江苏苏州市第五中学届高三数学第三次阶段考试卷

1、苏州市第五中学2009届高三数学第三次阶段考试2009-1-3班级姓名成绩一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷相应位置上.AJCA=x|2设集合x一B=x|2X仆，则AflB=cos17：cos43-sin163"sin43；工a-i已知a是实数，1+i是纯虚数，则a=在等差数列“J中，al+3a8+a15=60,则a8的值为黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若则第n个图案中有白色地面砖块.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已*干个图案，知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为石，底面周长为3,则这个球的体积为函数y=x2

2、sinx在(0,2冗)内的单调增区间为22"41已知F1，F2是椭圆x+2y=4的焦点，B(0,J2),则BF12的值为JI-K-ABC中，3,BC=3,AB=j6则/C=Ay=sin(3x)把函数4的图象向右平移兀8个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式子是根据表格中的数据，可以判定方程._.*.ex_2=0的一个零点所在的区间为(k,k+1)(k-N)，则k的值为x101230.3712.727.3920.0912345已知命题p:"x"1,2"-a之0”，命题q:。三R,x2+2"+2-a=

3、0”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是设点O在AABC内部，且0A+0c=-2OB,则AAOB与4AOC的面积之比为记作x,即» = m.在11m_：x<m.给出定义：若22(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数,此基础上给出下列关于函数f(x)=|x一x|的四个命题:1函数y=f(x)的定义域是R,值域是0,2.kx二一函数y=f(x)的图像关于直线2(k6Z)对称；函数y=f(x)是周期函数，最小正周期是1；则其中真命题是.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把解答写在答题卷规定的答题框内.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分14分)已

4、知圆C经过A(2,一1)和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上.(I)求圆C的方程；1AB被点P平分时，求直线l的方程.P(,-3)(n)若直线l经过圆C内一点2与圆C相交于a，B两点，当弦(本小题满分14分)设不等式组0 _x _6l0yW6表示的区域为A,不等式组10 _x _6lx-y-0表示的区域为B，在区域A中任意取一点P(x,y)(I)求点(n)若 x,P落在区域B中的概率；y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率.(本小题满分15分)如图，O为坐标原点，A、B是单位圆O上的动点，C是圆0轴的交点，设/COA=u.任父(I)当点A的坐标为3

5、 5 J时，求sina的值;(n)若C产 j兀0 - 一一2,且当点 A、B在圆O上沿逆时针方向移动x轴正半时，总有AOB =-3,试求BC的取值范围.(本小题满分15分)P PAD则a4是数列使数列cn说明理由.如图，在四木锥PABCD中，平面PAD，平面ABCD,ABIIDC,是等边三角形，已知AD=4,BD=4J3,AB=2CD=8.(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD_1_平面PAD；(n)当M点位于线段PC什么位置时，PA/平面MBD?(田)求四棱锥P-ABCD的体积.(本小题满分16分)根据如图所示的流程图，将输出的a的值依次分别记为a1,a2，“，an，HI，a2008,将

6、输出的b的值依次分别记为bl,b2,III,bn,III,b2008(I)求数列an,"通项公式；(II)依次在ak与ak+中插入bk+1个3,就能得到一个新数列cn,Cn中的第几项？(HI)设数列cn的前n项和为Sn,问是否存在这样的正整数m,的前m项的和Sm=2008,如果存在，求出m的值，如果不存在，请(本小题满分16分)2已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x+ax3(I)求函数f(x)在t,t+2仕>0)上的最小值;(n)若对一切x三(0,g,2f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围;l1(田)ex恒成立.证明：对一切x(0,F,lnx>ex数学（

7、附加题）一、选做题：本大题共4小题，请从这4小题中选彳其中2题，每小题满分10分，共20分.如果多做，则以前两题计分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（几何证明选讲选做题）（本小题满分10分）如图，圆。是AABC的外接圆，过点C的切线交AB长线于点D,CD=2/，AB=BC=3.求BD以及AC的2.（矩阵与变换选做题）（本小题满分10分）给定矩阵M='J,N=21及向量e1=1I,12-12-J33一e2=（I）证明M和N互为逆矩阵；（n）证明e1和e2都是M的特征向量.3.（坐标系与参数方程选做题）（本小题满分10分）x=3-t,2,，一_（t

8、为参数）4.xx=4cosDy=7+史t（0为参数）已知直线l的参数方程为12，曲线C的参数方程为y=4sin6（I）将曲线C的参数方程转化为普通方程；（n）若直线l与曲线C相交于A、B两点，试求线段AB的长.4 .（不等式选讲选做题）（本小题满分10分）xyz111已知x,y,z均为正数.求证：yzzxxyxyz.二、必做题：本大题共2小题，每小题满分10分，共20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5 .（本小题满分10分）平面直角坐标系xOy中，动点P到直线x=2的距离比它到点F（1,0）的距离大1.（I）求动点P的轨迹C;（II）求曲线C与直线x=4

9、所围成的区域的面积.6 .（本小题满分10分）有红蓝两粒质地均匀的正方体骰子，红色骰子有两个面是8,四个面是2,蓝色骰子有三个面是7,三个面是1,两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜。（I）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；（II）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？苏州市第五中学2009届高三数学第三次阶段考试参考解答及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.2.12；3.1;4.12；5.4n+2；6.7.鸿)8.0;9.4；10.y=sin(x-)8;11.1;12.aW-2或a=1;13.1:2;14.二、解答题：本大题共6小题，共90分.(注

10、：评分标准以第15题为样板)22215.解(I)由题意，设圆的方程为(xa)(y2a)-r(2-a)2(-12a)2=r2,二4a-2a-1,2=r2_2_所以(x-1)(y2)=2(n)由题意得CP_LAB,而-3 2孱=7二21-12kAB10分11y . 3 = (x _)从而得直线AB的方程为2212分所以直线AB的方程为2x+4y+11=0.14分16.解：(I)设区域A中任意一点P(x,y) WB为事件M .因为区域A的面积为S1 =36 ,区域B在区域A的面积为S2=18181P(M)二故362(n)设点P(x,y)在集合B为事件N,8分甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x,y)

11、的个数为36个，其中在区域B中的点P(x,y)有21个.12分14分217P(N)=二一361217.解：(I)因为A点的坐标为3,4I55Z根据三角函数定义可知3x二一5,4y二一5,r=1,*4分sin，所以r5TtTtAOB=COB=二-（n）因为3,£COA=a，所以3.222由余弦定理得BC=OCOB-2OCOBcos/BOC）-c1，式；cc1，式；=11-2cos:=2-2cosI3）I3/8分-汽汽式5n43',，式、-10_:_一_cos（:一）三因为2,所以336,所以232.12分1_2_2cos（.二二,）,23于是3即1MBC2E2314分故BC的取

12、值范围是，'2五15分18.证明：（I）在ABD中，AD=4,BD=473AB=8,AD2+BD2=AB2.AD_LBD.2分又平面PAD_1平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,BDu平面ABCD,BD_L平面PAD.又BDu平面MBD,平面MBD，平面PAD.4分(n)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA/平面MBD.5分证明如下：连接AC,交BD于点N,连接MN.AB/DC,所以四边形ABCD是梯形.AB=2CDCN:NA=1:2又.CM:MP=1:2CN : NA = CM : MPPA / MN .7 分MNu平面MBD,PA/平面MBD.9分(田)过P作P

13、O,AD交AD于O,平面PAD，平面ABCDPO，平面ABCD.即PO为四棱锥P_ABCD的高.11分PO=-34=2.312分又PAD是边长为4的等边三角形，2ABCD的高.443=2、3在RtAADB中，斜边AB边上的高为8,此即为梯形梯形ABCD的面积Sabcd = 2 3 =12.3Vp ABCD 4 12 3 2 3 =24故一 315分19.解：(I)由流程图，a1 ian 1 二an1:%是公差为1的等差数列.an 二 n由流程图，b1=0，bn+=3bn+2,.bn11=3(01)a+1是首项为1,公比为3的等比数列.bn1=(b11)3n=3nl.bn=3n-1,一(n) c

14、n的前几项为13,2,3,3,3,3，讪2,4川1a4=4,a4是数列cn中的第17项.9分(m)数列cn中，ak项(含ak)前的所有项的和是:(1 ,2 Hlk)，32 Til - 3k)=k(k 1) 3k -311分37-328=1120<2008当k=7时，其和为2,38-3一36=3315200813分当k=8时，其和为2又因为20081120=888=296X3,是3的倍数,16分故当m=7+(1+3+32+川35)+296=667时Sm=200820.解：(I)f'(x)=lnx+1当X(0,e)时，f'(x)<0,f(x)单调递减;1当、（,斗巧时，

15、f'（X）0,f（x）单调递增.2分10：:t：:t2：-当e时，t无解;11,110：t：二一：t20":二f(X)min=«)=当e，即e时，ee；1,八，1当e一“，即一时,f（x）在t，t+2】上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.11一一，0<t<一，eef(x)min=,1tint,t.所以Le6分2(n) 2xln x >-x +ax3,则a _ 2ln x x 3x ,7分3(x3)(x-1)h(x)=2lnxx(x0)h'(x)9-设x,则x,当XJ0，1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x

16、W(1,F)时，h'(X)A0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=410分因为对一切Xj0，*),2f(X)至g(X)恒成立，所以aMh(X)min=4.11分x2一xinx-(x(0,:：)(田)问题等价于证明ee,11X-13分由（i）可知当e时，f（X）=xinx（x匚（0，-）的最小值是e.m'(x) 1-xrex2m(x)-一(x(0，二)设eem(X)max-m(1)=易得1e,当且仅当x=1时取到.15分从而对一切x（0,.二）lnx=.,都有eex成立.16分11t2 = 一8 .3,t1t2 =36.7分数学（附加题）参考答案及评分标准 一、选做

17、题：本大题共4小题，请从这4小题中选做其中2题，每小题满分10分，共20分.1.解：由切割线定理得:DBDA=DC2:，2如DB=4.6 分DB(DBBA)=DCDB23DB-28=0?ZA=ZBCDADBCsADCA，BCCADBAC=BCDC3.7DB102.解:（I）因为一2MN=132一23|131一32NM=23所以M和N互为逆矩阵.L苴（n）向量e1=在M的作用下，其像与其保持共线，即也3一二3I1向量e2=1-1-在M的作用下，其像与其保持共线，即所以e1和e2是M的特征向量.10分一231-3_1323x=4cos；/口1X2=16cos2H;凸得3.解：（I）由ly=4Sin

18、1y2=16而2机故圆的方程为x2y2=16（n）（法一）把.31t;2(t为参数)代入方程x2+y2=16,彳#t2+8J3t+36=0y=7210分二线段AB的长为|ABRti_12|=J(ti+t2)24tit2=4点（t为参数），得l的普通方程为J3xy+4=0（法二）由由（I）知：圆心的坐标为（0,0）,圆的半径R=4,.圆心到直线l的距离d|4|(3)2(-1)2二2,7分二|AB|=2辰二7=2A'16-4=47310分上+上二（2+y）>24 .证明：因为x,y,z无为正数.所以yzzxzyxz,4分y.z>2zx2同理可得zxxyxxyyzy,7分当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立.xyz111将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得"zxxyxyz.10分二、必做题：本大题共2小题，每小题满分10分，共20分.5 .解：（）设点R"）,贝户十列-爪丁、,田，1二若x2,则X+1