方向看，入口曲线为 在极坐标中其方程为 ；出口曲线为 ，方程为r=2.因而 ,222xyxcos2r422 yx，2cos2 r,20又202cos22dsinddrryD. 2 d)cos1 (sin38203例19 设f(x)为区间a,b上的连续函数，证明：对任意

31、，总有),(bax.d)(d)(dbaxabaxxbxfyyfx解 将二重积分交换积分次序,由于f(y)为抽象函数，因而 不能积出来，需考虑交换积分次序.由于区域D可以表示为xayyfd)(,xyabxa 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=b.因而 区域D上有 .可得知. bxybxybybaxabaxyfyyyfxd)(dd)(dbababyyybyfyxyfd)(d)(故原命题成立.,d)(baxxbxf第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用一、求平面图形的面积一、求平面图形的面积二、求空间立体的体积二、求空间立体的体积三、求平面薄片的质量三、求平面薄片的质量由二重积分的几何解释可以知道：以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为：.