数学建模案例卡车装运问题

1、卡车装运的最优效率模型班级:2001级混合7班作者 杨骁3013001188曹葵康：3013001197就诚3013001200摘要：本文在详细分析的基础上，通过介理的假设并引进装卸货原则，将问题转化为较简单的优化问题， 运用了排队论与优化的数学思想和递推的计篦方法.给出了歡学模樂一一平艺等待时间随拖车到达的时间 间隔的变化关系.再求最小值Min（w）：而第二小问，址在一问的基础上，磺了 24小时的限制时间以及 准时到达的定义，求得了两种情况下的时间界PUMax（tJ与Max（t2）o一、问题重述：联合集装箱运输（ACM）足一个卡车公司，它提供昼夜货物运输。公旳有一个调度网，有许多集装箱 处理

2、中心（ICPC,以下简称中心）。在毎个中心.进來的货物在卸我口卸敬后，到这个中心的货物就认为 足收到了.梵他的货物被分到不同的接运门.以准备运到不同的地方.毎个中心有许多卸载口，拖车可以在此卸载。当拖车数目大于卸载口数目时，进来的拖车将要排队等 待，直到有一个门空出来。一辆拖车可能有儿个中心的货物。对进入卸戟口的拖车来说，只装肓当前中 心货物的拖车比需要接运的拖车优先级要低。同样的.接运拖车中，后到的拖车比先到的拖车进入卸载口 的优先级要低.如果需要卸载和装运.不考虑货物的大小和数吊.卸载的时间和装运的时间那圧2小时。 当接运拖车装满货物肓.或足这一天需要运到那个H的地的货物全部运卜.了拖车，

3、拖车就立即开始向下一 个H的地出发。货物的大小按照拖车容虽的口分比计算。为了使拖车尽呈装满，毎辆车上的货物尺寸尽呈 选择致.在拖车离开卸载口或接运口，队列中另一辆又进入.这之间不需要时间。在接运口，拖车永远 不会短缺.为了帮助公司估计网络的效率，请你决定拖车在等待进入卸载口的平均等待时间以及确定哪些货物没 有准时到达中间站或目的地。二、模型假设：1. 各中心规模一样：且针对调度网络而言,各中心的地位和同.2. 兀拖车的装载虽与性能都相同。3货物种类不同决定了其尺寸也不同.4.装卸货原则：1假设有两种装货方式：整装和混装。2整装足扌斤同中心同尺寸的装货形式：混装圧指不同中心的同一尺寸的装负形式。

4、3）为了使司机的工作程序变得较为简单，在装车时先蔡装后混装.4 为了提高效率，同一中心不同卸载口等待的队长相同.2.准时到达：出指总公司当天发出的货物在当天04小时）内完成卸载。网络效率：圧指在当天内的等待时间，越短则效率越高.二、符号定义：1. n中间集装箱处理中心的个数2. n 不冋尺寸的货物种类3. s各中心的装卸口数4. A(i,j)第i中心所需的第j种货物的数虽5. k(j) 第j种货物相对丁拖车容虽的百分比6. L(1, t) 第i中心的任一卸载口到t时刻等待车的长度(i=ln)(i=l-n)(il,i2=l-n)7. v(i, t) 第i中心的任一卸载口到t时刻拖车等待总时间8.

5、 a(i) 一在24小时内到达第i中心任一卸载口的拖车数目9. t(il, 12) 第il中心到第12中心所需的最短时间10. t(o,i)一一总公司o到第i中心所需的就短时间11. f 一拖车到达任一卸载口的时间间隔.四、问题分析:(一)公司运作过程对于一中心而占，货物有直接从总公司来的和从其它中心转运来的：而拖车在整个运作过程可分为两种惜况，即整装与混装。具体如下：整霞：总公司装货 卸载队列卸载混装：总公司装货 卸我排队卸载 装车等待 装 _ 卸货(附:表示运输)(二排队的优先级别混装拖车对整装拖车具有绝对的优先权，即混装拖车可以不经过等持直接卸货：相同类型的拖车Z 间的优先级别肚郴同的，

6、符合"先到先服务"原则.(三)假设某中心的某一卸载口在t时刻驶来一台拖车.现分析其对系统总等待时间的影响，如图(1、2) 所示：图(1)图(2)(附：新到的拖车；口 排队的拖车：卸载口)若为整装车，则系统等待时间增加的部分就址新到的那辆车的等待时间，R卩 (i, t+dt)=v(i, t)+2L(i, t)(2)若为混装，根据绝对优先权原则，原来整装的拖车都要后退一个位置；其实也就出说，混装车插 到第-辆整装车的位垃.而原來排在第一位的整车就排到燄启。则系统等待时间增加的部分就圧新到的拖 车的節待时间加上第-辆整装车后退所增加的时间.即 (i, t+dt)=w(i, t)+

7、2L(i, t)综上分析可知，对F个卸载口，不骨到达的是整装的还足混装的，对于系统的总等待时间的影响 足一样的.但对丁接运车來说，为了减少装货的等待时间，应使该接运口的货物尽快集够一车或这一天的 货物全到达.而对于该公司来说.整装还足混装并不影响英效率.因而，可设混装车的到来圧连续的。五、模型建立与求解：(一)平均等待时间的优化模型根据上面的分析，该问题可转化为种简敢的情况：即让一天内到达卸救【I的混茨午先到达.接行才 足蔡装车的到来，这样就转化为“先到先服务”的排队问题。现对第i个中心的任一卸载口进行分析：0 时刻从总公司发来第一辆拖车.每间隔t时间乂发来一辆车.一直到本中心的货物全部运到为

8、止。假设w(i,O)=OL(i, 0)=05则：到该卸载口的总车辆数为:m工他)x£+l)一尸1址后辆拖车发出的时间为:P4jM+1)再过t时间该卸载口的等待卸载的队伍长：tL(i, t+t' )=L(i, t)+ X f -uXt)+l2由上式的递推关系可得：tftfL(i,t)=L(i, 0)+ X(1-一 )=X(1) (*)r2 r2该卸载口到t+/*时刻总等待时间：w(i, t+tf )=¥(i, t)+2(L(i, t+tf )-1)山上式的递推关系式可得,该卸载口的总等待时间为：v(i, a(i)tf )=v(i, 0)+2(L(i, a(i)t *

9、)+l-a(i)=a(i) (1) a(i) (1)*l-2a(i)ftnm W)=化/-I y-1而整个网络系统的总等待时间即为所有卸载口的时间之和.而平均等待时间.即迟勺(1 - 訓 0 (1 -)+1 - 2q elL'n ntj-1 y-1在货物虽、货源与乞中心的距离确定的惜况下该联介集装箱运输( ACK)公司的网络效率只与该 公司的发车时间尸有关.现用Mat lab软件对7(广)最小值进行求解，得：z 55$半尸=2( + 1) = +2时.拖车在等待进入卸裁口的最小平均等待时间为：7-1#一 E （宁2勺）Min 吆）=z«l /!工158工(竝3区勺+1)8Sf

10、«y）XO/-I y-1山上式可知.平均等待时间还与珂小©冇关：当这些条件一定时，该公司可通过调度整个网络的发车时间.即调节拖车到达各卸载点的时间间隔来使网络的平均时间最短(二)时间界限根据假设6可知.不准时到达中间站或冃的地.就兄指-拖车在第24时刻没冇完成卸载：仍在等待或 还没和载完.现对第i个中心的任一卸载口进行分析.求出从哪一时刻起发出的货物不能准时到达。设4 一从总公司发车的时间：3从任一中心接运口的发车时间从总公司发出的车：o <A+A0n + 2Z 丄、+ 2<24(a)从任一中心接运发出的车：*2 +4 + 気2)+2血24+2如“ < 2

11、4YI /2 > 2 + /(0 ;1)(b)把上面L(i,t)的农达式(*)帶入上式，得pO<A<llx/x/（0>0-/（0i0I2 +仏）* 511x2-务可见，时间界限与拖车到达的时间间隔有关。对应一确定的时间间隔几就可知道愎大的时间界限 t、g。总公司0在Xax(4)Z后发车就不能准时到达；而接运口在Max(/2)时刻Z后发出的拖车也就不 能准时到达.当厶5sm工（仏X勺+1）/T.Max （/j） = （11 心刀）x （+ 2） _ orE（4）x<+1）Max尸1(右)=R 亠十20 _如a工/M+1)戶 1所以，该AC*中心估计为了到达网络的最高效率，总公司的发车时间间隔为尸，最小的平均时间为 Min()o而相应的不能准时到达中间站或H的地的时间界限分别为：从总公司发出的拖车的时间为 Max(),从接运口发出的拖车的时间为Max(/2).木、模型的评价、改进与推广木文先在假设的前提下，运用排队论与优化的数学思想和方法，将问题转化为求极值以及求时间界限 的问題。整个模型较为简单，计算呈也较小。对F由总部统一控制运作的服务系统，具有较大的指导作用。在建模过程中，提出了一个装货原则，对货物混装的惜况作了较为简单的处理，这就简化了模型：但 在本模空中，接运车的利用率较低.在具体使用中.该网络系统可通过