最具争议的12个数学事实

1、一、三门问题商业内幕最具争议的数学事实三门问题（蒙提霍尔问题）翻译沉香玉商业内幕一、三门问题假如你正在参加f节目。主持人给了你三扇门，其中一扇 门里面是一款崭新的汽车，另外两扇门里面都是一只羊。你选择 了其中一扇，然后,主持人打开你未选的另外两扇门里是羊的那 扇，然后一主持人问你：你是否要换一扇门?还是就要你刚才选的那一扇?你会怎么做?翻译沉香玉一、三门问题你第一反应一定是就要你刚才选的那一扇。商业内幕到目前为止，一切都没有问题,对吧？因为现在只有两扇门了，你可以推断出，有一半的机会赢得曲陋车。对吗？商业内幕你错了 ！翻译沉香玉一、三门问题翻译沉香玉一、三门问题这个游戏的最佳策略就是"

2、;换门"商业内幕每次都换。如果你每次都换,只有当你第一次选的那扇门里就是车 的时候你才会输。因为你第一次选中车的机率是1/3 ”而每次都换你输掉的 孵也是1/3。这就意味着，如果你每次都换的话，赢的机率就有2/3。换门赢的机率是不换门赢的机率的两倍。翻译沉香玉一、三门问题还不信吗？这么说吧，假如你选的是一号门，请看下 面所有可能发生的情况:一门二号门三号门不换门结果换门结果羊车羊羊车翻译沉香玉如果你不换门”三种情况只有一种情况能赢;如果换门, 就有两种情况能赢。一、三门问题你还不信? 那我们换成50扇门再做一遍。你还选Y门。翻译沉香玉一、三门问题佣译沉香玉一、三门问题我把其他是羊的4

3、8扇门都亮给你。对你的选择还那么有信心吗？ 别忘了 ：你第一次选对的机会只有1/50。道理完全是一样的。商业内B当然，这里假定你想要的是汽车，而不是羊。佣译沉香玉胡译沉香玉最具争议的数学事实二 0.999=1二 0.999.=1詡译沉香玉商业内幕无限循环小数0.999.等于1。有许多的证法都可以证明这个等式，但仍然有很多的人纠结于这个概念F面就是一个很好的证明：x = 0.999.10x = 9.999.10x x二9999.09999x 二 9商业内幕二 0.999.=1很多人纠结这个理念的原因，是我们人类的思维很难去理解"无 限"这个概念。在某种层面上，大多数人只是想象

4、最终总会以一 个"9"结束。:字这东西总是换种方式表达就会看起来大不一样，当然这个也不例夕卜。这其中的原因是和"无限"与"有限"的概念紧密关联的,光这 些概念就够我们大伤脑筋的了。下面是另外一种证i去：% 0.333.3 x % 二 3 x 0.333.1 =0.999.商业内幕翻译沉香玉最具争议的数学事实三、偶数和自然数样多商业内幕三偶数和自然数一样多偶数和自然数一样多。表示事物个数的数叫做自然数，如1,2,3,4等等。自然数的数量是无限的。偶数的数量也是无限的。你或许会想像自然数要比偶数多，因为自然数由奇数和 偶数组成。那你就错了

5、。三偶数和自然数一样多商业内幕翻译沉香玉我们可以在自然数和偶数之间建立一?一对一的对应关联式，这 个关联式将告诉你”每个自然数都有f与其对应的偶数。我们可以这样想:每个自然数都有一个等于它两倍的偶数,而每个偶数也都有f等于它一半的自宠2 3 4 5 6 7 8.246810121416.胡译沉香玉三偶数和自然数一样多这是什么意思呢?每T自然数，都有 f 与之对应的偶数。这就是说，这两个无限集的大小是相等的,我们称之为"可数无限集"O这就将其与”不可数无限集"如"实数集”或"复数集"区分开了。例如,我们不能在自然数和实数之间建立f 一对

6、一M对应关联式。其他的可数无限集还包括:有理数集和奇数集。翻译沉吞玉Photo: m.axc. Zflickr最具争议的数学事实商业内幕四.本福特定律四、本福特定律在实际的数字中，数字 T 作为首位数字岀现的机率是30%。商业内扇 1938年r物理学家福兰克本福特(Frank Benford )首次在一组数字中发现,首位数字是"1"的情况总是占大多数。翻译沉香玉Imooe Source, wikipedio其他数字出现在首位的情况则呈如下对数分布:翻译沉香玉商业内幕四、本福特定律这是一种普遍观察到的现象。该分布图被用于侦测数据异常，包括:伊朗选举欺诈经济数据造假会计账务伪造

7、这种现象也可以在以下集合中观察到：斐波那契数 (1, 1,2,3 , 5 f 8,13,21,34.)阶乘2的幕翻译沉香玉五、生日悖论我们假设你工作在一个23人的办公室。那么你办公室中两个人生日相同的机率是多少呢?商业内幕（为使问题简化，我们排除2月29日）五、生日悖论12345678H附柿910 II 12 13)41516n ioiH1819202122237 * ax«!答案是：两个人生日相同的机率是50%o只要f 人群达到366人,那么从统计学的角度就可以确定有两 个人生日相同。因为只有365种可能的生日（排除2月29日）。然而有趣的是，所有生日都是等概率分布的，只要一个人群

8、有商业内幕57人，那么两个人生日相同的机率就可以达到99%。这是怎么推算出来的呢?让我们再回到那个23人的办公室，来看一看是怎么回事。我们要逬行一下反概率运算,即计算一群人中没人生日相同的机 率，来推算出我们想要的有生日相同的机率。如果我们正面硬求解的话，要推算岀办公室中两人生日相同的机率是很困难的。而要计算出一群人中没人生日相同的机率则是非常非常容易的。翻译沉香玉五、生日悖论两个人生日不同的机率是这样算的:商业内幕365365364365=99.72%翻译沉香玉五、生日悖论三个人中没人生日相同的机率就是这样算的：365365364365363 二36599.17%翻译沉香玉五、生日悖论四个人

9、中没人生日相同的机率就是这样算的：商业内幕365364363 x 362 _j X 1X zx _365365365 36598.36%2翻译沉香玉我们以此类推算会得到什么结果呢？那就是,23个人商业内幕中没人生日相同的机率是:365 364X 365 365363X X365344 343 x365 365二 49.27%2223翻译沉香玉翻译沉香玉这时候就意味着,既然没人生日相同的机率是49.3% ,那么 至少有两人生日相同的机率就是50.7%。利译沉香玉五、生日悖论商业内扇下面就是概率（机率）曲线的样子:生畐同的机率最具争议的数学事实六、会计/管道工问题翻译沉吞玉商业内幕六、会计/管道工

10、问题会计/管道工问题"上礼拜，我公寓跟冰窖似的，因为我的暖气坏了。"我就去找了个人，让他看一下暖气，他用了一堆备件就把它修好 了。我就付了他维修费。"那这个人很可能是：甜？还是会计及管道工?翻译沉香玉商业内幕翻译沉香玉会计及管道工六、会计/管道工问题答案是：这个人很可能是会计。因为从场景中看，这个人可能是管道工，所以你就直觉地认为他是管道工。但是，f 人是"会计及管道工"，那他也还是会计。参照下面的图想一想:翻译沉香玉翻译沉香玉商业内幕六、会计/管道工问题严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：给我修暖气的那个人是”会计及管道工”的概率A

11、 ,已经包含在会计及管道工UAH他是”会计”的概率里面：六、会计/管道工问题严格地讲，相对于管道工，他更可能是会计。因为：商业内幕会计但不是管道工而他是”会计”的概率里面还包含着他只是”会计而不是管道工" 的概率B。翻译沉香玉翻译沉香玉翻译沉看玉六、会计/管道工问题严格地讲,相对于管道工他更可能是会计。因为：商业内幕翻译沉香玉 A代表给我修暖气的那个人是"会计及管道：T的概率。 A + B的和代表给我修暖气的是"会计"的概率。会计及管道工六、会计/管道工问题严格地讲,相对于管道工r他更可能是会计。因为：商业内幕会计及管道工翻译沉香玉最具争议的数学事实商业

12、内幕因为A <A+ Br从概率学的角度讲，给我修暖气的人更可能是七. 贝特朗箱子悖论七、贝特朗箱子悖论贝待朗箱子悖论我有三个箱子，每个箱子都有两个隔档。第一箱子里面是两块金条第二个箱子里面是两块银条商业内幕七、贝特朗箱子悖论贝待朗箱子悖论你随机抽取箱子,然后随机打开i隔档.如果里面是金条，那另外一隔档里是金条的概率是多少?商业内幕第三个箱子里面是一块金条和一块银条商业内B七、贝特朗箱子悖论你的第一反应一定是：1/2因为只有两个箱子里面有金条，你就想，我一定选中 了其中一个。又因为其中一个箱子里面是一块金条和一块银条，所 以,另夕F个隔档里面是金条的概率就是1/2。对吗？商业内B七、贝特朗

13、箱子悖论你错了 ！实际上比曲陲复杂得多。要推算岀为什么不是1/2 ,让我们给金条和银条贴上如下标签：翻译沉香玉翻译沉香玉翻译沉香玉翻译沉香玉七、贝特朗箱子悖论然后，我们列举一下所有可能抽取到的情况:首次抽取：另一隔档：厂1 G2 LGAf si 1S2<1 S2 1f si 1厂G3(S3,f S3,匸G3、商业内幕翻译沉香玉七、贝特朗箱子悖论接下来,让我们只看一下第一次抽到金条的情况:商业内幕翻译沉香玉七贝特朗箱子悖论所以,如果你第一次抽到的箱子里有一？隔档是金条的话，那么 另一？隔档里是金条的概率是2/3. 3次中有两次另一个隔档是金条，是因为在你抽到的3次金条中, 有两次你分别抽到

14、了 G1和G2。 3次中有一次另一个隔档是银条，是因为在你抽到的3次金条中, 有一次你抽到了 G3。商业内幕这个问题和三门问题有非常紧密的联系。首次抽取：另一隔档：GiL G2 G2G3S3 最具争议的数学事实八、如何用一块镖板推算出周率兀八、镖板推算圆周率你可以用一块镖板推算岀圆周率71的值有一种很有趣的方法，通过反复随机在正方形镖板内选点,可以商业内幕翻译沉看玉推算出圆周率兀的值22商业内幕八、镖板推算圆周率首先，我们需要做一些运算:正方形内切圆的半径为1 ,正方形的边长就是2。那么，圆的面积就是：7tr2= 7T (12) = 71翻译沉看玉22=4正方形的面积就是:商业内幕八、镖板推算

15、圆周率接下来，我们在正方形内随机选取几千个点。有一种很有趣的方法，通过反复随机在这个正方形内选点,可以推算岀圆周率的值。选的点越多，得出来的结果就越接近。选点结束后，将结果带入下面的公式，就可以准算出71的值：7T_圆内点数4总融这是运用几何学和概率推算圆周率兀的方法。商业内幕翻译沉吞玉最具争议的数学事实调和级数 发散至无穷大2九、调和级数发散至无穷商业内幕调和级数发散至无穷大。I下面就是调和级数:I111111111+ + + + + + + + + 123456789分母持续增长趋向无穷大。许多其他的无穷级数都聚合至单个数字:1111111111c20+ ? + 2 + 2 + = T +

16、 7 + 7 + 7 + ?6 + - = 2然而,调和级数却不是这样：111111111123456789和译沉香玉九、调和级数发散至无穷对于大多数人来说,这是非常非常难以理解的商业内幕请看下面：111111111+ + + + + + + 4 +.123456789它看起来增长得越来越慢！看那分数的值多小啊！而且只会越来 越小！但实际上，调和级数不会聚合到单个数字。它在趋向无穷大，只 是很慢很慢。我们来证明一下。翻译沉香玉九、调和级数发散至无穷证明调和级数是发散的让我们把调和级数和另外一？小一些级数对比一下:11111111调和级数t+ 7+ 3 + 7 + T + T+7+V -明显小的级数丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+12448888注意，从第二项开始,第二个无穷级数中的每一个数都比调和级数同T立置的数要小。所以：调和级数明显小的级数liiiiiiiliiiiiii翻译沉香玉商业内幕九、调和级数发散至无穷证明调和级数是发散一但是我们看一下第二个无穷级数:丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+12448