控制系统的能控性和能观性

1、第4章控制系统的能控性和能观性第1节能控性和能观性的定义设线性连续时变系统为X=A(t)xB(t)uy=C(t)x如在to,tf上，对任意x(t0)=x。，必能找到控制作用u(t),使X(t)由X。转移到X(tf)=0,则称系统在t。时刻是状态完全能控的(能控)。如果由to,t上的y(t),能惟一地确定x(t0)=x。，则称系统在t。时刻是状态完全能观(能观)。能控性描述入u(t)支配状态x(t)的能力，能观性描述Y(t)反映x(t)的能力。线性定常连续系统X=AxBuy=Cx的能控性和能观性与L无关。对线性定常系统，能控性实质上是描述u(t)支配模态e,%、1,2,III,n)的能力，若有任

2、一模态不受输入的控制，系统便不能控；能观性实质上是y(t)反映模态e”(i=1,2,|,n)的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。第2节线性时变系统的能控性能观性判据1、格拉姆(Gramian)矩阵判据n阶线性时变连续系统S(A(t),B(t),C(t)在to时刻能控的充要条件是能控性格拉姆矩阵tfWc(t0,tf)=(t°,t)B(t)Bt(t)：t(t0,t)dtto满秩；在to时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵tfWo(to，tf)=t(t,to)Ct(t)C(t)(t,to)dtto满秩。证明：以能控性判据证明为例。充分性证明。假设Wc(to，tf)满秩，则

3、W(to，tf)存在。用构造法。对任意x(t。)，系统的状态解为x(t)=-(t,to)x(to)(t,)B()u()dtot=(t,to)x(to)+a(t0L)B()U。)d7to选择U(t)B%一(to,t)Wc1(to,tf)x(to)代入系统状态解式并令tMf,则有tfx(tf)-:(tf,to)x(to)-:(to,t)B(t)Bt(t)t(to,t)Wc1(to,tf)x(to)dtto(tf，to)I-Wc(to，tf)WC1(to，tf)x(t0)(tf上)1-Ix(t0)=0充分性得证。必要性证明。用反证法。设Wc(to，tf)奇异，则必有某x(t。)#0使XT(t0)Wc

4、(t0,tf)X(to)=0将Wc(to，tf)表达式代入(过程略)，又可推知x(to)=0,这与x(to尸0的前提相矛盾，故Wc(to，tf)必为非奇异矩阵。必要性得证。证毕。*格拉姆矩阵判据需要计算6(t,to),使用不便。2、能控能观性矩阵判据设A(t)、B(t)和C(t)在时间域to,tf上对t(n-1)阶连续可微，则时变系统在时刻to能控的充分条件是能控性矩阵Qc(t)满秩，即rankQc(t);rankBo(t)Bi(t)IIIBn乂t)"一一n时变系统在时刻to能观的充分条件是能观性矩阵Qo(t)满秩，即Co(t)IzICi(t)rankQO(t)=rank.I'

5、;Imn n式中，Bo(t)= B(t), B)A(t)B*t) +i-1(t)-Cn-l(t)C0(t)=C(t),Ci(t)=Ci(t)A(t)+Ci-i(t)(i=1,2,|,n-1)例：试判断如下时变系统在to=0的能控性和能观性。(t0)y='101x解：自学(1)用格拉姆矩阵判断该系统的系统矩阵满足A(ti)A(t2)=A(t2)A(ti)=0故状态转移矩阵o 0t_01.00 (2! t 0)2III20t2I2-1tf t4 2t21 3t510t3 dt34 0 - 2t2460 - 10t360tf/2I0能控性格拉姆矩阵tfWc(0,tf)=：(0,t)B(t)B

6、(t)t：t(0,t)dt01tf2t20120012dt40021-12显然ranWctQ,=)n2所以，系统在卜=0时是能控的。(t,0)二 It 0001t020 t2/2T0 III1 2 t2一i i20 2能观性格拉姆矩阵Wo(0,tf)tft(t,0)Ct(t)C(t) (t,0)d t01 f 2一 24 0 t20 1 '12 0201 20t21dtd(d)III02!000显然由于A(t)、B(t)和C(t)在0,tf上对t高阶连续可微，控能观矩阵判断。0B0(t)=B(t)1I0t00tBi(t)A(t)Bo(t)B0(t)二0010_010-1Qc(t)=B(

7、t)Bi(t)'=10显然，当t>0时，rankQc=2=n。所以，系统在能控的。C0(t)=C(t)101可采用能t0= 0时是10t0 00t1Ci(t)=C0(t)A(t)C0(。1。0Qo(t)="(t)Ci(t)显然，当t。时,rankQo(t)=2=n。所以，系统在b0时是能观的。说明:tt1u(t)-Bt(t0t(0,t)Wc1(0,tf)(0)提供了使X(0)Tx(tf)的控制量其中一个的计算办法。120(0,t)二2tWj(0,tf)二tf3t460-10t2_110t2601604800t310ti0t23t41设*=1，则u(t)一20601012

8、 4800012c“ct22103124800270t21370t2269600第3节线性定常系统的能控性能观性判据1、能控能观性矩阵判据(1)能控性能观性判据n阶线性定常连续系统S(A,B,C)能控的充要条件是能控性矩QcBABA2BAn1Bnrn满秩；能观的充要条件是能观性矩阵CICAICAQO=-CAn-1mnn满秩。注意:能控性与C阵及输出无关，能观性与B阵及输入无关。(2)判据证明(略)(3)能控能观性的对偶原理若线性定常连续系统S(A,Bi,Ci)与&(A2,B2,C2)互为对偶,即ArAitB2 = C1 C2 = B；则S,的能控（观）性与S2的能观（控）性等价。证明：

9、易知Qc2=QOi,QO2=Qcl从而rankQc2=rankQo1,rankQo2=rankQ得证。线性时变连续系统的能控性和能观性也具有对偶性。2、基于约旦规范型的判据（1）能控性和能观性的不变性设系统S（A,B,C）经？P1X变换为S（A,成6）:A=P1AP?P1BOCP可以证明，线性非奇异变换不改变线性系统的能控性和能观性。(自学)(2)基于对角线规范型的能控性能观性判楣设n阶系统S(A,B,C)特征值两两互异，经非奇异变换Xa= P -1 X所得对角线规范型为Sa(A,Ba,C),其中:b,b1bt2,C.' cic2则系统能控的充要条件是Ba阵没有全。行；系统能观的充要条

10、件是Ca阵没有全0列。注意:在对角线规范型下，状态的能控（观）性与模态的能控（观）性一一对应。证明:系统Sa（Aa,Ba,Ca）的能控性矩阵Qc. = BA2BIII An1B.bliblIIIb；二b22bt2川21Tb2*I«.t.,tn-1,tbnnbnnbn因，2,III,n互异，故当且仅当b；=0；(i=1,2,III,n)rankQC才能成立。再由S与S能控性的等价性，基于对角规范型的能控性判据得证。类似，可证基于对角规范型的能观性判据。证毕。直观性说明：设系统为单变量系统，记其对角线规范型的信号流图可表为显然，当且仅当bi，0(i=1,2,111,n)/0(i=1,2川

11、,n)时，系统能控/能观。(3)基于约旦规范型的能控性能观性判据设n阶系统S(AB,C)的特征值“i(i=1,2,111,1)重数为1(工n=n),经非奇异变换变换为约旦规范型SJ(AJ,BJ,CJ)，其中1 =1AJ=diagJ1J2IIIJl其中Ji(iT,2,|,1)为对应于'的约旦块。情况A、Aj阵1个约旦块的形式均为Ji1I九. Ji r ri(i = 1,21ll,l)与Aj阵1个约旦块相对应，Bj阵和Cj阵均划分为l个块。则有判据:具有上述形态的的n阶系统能控（能观）的充要条件是与A阵l个约旦块对应的Bj阵各块末行行向量（Cj阵各块首列列向量）为非0向量。说明：*上述结构

12、的约旦规范型对应于各特征值只有一个独立的特征向量。*基于对角线规范型的能控能观性判据是该判据的特例（各n=1）。情况B、（略）例：判断所给系统的能控性和能观性。co寸。I8*义舟II_-1OOoco寸OCMCO(5)X1 y10 0 11.11 x2y20 3 0 2X3-210x112u1二020X200u2001X3012(6)2011二02-000X11IIII0X24U1u2X1y1401=X2y2030X3X1200X1i1二一J1(7)X2-020X2X3_001,x311402U18u212X1y1001=x2y2030X33、基于传递函数(矩阵)的判据单变量系统判据单变量系统能

13、控的充要条件是传递函数Gux(s)=(sI-A)1B没有零极点对消；能观的充要条件是传递函数Gxy(s)=C(sI-A)-1没有零极点对消；能控且能观的充要条件是传递函数Guxy(s)=C(sIA)-1B没有零极点对消。多变量系统判据在预解矩阵(sI A) 1adj(sI A)det(sI - A)中，将adj(sI-A)中各元的最大公因子与det(sI-A)相消后，记其为(sI-勾-1而，且定义传函矩阵的零点为其分子多项式矩阵各元的公因子，则多变量系统能控的必要条件是矩阵(sI-A)-1minB没有零极点对消；能观的必要条件是矩阵C(sI-A)-1min没有零极点对消；能控且能观的必要条件是

14、矩阵C(SLA)"minB没有零极点对消。例：X1132x101x1iu1yl100x2=040x200X2i一u2y2一001X3001x3102x3容易验证其能控且能观。A阵之det(sI-A)=(s-1)2(s-4)(s-1)(s-4)3(s-1)2(s-1)、2adj(sIA广0(s1)22(s1)00(s1)(s4)adj(sI-A)的零点为(s-1),与det(sA)的极点1)相同,抵消后，得、-i12C(SIA)minB=(S54)S4其没有进一步的零极点对消，满足系统能控且能观的必要条件。第4节能控规范型与能观规范型1、能控规范型1）单输入系统的能控规范型定理：若线性

15、定常单输入系统（A,b,C）能控，则存在线性非奇异变换Tjx,使其变换为能控规范型（Ac,bc,Cc）Acbca。Tb=0 川40 1t0IIIan-2一 an-1CcCTc （无特定形式行向量：）式中，a0,a2,lll,an_1为系统特征多项式s| - A= sn+ an_1sn1" II卜 a1s* a0的系数；变换矩阵Tc1it1 t AItAn1其中，III01Qc1,Q=bAbIIIAn1b即L1是能控性矩阵逆矩阵的最后一行。证明：略*该能控规范型有的文献称为能控规范I型。2)多输入系统的能控规范型多输入系统的能控规范型有多种。龙伯格(Luenberger)能控规范型应用

16、较多。龙伯格能控规范型由r个互相耦合的子系统组成，第i个输入变量只直接作用于第i个子系统的最后1个状态变量。线性定常系统S(A,B,C)的能控性矩阵Qc=BABA2BIIIAn1Bnrn不失一般性,设B=0IDbiHIb,且其各列线性无n关，即rankB=r。将Qc阵按列顺序展开，即nr个列向量按如下形式排列：bi,Hl,br；AbiJII,AbrJII;An-1bi,lll,An1br从左到右逐个检验列向量，若其与左边各列向量线性相关则予以剔除，否则保留，直到得到n个线性无关的列向量为止(行搜索法)。然后将它们按如下形式排列构成方阵心IIIAAilb2IIIA2%IllibrIIIACbr其

17、中，1(i=1,2,111,r)称为系统的能控性指数。对能控系统，r£仃=cinoi=1表二的逆阵为cLi止11l t r-1L、ii=1一i=n-i1将r；阵按能控性指数划分为个子阵，各子阵的末行向量为Piti二L”-。取的每个子阵的末行向量，按如下方式构造可控j=ij型变换矩阵TcItI-仃1ll1ALtA111lt102T 1c*It-A21'12*JtnAr1定理：通过非奇异变换J?=Tx,可将能控系统S(A,B,C)变换成龙伯格能控规范型&(A,Bc,Cc),其系数矩阵为A11IIIAc=T；1ATCAcriHIBciTBc=TjB=:BcrnrCc=CTc

18、(mxn)(无特定形式)01I*:IA_I,!Acii一一ai,0一ai,1Ac,00.00*011V1,|0,.0000.10*««01弟1弟1i,i+11i，rQ，ri1-pi,0P.3j-1.xcr.ijBci(i=1,2,111,rji)其中，%的末行元素等于第i个子系统特征多项式的系数，%的末行所有元素和Bci末行元素，可能不等于0。证明：略*单输入变量系统的能控规范型其实就是多变量系统r=1时龙伯格能控规范型。2、能观规范型1）单输出系统的能观规范型定理：若线性定常单输出系统为（A,B,C）能观，则存在线性非奇异变换父=二十，使其变换为能观规范型（A,B0,Co

19、）:AFat。000a0I1 0，：-a110I.!0：,0an210 01卜an1.b-tJb（无特定形式列向量）Co二CTo=0III01式中，a。,a2,111,an一i为系统特征多项式sIA=sn+an_1sn1+lll+a1s+a0的系数；变换矩阵To1=1ALIIIAn_1J_0C其中，I,QoJCApAn1一1nlCAmnn即L是变换前系统能观性矩阵逆矩阵的最后1歹IJ。说明：该能观规范型有的文献称为能观规范II型。2)多输出系统的能观规范型多输出系统的能观规范型有多种。其中龙伯格能观规范型应用较多。龙伯格能观规范型由m个互相耦合的子系统组成。线性定常系统S(A,B,C)的能观性矩阵CCAQo二："mnnctt设C=；。2,且其各行线性无关，即rankC二m。定义能观性指数ctitciAi二maxrank.二j(i=1,2,|,m)jl；ctAj"Jm对能观系统，z=n。i=1构造非奇异方阵Ctt1-1ciA1-CmAmT。实际上是由Qo阵中的n个线性无关的行向量所构成。其逆矩阵ro=1|-l-1I"-L-11Y1+1III-LY1+Y2III-Lmf1ri+1IIIL=£yi1-i=1i=1根据能观性指数把。1阵划分为m个子阵。取ro1的每个子阵的最后1列向量，按如下方式构造可观性变换矩阵Tot°t=LAL-/