线性代数复习

1、线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：kA =kn A （A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：方程组Ax二B, xj=Dj/D （D是系数矩阵行列式，Dj是常数项替换系数矩阵 第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三 角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质:（kA）-l=k-lA-lA-l = A -1（A*）*= A n-2AA*A= |A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。初等倍乘矩阵Ei（c）,表示将A的笫i行

2、（列）乘c。初等倍加矩阵Eij（c）,表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。初等对换矩阵Eij表示将A的第i和第j行互换。A可逆，（A,E）对A,E同时做同样的初等行变换（E, A-3、分块矩阵求行列式A 0 其中A, B为方阵。Q = A B o0 B0 A 其中 A, B 为 m, n 阶方阵。Q =（-l）mn A B。B 0A B Q = A D-CA-1B 。C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质： 判断多个向量间的线性相关关系：系数ki不全为零，Ekiai=O （定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。

3、各向量组成的矩阵A=（aTl, aT2,aTn）的行列式为0。向量组bl, b2,bt能被al, a2,as线性表示且t>s,则bl, b2,bt线 性相关。 必能否被al, a2, a3 (或更多向量)向量组线性表示？(aTl,aT2, aT3) (xl, x2, x3)T= aT4,有解即能线性表示,解即为对应各向量系 数。 矩阵的秩矩阵Am*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于minm, n o矩阵的初等变换、转置不改变矩阵的秩。r (A) =r (PA) (AQ) (PAQ),其中Am*n, P是m阶可逆矩阵、Q是n阶可逆矩 阵。A (n阶矩阵)为满秩矩阵的充要条件是|A|0o (

4、即A为奇异矩阵?A的秩不 为n) o矩阵秩的运算：r(A) + r(B)r(A+B) r(AB)min r (A), r(B) 齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组Ax二0有非零解：r(A)<n(n是未知数的个数/A的列数)。有非零解时，解的数量为 无穷多个。只有零解：r(A)=A的列数/ A H0。探Am*n, r (A) =r<n,则Ax二0存在基础解系且其中包含了 n-r个解向量。 非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组Ax二b有唯一解：r (A)二r (A, b)二n (n是未知数的个数/A的列数)有无穷解:r (A) =r (A, b) <n无解：r(A)&l

5、t;r(A, b)3、齐次(非齐次)线性方程组有非零解的结构 求基础解系的步骤：I将系数矩阵进行初等行变换化为简化阶梯矩阵(不能有两行非零起始值位 于同一列)。【1非零行的首个非零元所在列的对应未知量为约束未知量，其余列对应的未 知量为自曲未知量(引申：约束未知量即构成列向量组的一个极大线性无关组，其 他自山未知量均可用约束未知量线性表示)。III根据自山未知量所在列的位置确定xi的个数，赋其中一个xi=l,其他为 0依次进行下去，得到多组基础解系，便确定一般解Ekixi (ki为任意常 数)。 非齐次线性方程组中求一般解：确定自由未知量后，取所有xi二0,求得一个特解x0；特解与该方程对应的

6、齐 次线性方程组的多组基础解系加起来构成一般解xO-Ekixio四、向量空间与线性变换1、概念：自然基（标准基）、过渡矩阵、标准正交基、正交矩阵（n阶矩阵）2、重要性质:（l）yl=al Ixl+a21x2+anlxn; y2=al2xl+a22x2+an2xn; y2=al2xl+a22x2+an2xn;xl, x2,xn是一组基；则yl, y2,yn线性无关的充要条件是系数矩阵A满 足|A 二0。依次性质得到：（yl,y2,yn） = （xl,x2,xn）A, A称为x到y的过渡矩阵。从而：要求解aTl, aT2, , aTs（形成A矩阵）到bTl, bT2,bTn（形成 B矩阵）的过渡矩

7、阵，即求Ax二B的解X。易知：过渡矩阵可逆。 A是正交矩阵：A-1二AT；A是n阶正交矩阵?A的列向量组为Rn的一组标准正交基。如：0 0 10的转置矩阵是0 1 0 0 ,两者的乘积为单位矩阵E4*4o1 00000100 10010000 00100013、施密特正交化方法ill al, a2, a3构造一组标准正交基nl, n2, n3的方法：bl=al;b2=a2-bl*(a2,bl)/(bl,bl);b3=a3- b2*(a3,b2)/(b2,b2)- bl*(a3,bl)/(bl,bl).再将bl ,b2 ,b3单位化得到nl,n2,n3。(以上表达式中(a2,bl)表示内积)五、

8、特征值和特征向量矩阵的对角化1、概念：特征值、特征向量、特征方程、相似矩阵、相似标准形2、重要性质: An*n,若存在X和非零向量x使Ax= X x,称X是A的特征值。特征值入满足方程入I-A二0。(特征方程)矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无关。 对于实对称矩阵或可相似对角化的矩阵，其秩就是非零特征值的个数。 E Xi=Eaii (主对角元之和)二tr(A)(矩阵的迹)nxi= A(以上二性质可作为验证计算得到的X的准确性)矩阵的特征值满足线性性质(入-A; kA-kA; Xm-Am; X-l-A-1 (A可逆时)A和AT的特征值相同。 PAP-1二B?A、B;矩阵相似具有传递性。矩阵A1

9、A2的相似矩阵可表示为同一相似过程的两个因子的相似矩阵之积。 矩阵可对角化：即指n阶矩阵和对角阵相似。A =PAP-lo充要条件：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。3、判断方阵An和能否对角化、求特征值和特征向量、求P、T和A的方 法： 由方程XI-A二0求出X的值(特征值)； 将得到的单个或多个X分别代入方程(Xl-A)x=O,这是一个齐次线性方程 组，求解x的基础解系，即得到特征向量和其个数，从而判定A能否对角化。 若A能够对角化，则一定有n个特征向量xl,x2,xn；它们组成一个新 的矩阵P二(xl, x2,xn),由A=PAP-1求出A。( A的各项实际上就是A的特征 值 A, 1,

10、 X 2,，A. n) 若八二TAT-1,则按不同特征值对应的多个特征向量分组进行施密特正交 化、单位化处理，再将各向量并列写作正交矩阵T。六、二次型1、概念：二次型、正定矩阵2、重要性质：把一般的二次型 f (xl, x2,xn) = E xixj (i, j=l, 2,n)化为yl,y2,yn的纯平方项之代数和Ey2i的基本方法，从矩阵的角度而言，是对于 一个实对称矩阵A,寻找一个可逆矩阵C,使得CTAC成为对角形。 若对于任意的非零向量x=（xl, x2,xn）T,恒有xTAx>0,则称xTAx为正 定二次型，A为正定矩阵。当A是实对称矩阵时，xTAx是正定二次型；且A的n个特征值

11、全大于零。正定矩阵A是满秩矩阵，且A-1也是正定矩阵。 判定二次型的正定性；【任何二次型都可以用配方法判定其正定性；II可以用赋值法判定某二次型非正定；Ilin阶矩阵A的n个顺序主子式全大于零。（顺序主子式：自左上角开始取 方阵，取1*1、2*2、k*k方阵的行列式即为k阶顺序主子式。n阶方阵中这样 的主子式能取n个） 二次型正定的性质：I xTAx>0 （定义）IIA的主对角元aii>0； A二0。3、化二次型（Exixj）为标准形（Ey2i）的方法： 写出二次型对应的方阵An*n,注意写成实对称矩阵的形式。 求出矩阵的特征值和特征向量；将特征向量按组进行施密特正交化和单位 化；

12、将各向量并列形成正交矩阵Q;由八二QAQ-1求出Ao 做正交变换x二Qy,将二次型化成标准形。简捷方法：xTAx二yT(QTAQ)y=入 lyl2+入2y22+ 入nyn2,其中 A 1,X2,，'n是实对称矩阵A的n个特征值，也是对角矩阵八的各项diag(Xl,A 2, Xn)o (这些特征值的先后顺序可以对换，但必须先后一一对应)附1：各种矩阵对比矩阵表示方式规格行列式秩求解公式转置矩阵AT任意IAT =|A| (方阵 时)r (AT)二 r (A)逆矩 阵A-1方阵A-l I 工0r (Al)=r (A)A-1二 A*/|Ai系数 矩阵A任意A二0时齐次方程有非零解r(A)<

13、;n时齐次方程有非零 解增广矩阵(A, b)任意r=r (A, b)二n时非齐次 方程有唯一解对角矩阵A、diag ()方阵A=PAP-1满秩矩阵方阵不为零r(An*n)=n可逆矩阵、正定矩阵满秩对称矩阵aij=aji方阵A 二QAQ-l正交矩阵r方阵1或T满秩列向量组为Rn的一组标准正交基相似矩阵AB方阵A 二 Br (A)二 r (B)B=PAP-1A、B具有相同的特征值正定矩阵A=PTP方阵A >0满秩A 二CTACA的特征值全大于零附二：矩阵行列式和零的关系A二0的充分必要条件：<=> A不可逆（乂称奇异）<=> A的列（行）向量组线性相关<=> r（A）<n<=> Ax二0有非零解<=> A有特征值0<=> A不能表示成初等矩阵的乘积 |A|HO的充分必要条件：<=> A可逆（非奇异矩阵）<=>存在同阶方阵B满足AB二E （或BA二E）（可逆的性质）<=> r （A）