平面直角坐标变换

1、§ 5、7 平面直角坐标变换为了考虑同一图形在不同得坐标系下得方程之间得尖系，我们首先需要建立同一个点在 不 同得坐标系下得坐标之间得矢系，这就就是坐标变换得问题，因为我们研究得图形就是点得 轨 迹.我们仅考虑平而直角坐标变换.设在平面上给出了由两个标架丿与0i厂所决泄得右手直角坐标系，这里F与J以 及厂与/就是两组坐标基向量，它们就是平而上得两个标准正交基，我们依次称这两个坐标系为 旧坐标系与新坐标系.由于坐标系得位巻完全由原点与坐标基向虽所决泄,所以新坐标系与旧坐标系之间得矢 系， 就由在0J,丨中得坐标以及卩与/在0. i, J中得分量所决宦.任一直角坐标变换总可以分解成移轴（

2、也叫坐标平移）与转轴（也叫坐标旋转）两个步骤.1 移轴如果两个标架0： /.门与（y,i, f /得原点O与O不同在0； /,丿丿中得坐标为 （X03），但两标架得坐标基向量相同，即有i，=i, j '二 J那么标架（0*； r,可以瞧成就是由标架/将原点平移到0'点而得来得（图5、7、1 ） 这种坐 标变换叫做移轴（坐标平移）.设P就是平而内任意一点，它对标架0； J与O-；，得坐标分别为（x,y）与图 5、7、171 ）（5、7-2）（），则有于就是有 故 x：y） = xo,y。 + xyf根据向量相等得定义得移轴公式为从中解出*与y 1，就得逆变换公式为Ob823OOO

3、dO O2 转轴若两个标架 O； I,； 与0i4/得原点相同，即0二（X但坐标基向量不同，且有Z （W） =G，则标架O：力巧可以喘成就是由标架（0:2 绕0点旋转a角而得来得 （图5、7、2）.这种由标架 0-i到标架O：厂厂得坐标变换叫做转轴（坐标旋转）.下而推导转轴公式.设P就是平而内任意一点，它对<0：/, j 与 Oi A得坐标分别为（X,y丿与（），即有因为Z （uz ） = a,新旧坐标基本向量之间有矢系于就是有图 5、 7、 2因为0与O就是同一点，故可直接得到转轴公式：o o oo a oa oo oo （5 ' 7 3）从（5、73）中解出X'与y；

4、就得到用旧坐标表示新坐标得逆变换公式：0 32 0 °0 00。（5、74 ）式中得a为坐标轴得旋转角.（5、74）式也可瞧成就是由标架 0乍丿绕0旋转一刀角变到0-ij得转轴公式 * 根甥线性代数得理论，（5、73）可写为，这里得坐标变换得矩阵就是一个正交矩阵，因而其 逆矩阵，逆变换公式可以直接由写出.3般坐标变换公式在一般情况下'由旧坐标系变成新坐标系Of、总可以分两步来完成.即先移轴使 坐标原点与新坐标系得原点0重合'变成坐标系0=然后再由辅助坐标系”转轴而成新坐标系图 5、7、3）.设平而上任一点P得旧坐标与新坐标分别为 么，y）与（才，V）,而在辅助坐标系（

5、T 小中得坐标为（AT V）,那么由（5、71）与（5、7-4）分别得与由上两式得一般坐标变换公式为（5、7-5）由（5、75）解岀门丫便得逆变换公式 “0。（ 5、76）平面直角坐标变换公式（5 >7-5）就是由新坐标系原点得坐标（砂y。）与坐标轴得旋转角a 决左得.4 由给定得新坐标轴确定得坐标变换确左坐标变换公式，除了坐标平移与旋转外,还可以有其它方法.假泄已给岀了新坐标系得两坐标轴在旧坐标系中得方程，并规立了一个轴得正方向，就 可 以确建又一种坐标变换公式.设在直角坐标系xOy里给左了两条相互垂直得直线Iz :其中如果取直线八为新坐标系中得横轴0”，而直 线/ ：'为纵轴

6、0夕,并设平面上任意点M得旧坐 标与新坐标分别就是（X、y）与（xy'）.因为 lx ' I就是点M （x,y）到0轴得距离，也就就是M 点到/ ?得距离（图5、7、4 ），所以有同理可得°°于就是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式O 0 boO OOO “（5、77 ）为了使新坐标系仍然就是右手坐标系，可将（5、7-7）式与公式（5、7-4）比较来决左（5、 7-7 ）中得符号.因因此（5、77）中得第一式右端得x得系数应与第二式得右端得y得系数相 等，所以（5、77）得符号选取要使得这两项得系数就是同号得.这种坐标变换得方法常用来在求得一般中心

7、二次曲线得主直径得情况下,用两条主直径作 为新坐标轴，把二次曲线得方程化为标准方程.以上给出得坐标变换得公式（5、75）、（5 >7-6）与（5、77）实质上都就是一样得.* 5.坐标变换下代数曲线及其次数得不变性在直角坐标系下,如果我们所讨论得平而曲线得方程能写成F （xy） = 0得形式，其中F （x,y）就是矢于a与y得多项式，那么这种方程就叫做代数方程,它所表示得平而曲线叫做代数 曲线不就是代数曲线得曲线叫做超越曲线代数方程得次数叫做代数曲线得次数.由于上面给出得几个坐标变换公式都就是一次式（线性得），而任何代数方程经过一次式得 变换之后必然还就是代数方程，任何超越方程经过一次式

8、得变换之后也必然还就是超越方程因 此有命题5、7、1曲线得代数性与超越性在线性坐标变换下保持不变.另一方面，代数方程得次数在一次式得变换之下也就是保持不变得，因此还有命题5、7、2代数曲线得次数在线性坐标变换下保持不变.例1已知新坐标系得対轴与V轴得方程分别为3x4y + 6=0与4x + 3>- -1 7= 0 ,求坐标变 换公式，并求点A （0,1）矢于新坐标系得坐标.解 由题意，设M （%, y）就是旧坐标系下任一点，其新坐标为（），则有根据上面得符号选取法则得变换公式为若选第一个坐标变换公式'则点A （0,1）尖于新坐标系得坐标就是（-14/5,2/5）:若选第二个，则点A（0,1）矢于新坐标系得坐标