高等数学-集合与函数ppt课件

1、高等数学 T0 xxoxy)(xfy CNMabxyoi ix1x1 ix1 nx第一节 集合与函数一、集合 数集二、函数三、函数的初等性质四、函数的运算五、初等函数六、小结一、集合、数集一、集合、数集（1 1集合集合: : 具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.（2 2集合的元素：组成这个集合的事物。集合的元素：组成这个集合的事物。,21naaaA 所所具具有有的的特特征征xxM （3 3集合表示方法集合表示方法无限集无限集,Ma ,Ma 有限集有限集（4 4相互关系相互关系1. 1. 集合集合2. 2. 两种常见数集两种常见数集（1区间略）（2邻域： a)定义：. ),

2、( axaxaU记记作作. 0, 且且是是两两个个实实数数与与设设a,邻邻域域的的称称为为点点数数集集 aaxx ),( aa),( aU记记作作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 xa a a aaa邻邻域域去去掉掉中中心心的的点点邻邻域域的的去去心心点点 :. 0 axxb) 几何解释几何解释 c). 32), 0( xUx时时，有有，使使得得例例：求求 二、函数二、函数例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn )因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数

3、值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量, ,D是是一一个个给给定定的的数数集集，数集数集D叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域)(xfy 1. 1. 概念概念()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域与对应法则定义域与对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例例如如， 1 , 1 : D211xy

4、 例例如如，)1 , 1(: D (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当2. 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x(3) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法

5、则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数.(4)例例1 1.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故设函数设函数 在集合在集合 上有定义，若存在正常数上有定义，若存在正常数 ，使得对任意使得对任意 ，有，有 （或对任意（或对任意 有有 ），则称），则称 在在 上有上界或有下上有上界或有下界），且称界），且称 为为 在在 上的一个上界上的一个上界( (或下界或下界) )。假设假设 存在，使得对任意存在，使得对任意 有有 ，则称则称 在在 上

6、有界；否则称上有界；否则称 为为 上的无界上的无界函数。函数。)(xfDBDx Bxf )(Dx Bxf )(B)(xfD0 MDx Mxf | )(|)(xfD)(xfD)(xfD三、函数的特性三、函数的特性1函数的有界性函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x.), 1,),0(1上上有有界界在在上上无无界界在在如如 xy注：有界的概念与数集紧密相关注：有界的概念与数集紧密相关 2 函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上上是

7、是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()(21xfxf恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()(21xfxf恒有上。在区间如单调性是一个局部概念),(),0(),0 ,()(.3212IIIxxf3 函数的奇偶性前提是定义域关于原点对称）函数的奇偶性前提是定义域关于原点对称）偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对

8、称称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 4 函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的

9、周期称为称为期函数期函数xfl.恒恒成成立立(1) 反函数的概念及性质反函数的概念及性质若函数若函数)(:DfDf为单射为单射, 则存在逆映射则存在逆映射DDff)(:1习惯上习惯上, ,Dxxfy, )(的反函数记成的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射称此映射1f为为 f 的反函数的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 其反函数其反函数(减减)( (减减) .) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增且也单调递增 性质性质: 四、反函数四、反函数2) 函数)(xfy 与其反函数与其反函数)(1xfy的图形关于直线的图形关于直线xy 对称对称 .例如例如

10、,),(,xeyx对数函数对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增, 其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 返回 完毕 指数函数指数函数五五 基本初等函数基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数axxaxalogxsinxarcsin等xcos等xarccos六六 复合运算、初等函数复合运算、初等函数1.复合函数：设函数 的定义域分别为 的值域为W，且W . 则称函数 由函数 及 复合而成 )(),(xuufy .,21DD 1D)(xfy )(ufy

11、 )(xu 因因变变量量中中间间变变量量，自自变变量量， yux)()()(xfufyxux 内函数内函数外函数外函数注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的; 函数能复合需满足：函数能复合需满足： W ,arcsin:1uy 例;22xu)2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成过复合构成.,2cotxy 例例如如,uy ,cotvu .2xv 1D时，不能复合。或当时，有意义，能复合。当：例11 1 , 1)1,(1222xxxxuuyxy例例1 1解解,01)( QxQ

12、xxD设设.)().21(),57(的的性性质质并并讨讨论论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1单值函数单值函数, 有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)例例2 2).()(0,10,1)(,2)(xfgxgfxxxxxgxfx及及求求设设 )(2)(xgxgf 解：解： .0,20,211xxxx,02 xRx，都都有有因因为为对对任任意意).,(,21)( xxfgx所以所以例例3 3).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexf

13、x,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx ).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设 由常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合运算构成并可用一个式子表示的函数。.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 2 2 初等函数初等函数,2cotxy 例例如如六、小结六、小结基本概念基本概念 集合集合, 区间区间, 邻域邻