第四章机械振动

1、首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动( (简谐振动简谐振动) )无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动2tx首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3 物体或物体的某一部分在某固定位置物体或物体的某一部分在某固定位置附近来回往复的运动附近来回往复的运动 实例实例: :钟摆，乐器，地震，钟摆，乐器，地震，心脏的跳动等心脏的跳动等1 1 机械振动机械振动平衡位置平衡位置首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最

2、简单、最基本的振动简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解2 2 简谐振动简谐振动首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出5X0 xFKF 线性回复力线性回复力 （1 1） 受力受力注意：此处位移注意：此处位移 x 特指振子偏离平衡位置的位移特指振子偏离平衡位置的位移。F = - kx 1. 弹簧振子弹簧振子 作简谐振动的物体作简谐振动的物体振动的成因：振动的成因：回复力回复力+惯性惯性首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出6mk 2 令令 xa2 即即makxF 简谐运动特征：简谐运动特征： a x （ F x ），方向相反。，方向相反。（2 2）振动微分方程）振动微分方程

3、 （动力学特征）（动力学特征）由牛顿定律：由牛顿定律：以振子为对象以振子为对象kxdtxdm 22简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程0dd222 xtx X0 xFKxtx222dd 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出7积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(0 tAx设初始条件为设初始条件为:000 =时，时，v vtxx简谐振动表达式简谐振动表达式解得解得（3 3）振动表达式）振动表达式 （运动学特征）（运动学特征）0222 xdtxd 解微分方程解微分方程首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出82. 简谐振动基本特征简谐振动基本特征 线性回复力线性

4、回复力 （1 1） 受力受力F = - kx （2 2）振动微分方程）振动微分方程 （动力学特征）（动力学特征）0dd222 xtx )cos(0 tAx（3 3）振动表达式）振动表达式 （运动学特征）（运动学特征）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出9)cos(dd0222 tAtxa)cos(0 tAx由由)sin(0 tAtxddv简谐振动表达式简谐振动表达式3. 简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度 最大速度最大速度最大加速度最大加速度 A maxv2max Aa 速度速度加速度加速度首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出总结：简谐振动方程和特征总结：简谐振动方程

5、和特征 0dd222 xtx （2）简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程kxF （1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置0 x)sin(0tAv)cos(0tAx （3）简谐运动的运动学方程简谐运动的运动学方程xa2 （4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出11 1. 振幅振幅 A)cos(0 tAxmaxxA （1）周期）周期 T：完成一次全振动所需的时间完成一次全振动所需的时间2. 周期、频率、圆频率周期、频率、圆频率 （3）圆频率）圆频率 ： 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数（2）频率）

6、频率 ：单位时间内所完成全振动的次数单位时间内所完成全振动的次数T1 22Ttx 图AA xT2Tto周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的物理性质有关的物理性质有关固有周期固有周期 T固有频率固有频率 f固有圆频率固有圆频率 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出12位相的意义位相的意义：表征任意时刻：表征任意时刻 t 物体振动的状态。物体振动的状态。 0t 3. 位相和初位相位相和初位相（1）位相：）位相：（2）初位相：）初位相： 0 ， t = 0 时的位相时的位相，在，在 0 2 之间取值。之间取值。)cos(0 tAx 4. 由初始条件确定振幅由初始条件确定振幅

7、 A 和初位相和初位相 022020 v xA000tanxv 对给定振动系统，对给定振动系统，周期周期由系统本身性质由系统本身性质决定，决定，振幅和初相振幅和初相由由初始条件决定初始条件决定. .)cos(0 tAx)sin(0 tAv 0000sincos AvAx000vv ，xxt初始条件初始条件0t首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出13讨论讨论0, 0, 000vxt已知已知 ，求，求0 )2 cos( tAx 取取20 图图tx AA xT2Tto)cos(0 tAx)sin(0 tAvX0v t=0时时, x0=0, v00X0+Av t=0时时, x0=A, v0=0

8、)cos(0 tAx)sin(0 tAvX0 A2v t=0时时, x0=A/2, v0 0 ，表示，表示 x2 振动超前振动超前 x1 振动。振动。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出lTFP mglmglM sinsin5，时时动力学分析：动力学分析： lgt 22ddOAm22ddtJmgl 2mlJ .单摆单摆转转动动正正向向线性回复力矩线性回复力矩2tddJJM2 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出)cos(00 tlg 2 令令glT2 0dd222 t lgt 22ddlTFPOAm2mlJ 转转动动正正向向注意：注意：角速度角速度、与角频率与角频率区别区别角速

9、度角速度:)sin(00 t首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2.2.复摆复摆22ddtJmgh Jmgh 2 令令)5( *hgm（C点为质心）点为质心）COFhM mghmghM sin 222dd t转动正向转动正向22tJJMdd 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出0dd222 t)cos(00 t角谐振动角谐振动mghJTJmgh22 *hgm（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出Jmgh复摆复摆mk弹簧振子弹簧振子lg单摆单摆 2 T首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出23P126 例例4.1一质量为一质

10、量为m的物体的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证明其在平衡位置附阻力，试证明其在平衡位置附近的振动是简谐振动近的振动是简谐振动.证证: 取坐标如图所示取坐标如图所示该系统作简谐振动该系统作简谐振动.klmg )(22lxkmgdtxdm kxdtxdm 220222 xdtxd mk 2 A处：处：x 处：处：首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出24结论：一个简谐振动振动系统受到一个恒力作用（如结论：一个简谐振动振动系统受到一个恒力作用（如 mg），），只要将原系统坐标原点移到恒力作用后新的平衡位置处，该系只要将原系统坐标原点移到恒力作用后新的平衡位置处

11、，该系统仍是一个与原来系统动力学特征（统仍是一个与原来系统动力学特征（F、 ）相同的简谐振）相同的简谐振动系统，此时回复力动系统，此时回复力 F = mg k（x+l）称准弹性力。）称准弹性力。0222 xdtxd mk 2 )(22lxkmgdtxdm 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出)cos(0 tAx 以以O为原点为原点旋转矢量旋转矢量 的的端点在端点在 x 轴上轴上的投影点的运动的投影点的运动为简谐运动为简谐运动. .A首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出26xo0 A 0t0 x 自自Ox轴的原点轴的原点O作作一矢量一矢量 ，使它的模使它的模等于振动的振幅等于振动

12、的振幅A，并并使矢量使矢量 在在Oxy平面平面内绕点内绕点O作作逆时针逆时针方向方向的匀角速转动的匀角速转动，其角其角速度速度 与振动圆频率与振动圆频率相等相等，这个矢量就叫这个矢量就叫做做旋转矢量旋转矢量. A A旋转矢量旋转矢量A00cos Ax 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出（1）t =0时，旋转矢量时，旋转矢量 A 与与 x 轴夹角轴夹角0 (初位相）初位相）;oAtt 0 t)cos(0 tAxxxo0 A 0t0 x00cos Ax （2）旋转矢量）旋转矢量 A以以角速度角速度沿逆时针方向，沿逆时针方向， t 时刻，时刻，A与与 x 轴夹角轴夹角t + 0（位相）；（

13、位相）；（3）以）以O为原点旋转矢量为原点旋转矢量A的端点，在的端点，在 x 轴上的投影轴上的投影点的运动为简谐运动点的运动为简谐运动.首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出)cos(02tAa2 0tmvvxyOA0t)cos(0tAxnaa A mv)sin(0tAv2m Aa 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出用旋转矢量图画简谐振动的用旋转矢量图画简谐振动的 图图tx 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出30abcdovmv 0 x0,v0v 0v 0 x0 x0,v0 x0,v0a点点：x = A，0= 0c点点：x =A，0= b点点：x = 0，v 0，平衡

14、位置处，平衡位置处，0= 3/2 , 或或0= /2 0 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出P130例例4.2如图如图4.6所示，轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，所示，轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为绳过定滑轮挂一质量为m的物体的物体.设弹簧的劲度系数为设弹簧的劲度系数为k，滑轮，滑轮的转动惯量为的转动惯量为J，半径为，半径为R，若物体，若物体m在其初始位置时弹簧无伸在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。长，然后由静止释放。(1)试证明物体试证明物体m的运动是谐振动；的运动是谐振动； (2)求此振动系统的振动周期；求此振动系统的振动周期； (3)写出振动方

15、程写出振动方程.解解(1)若物体若物体m离开初始位置的距离为离开初始位置的距离为b时，受力平衡时，受力平衡以此平衡位置以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为为坐标原点，竖直向下为x 轴正向，当物体轴正向，当物体m在坐标在坐标 x 处时，有处时，有kbmg tdxdmma22 1T-mg JRTRT 21)(2bxkT Ra 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出32由上由上4 4式解得式解得此振动系统的运动是简谐振动此振动系统的运动是简谐振动. .(2)(2) 圆频率圆频率周期周期 0)(222 kxdtxdRJm0222 xRJmkdtxd2RJmk kRJmT222 0222 xdtx

16、d 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出33振动系统的振动方程为振动系统的振动方程为(3)依题意知依题意知 t0 时，时，x0b，v00，22020 vxA 0)cos(0 tAx2RJmk xoA 0 x0b)cos(2 tRJmkkmgkmgb kbmg t = 0首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出34P131例例4.3已知如图所示的谐振动曲线，试写出振动方程已知如图所示的谐振动曲线，试写出振动方程.0cos()xAt解：设谐振动方程为解：设谐振动方程为t1 s时，时，x2 cm = A/2，v0，从图中得：从图中得：A4 cm，023t 0 时，时，x0 = 2cm =

17、A/2，v0 0 ，P134 例例4.4如图所示，光滑水平面上的弹簧振子由质量为如图所示，光滑水平面上的弹簧振子由质量为M的木的木块和劲度系数为块和劲度系数为k的轻弹簧构成的轻弹簧构成.现有一个质量为现有一个质量为m，速度为，速度为u0 的的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态.(1)试写试写出该谐振子的振动方程；出该谐振子的振动方程；(2)求出求出 处系统的动能和势能处系统的动能和势能.2Ax 0000)(uMmmVVMmmu k0uM0Vmo0 txMmk 圆频率圆频率)(0022020MmkmuVvxA 振幅振幅首首 页页

18、上上 页页 下下 页页退退 出出43谐振子的振动方程为谐振子的振动方程为 )cos(0 tAx由初始条件由初始条件 t = 0 时，时， x0 = 0，v0 = V0 0 2,230 或或221kxEp pkEEE )(881)2(2120222MmumkAAk )(83832022MmumkA (2) 时谐振系统的势能和动能分别为时谐振系统的势能和动能分别为2Ax Mmk )(0MmkmuA )23cos()(0 tMmkMmkmu228121kAkA 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 设一质点同时参与两独立的设一质点同时参与两独立的同方向、同频率同方向、同频率的简谐振动。的简谐

19、振动。10 1A1xxO2x2A20 )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx两振动的位相差两振动的位相差: = 常数常数1020 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出 两个两个同同方向、方向、同同频率简谐振动频率简谐振动合成合成后仍后仍为为同同频率的频率的简谐简谐振动振动。)cos(21020212221 AAAAA)cos( tAx10 1A1xxOA x21xxx2x2A20 202101202101coscossinsin AAAA tan21xxx )cos(1011 tAx)cos(2022 tAx两振动的位相差两振动的位相差: = 常数常数1020 )cos()cos(202101 tAtA首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出too10200 )cos()(021 tAAxA1A2AT（1）位相差位相差21020k ), 2 1 0( ，kxx讨论讨论合振动的振幅合振动的振幅A与两分振动位相差与两分振动位相差 的关系的关系)(1020 同相同相加强加强合振动振幅最大合振动振幅最大 Amax=A1+A2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出xto)cos(021 tAAx2A20 1AA（2）相位差相位差)12(1020 k )