高等数学上册第五节函数的微分及其应用ppt课件

1、 二、微分的几何意义二、微分的几何意义四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用三、微分的运算法则三、微分的运算法则第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A , 那那么么,2xA0 xx面积的增量为面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小0 x时为时为故故xxA02称

2、为函数在称为函数在 的微分的微分0 x当当 x 在在0 x取取得增量得增量x时时,0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其 的微分的微分,定义定义: : 若函数若函数)(xfy 在点在点 的增量可表示为的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xA在)(xf0 x点记作记作yd,df或即即xAyd定理定理: 函数函数)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即即xxfy)(d0在点在点0 x可微可微, 定理定理 : : 函数

3、函数证证: “必要性必要性” 知)(xfy 在点 可微 ,0 x那么)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0 定理定理 : : 函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(

4、d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf那么 说明说明: :0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当 xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd时，当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记记二.微分的几何意义 例例1 1 设设,3xy 01,x 0.1x 求当求当0.01x 及时，函数的增量和微分的值时，

5、函数的增量和微分的值 . .解解:当01x 时，函数的增量 33(1)(1)(1)1yfxfx 2333()()xxx 3dyx 0.1x 0.331,y 0.3dy 那么时， 0.01x 0.030301,y 0.03dy 那么时， 三、三、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 那么)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变式微分形式不变式5. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddv

6、vuuv基本初等函数的微分公式 (见 P72表) 例例3.3.设设解解:xeyx1cos2，求 dy)1(cos)(1cos22xdeedxdyxx222111cos()( sin) ( )xxedxedxxx22111( 2 cossin)xexdxxxx 例例4.4.设设 求dy22331ln 1arctan ,3xyxxx 解解:先化简先化简xxxxyarctan)1ln(2131123)(arctan)1ln(21)1(31)1(23xdxdxdxddy 例例+. +. 设设,0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(c

7、os()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意注意: 数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性. )(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性 , , 例如例如 四、四

8、、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:（一函数值的近似计算（一函数值的近似计算 特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxx1xsin)2(xe)3(xtan)4(证明证明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小时当 xxx1)1 ( 解解: 以以例例6.6.半

9、径为半径为10 10 厘米的金属圆片加热后，厘米的金属圆片加热后， 半径伸长了半径伸长了0.050.05厘米，厘米， 问面积达约增加了多少？问面积达约增加了多少？A、r分别表示圆片的面积及半径，分别表示圆片的面积及半径， 那么那么2Ar当当10r 厘米，厘米， 0.05r 厘米，时厘米，时 面积的增量面积的增量2AdArr 210 0.05（厘米（厘米2 2） 的近似值的近似值 .例例7. 7. 求求sin3013解解: 设设 ( )sin ,f xx那么那么( )cosfxx令令030,6x13131360 18010800 x 则由则由000( )()()()f xf xfxxx1313s

10、in3013sinsincos61080066 10800 得得13130.50332210800 的近似值的近似值 .例例8. 8. 求求31.033解解: 由公式由公式13311.033(1 0.033)10.0331.0113 内容小结内容小结1. 微分概念微分概念 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义 可导可导可微可微2. 微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性 :uufufd)()(d( u 是自变量或中间变量是自变量或中间变量 )3. 微分的应用微分的应用近似计算近似计算估计误差估计误差 思考与练习思考与练习1. 设函数设函数)(xfy 的图形如下的图形如下, 试

11、在图中标出的点试在图中标出的点0 x处的处的yy ,d及及,dyy 并说明其正负并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd 2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21 1. 知知, )1sinarcsin(2xy 求求.d y解：因为解：因为 y所以所以yd备用题备用题22)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd2sin)1(sin11222 方程两边求微分方程两边求微分, 得得知知,yxexy求求.d y解：解：xyyxddyd2.2.)d(dyxeyxxexeyyxyxd （二函数的误差估计（二函数的误差估计例例1. 1. 计算球的体积可精确至，计算球的体积可精确至， 若根据这个体积若根据这个体积R来推算球的半径来推算球的半径 那么那么R的相对误差是多少？的相对误差是多少？解解: 由公式由公式343VR那那么么24dVR dR234343dVR dRdRVRR于是于是3VR 因而因而 111%0.33%33RV 例例2.2.有一批半径为有一批半径为1cm 1cm 的球的球 , , 为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为已知球体体积为334RV镀铜体积为镀