第2章系统的数学模型

1、223232(1)324(2)263(3)5564yxd ydydxyxdtdtdtd yd ydyyxdtdtdt2222(4)33(5)yxxyxd ydyyxdtdt O -x y(t) x(t) +x O -y1 +y1 +y2 -y2 y(t) x(t) 3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。消去中间变量，列出各变量间的关系式。最后得到只包含最后得到只包含输入量和输出量输入量和输出量的方程的方程式。式。 4.化成标准形式，即化成标准形式，即输出量放在方程式的输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端左端，而输入量放在方程式的右端，且各，且各阶导数项按降幂排列阶导数项按降幂排列

2、 * 建立数学模型的基础：建立数学模型的基础： 机械运动：机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理 电电 学：学： 欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律 热热 学：学： 传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素质量质量 m m ( )x t 参考点参考点 ( )v t ( )mft 22( )( )( )mddftmv tmx tdtdt 弹簧弹簧 k1212( )( )( )( )( )( )( )kttftk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt k 参参考考点点 参参考考点点 1( )v t 1( )x t

3、2( )v t 2( )x t ( )kft ( )kft f 参考点参考点 参考点参考点 1( )v t 1( )x t 2( )v t 2( )x t ( )fft ( )fft 1212( )( )( )( )( )( )( )fftf v tv tfv tdx tdx tfdtdtdx tfdt m x(t) y(t) f 图图 2 2- -2 2 机械机械平移系平移系统统 k y0 123( )( )( )( )x tx tx tx t（2-1）式中式中21223( )( )( )( )( )( )d y tx tmdtx tky tdy tx tfdt因而式（因而式（2-1）可写成

4、：）可写成：22( )( )( )( )d y tdy tmfky tx tdtdt（2-2）图图2-3 组合机床动力滑台及其力学模型组合机床动力滑台及其力学模型根据牛顿第二定律可得根据牛顿第二定律可得22( )( )( )( )ooiody td y tf tfky tMdtdt22( )( )( )( )oooid y tdy tMfky tf tdtdt 1f m 2f ox ix 图 a 2k 1k ox ix 图 c f 2k 1k ox ix 图 b f 解：（解：（1）对图）对图a所示系统，由所示系统，由牛顿定律有牛顿定律有12122ddd()dddooixxxmfffttt 即

5、即1222ddddddddioooxxxxffmttttx 1f m 2f ox ix 图 a 1ddddioxxxx kftt 消除中间变量消除中间变量x有有12121dd()ddoioxxf kkkk xfktt （2）对图）对图b所示系统，引所示系统，引入一中间变量入一中间变量x并由牛顿定并由牛顿定律有：律有：2ddddooxxfk xtt 2k 1k ox ix 图 b f x (3)对图对图c所示系统，由牛顿所示系统，由牛顿定律有定律有12dd()ddioiooxxfk xxk xtt 即即121dd()ddoioixxfkk xfk xtt 2k 1k ox ix 图 c f )(

6、t )(tm f k J 图图2-4 具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统 123( )( )( )( )m tm tm tm t 212( )( )dtm tJdt 2( )( )dtm tfdt 3( )( )m tkt 22( )( )( )( )dtdtJfktm tdtdt M L Tm J1 1 z1 T1 T3 T2 T4 TL z3 z2 z4 J2 2 J3 3 f1 f2 f3 图图 2-5 齿轮传动系统齿轮传动系统 1111122222343333mLTJfTTJfTTJfT（2-5）（2-6）（2-7）212121123341433213

7、424 = =zzTTzzzzzzTTzzz z ， 1111312222333324mLTJfzzJfJfTzz2231112312242233111123122424mLzzzTJJJzz zzzzzzfffTzz zz z 22311123224eqzzzJJJJzz z （2-8）22311123224eqzzzffffzz z 3124LeqLzzTTz z 11meqeqLeqTJfT M Leq Tm TLeq LeLeq 1 feq 图图 2-6 等效等效轮轮系系 Jeq （2-9）22oui R123iii23221dii dtLi RCdt1131iui Ri dtC将方程

8、联立求解，消去中间变量将方程联立求解，消去中间变量后，即可得到以后，即可得到以为输入量，以为输入量，以为为输出量的电路微分方程式，即：输出量的电路微分方程式，即： 21121222( )( )( )( )oooid u tdu tR LCR R CLRRu tR u tdtdt所有元件和系统都不同程度地具有非线性所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，例如：元件的死区、传动的间隙和特性，例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件输出量的摩擦，在大输入信号作用下元件输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。 由于非线性有各种不同的类型，

9、所以也没由于非线性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法。有解析求解的通用方法。 具有本质非线性特性的系统，只能用非具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理。线性理论去处理。 1. 忽略非线性因素。忽略非线性因素。如果非线性因素对系统的影响很小，就如果非线性因素对系统的影响很小，就可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情况下就可以忽略。擦等，一般情况下就可以忽略。2. 切线法，或称微小偏差法。切线法，或称微小偏差法。 非线性函数的线性化方法非线性函数的线性化方法yk x 00220002( )1()()()2!x xx xyf xdfd

10、ff xxxxxdxdx ( )yf x 00000()()()xxdfyf xxxyk xxdx 00()yf x 0 x xdfkdx 00()yyk x x ykx 12(,)yf xx 110110110220220220222221101102202202211221()()()()2!.xxxxxxxxxxxxfffxxxxxxxxxx xx 110110220220102011022012(,)()()xxxxxxxxffyf xxxxxxxx 当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是（2-21）式可以写成）式可以写成 :011102220

11、()()yykxxkxx 01020(,)yf xx 11022011xxxxfkx 11022022xxxxfkx 1122ykxkx ykx 1122yk xk x (226)rcQQdhdtS (227)cQh 1rdhhQdtSS 0rohQ 00h00dhhh hdh1h h2h 将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和来表示来表示 00,rrrQQQhhhh 000112rrd hhhQQdtSSh 0002rrd hShhQQdth 01(229)2rd hShQdth 将以上各式代入方程式（将以上各式代入方程式（2-28）得：）得：

12、（ 设设f(t)是实变量是实变量t的单值函数，在的单值函数，在t0的任一有限区的任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的。并且当间上是连续的或至少是分段连续的。并且当t趋于趋于无穷大时，无穷大时，f(t)是指数级数的。即存在一个正实数是指数级数的。即存在一个正实数 ，在，在t趋于无穷大时，它使函数趋于无穷大时，它使函数e- f(t) 趋近趋近于零。则于零。则f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F(s)定义为：定义为： 0( )( )( )stF sL f tf t edt 0( )( )(231)stLf tf t edt 000( )( )( ) ( )ststLf tf t edtf t

13、edtLf t ( )( )f tu t 0(0)( )1(0)tu tt )(tf t O 1 （a） 单位阶跃函数单位阶跃函数图图-10函数曲线函数曲线 0001( )111()ststsF sedteseess 0(0)( )(0)tu tR t ( )RF ss 00( )0tf ttt 0( )stF stedt udvuvvdu 令令 ut stdvedt dudt 1stves )(tf t O （b）单位斜坡函数）单位斜坡函数 图图2-10函数曲线函数曲线 002011( )1110stststF steedtssesss 00( )0ttt ( )1t dt )(tf t O

14、 )(t （c）单位脉冲函数）单位脉冲函数图图2-10函数曲线函数曲线 ( ) ( )(0)t f t dtf 00000( )( )( )( )01ststststtF st edtt edtt edte ( )stf te ()00()0( )11atsts a ts a tF se e dtedtes as a ( )sinstF stedt 1sin()2j tj tteej ()()001( )22j tj tstsjtsjteeF sedteedtjj ()()0111122sjtsjteejsjsjjsjsj 22221()122()()2sjsjjjsjsjjss 22s 1s

15、21sate 1sa atte 21sa 表表2-1常用函数的拉氏变换表常用函数的拉氏变换表1!nns 1atbteeba 1sasb22ss (1 2 3)ntn ， (1 2 3)natt en ， 1!nnsa 1btatbeaeba ssasb 111atbtbeaeabab 1s sasb22sin11ntnnet 2222nnnss 22sa 21(1)atatea 21ssa sinatet cosatet 22sasa 2221sin111arctanntnet 2222nnns ss 22211sin111arctanntnet 222nnsss 为常数为常数 ，则则1122

16、11221122( )( )( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk L f tk F sk F s ( )( )(0 )df tLsF sfdt 0( )( )stdf tdf tLedtdtdt udvuvvdu stue ( )df tdvdtdt ,stdusedt ( )vf t 00( )( )( )( )(0 )ststdf tLef tsf tedtdts F sf 22(1)2( )( )(0 )(0 )d f tLs F ssffdt12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 ).(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsff

17、dt( )( )nnndf tLs F sdt 32325624d yd ydydxyxdtdtdtdt 325( )6( )( )2 ( )4( )( )s Y ss Y ssY sY ssX sX s ( 1)11( )( )(0 )Lf t dtF sfss ( 1)(0 )f( )f t dt 0( )( )stLf t dtf t dtedt ( ),stuf t dtdvedt 1( )stduf t dtves ，00( 1)11( )( )( )11(0 )( )ststLf t dtef t dtf t edtssfF sss 2( 1)( 2)22111( )()( )(0

18、 )(0 )Lf t dtF sffsss ( 1)( 2)()1( )()1111( )(0 )(0 ).(0 )nnnnnLf t dtF sfffssss 式中式中 为式中为式中f(t)的各重积分在的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，时的值，如果这些初值为零，则有则有 1( )( )nnLf t dtF ss （2-38） （2-37） 0(0 )lim( )lim( )tsff ts F s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0( )limlim( )(0 )stssdf tedtsF sfdt 0(0 )lim( )lim( )ts

19、ff tsF s 0( )lim0stsdf tedtdt lim( )(0 )0ssF sf ( )tf te te 0(0 )lim1ttfe 1tL es 1(0 )lim1sfss 终值定理终值定理 0( )lim( )lim( )tsff ts F s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0000( )lim( )( )()(0 )stsdf tedtdf tf tffdt 0lim( )0( )(0 )ssF sfff （ ）0()lim( )lim( )tsff ts F s lim( )tf t25( )(2)F ss ss 20055(

20、 )lim( )lim( )lim22tssff ts F sss 0()()( )stasL f taf ta edteF s 式中式中f(t-a)为函数为函数f(t)延迟时延迟时间间a之后的函数，如图之后的函数，如图2-8所所示，当示，当ta时时f(t)=0。证明：设证明：设t-a= 则：则： 0()00()()( )( )( )stsaassasL f taf ta edtfedefedeF s 设设 ，对任一常数，对任一常数a（实数或复数），有（实数或复数），有 0( )( )()atatstL ef tef tedtF sa 证明：证明： 0()0( )( )( )()atatsts

21、 a tL ef tef t edtf t edtF sa 此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到。变换时用到。 sinatet 22sin()atL etsa 22cos()atsaL etsa 1!()atnnnL etsa 1()sL f atFaa （2-43） 0()()stL f atf at edt at 001()( )11( )sasaL f atfedasfedFaaa 两个时间函数两个时间函数f1(t)，f2(t)积分的拉氏变换可由下式积分的拉氏变换可由下式得到得到 12120()( )( )( )Lf tfdF

22、 sF s （2-44） 11( )( )F sL f t 22( )( )F sL ft 11( )( )( )2jstjf tLF sF s e dsj （2-45） 1( )( )f tLF s 如某一原函数如某一原函数的象函数为的象函数为，可以把，可以把分解分解成一些分量之和，即成一些分量之和，即 121( )( )( )( )( )nnF sF sF sFsF s 式中的式中的F1(s)、 F2(s)、 、 Fn-1(s)、 Fn(s)又很容又很容易由表易由表 2-1得到所对应的原函数得到所对应的原函数f1(t) 、f2(t) 、 fn-1(t) 、 fn(t) ，即，即111111

23、21121( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnf tLF sLF sLF sLFsLF sf tf tftf t 121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa sa （2-46） 123( )()()()()nA sspspspsp （2-47） 1212( )( )( )nnAAAB sF sA sspspsp 由于极点由于极点可为实数或复可为实数或复数，所以系数数，所以系数 -1也也可为实数或复数。这些系数有的书又称留数。求留可为实数或复数。这些系数有的书又称留数。求留数的方法可

24、分为下面三种情况研究。数的方法可分为下面三种情况研究。 ( )()()()( )()()kk12kkk12spknkkkknspAAB sspspspA sspspAAspspAspsp ( )()( )kkkspB sAspA s 53( )(1)(2)(3)sF ssss 31253( )(1)(2)(3)123AAAsF sssssss 115( 1)3( )(1)1(21)(31)sAF s s 225( 2)3( )(2)7(12)(32)sAF s s 335( 3)3( )(3)6(13)(23)sAF s s 1123176( )( )12376tttf tLF sLsssee

25、e 176( )123F ssss 312123( )( )( )()()nnAAsB sF sA sspspspsp 113121212312( )()()()()().( )()()spnspnAB sspspsspspA sspAspspsp 111212( )()()()( )spspB ssspspA s 因为因为p1是一个复数值，方程两边也都是复数值。使是一个复数值，方程两边也都是复数值。使方程（方程（2-51）两边的实数部分相等）两边的实数部分相等，得到一个方程。，得到一个方程。同样，同样，使方程两边的虚数部分相等使方程两边的虚数部分相等，得到另一个，得到另一个方程，根据这两个方

26、程就可以确定方程，根据这两个方程就可以确定和和。21( )(1)sF ss ss 12221( )(1)(1)ssAF ss sssss 21(0.50.866)(0.50.866)sssjsj s0.5 j0.866s0.5 j0.8661()12s ss 120.50.866( 0.50.866)0.50.866jjj 120.50.50.5 120.8660.8660.866 121 121 11 20 2011(1)ssAss ss 22222110.50.5( )1(0.5)0.866(0.5)0.866ssF sssssss 10.50.5( )( )1cos0.8660.578sin0.866ttf tLF setet (0)t 112( )() ()().()rrrnA sspspspsp 1111112112( )( )( )()()rrrrnrrrrnAAB sF sA sspspBA