二次函数知识点及练习

1、 二次函数定义 练习题 一、课堂回顾1.归纳：一般地，形如 ，（ ）的函数为二次函数。其中是自变量，是_，b是_，c是_（1）二次项系数为什么不等于0？ 答： 。（2）一次项系数和常数项可以为0吗？ 答： . (3) 判断一个函数是否是二次函数的方法？ 答： 二 、跟踪练习1观察：；y200x2400x200； y=2x2+4x；y=3x； y=mx2+nx+p；这几个式子中二次函数有 。（只填序号）2对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ）A B C D3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t4秒时，该物体所经过的路程为 。4.二次函数当x2时，y3，则这个二

2、次函数解析式为 5用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y()与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。6. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_7.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式是 。三计算1. 是二次函数，则m的值为？2、若函数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为？3、若函数y=(m2)xm 2+5x+1是关于的二次函数，则m的值为？4、已知函数y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函数，求m的值？5. m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？若函数是

3、以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？8为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围抛物线的性质 及 练习题 一、课堂回顾图象（草图）开口方向对称轴增减性顶点坐标最值（最高或最低点）0当x_时，y有最_值，是_0当x_时，y有最_值，是_增减性：当0时，在对称轴的左侧，图像呈 趋势，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，图像呈 趋势，即 0时随的增大而 。 当0时，在对称轴的左侧，图像呈

4、趋势，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，图像呈 趋势，即 0时随的增大而 。a的性质：当0时，越大，抛物线的开口越_；当0时， 越大，抛物线的开口越_； 抛物线y=ax2(a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.二 、跟踪练习1函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_2. 函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_3. 二次函数的图象开口向下，则m_4. 二次函数ymx有最高点，则m_5. 二次函数y(k1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为_6若二次函数的图象过点（1，2），则的值是_7抛物线 开口从小

5、到大排列是_；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。8点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线 另一点B的坐标是 。9如图，A、B分别为上两点，且线段ABy轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 。10. 当m= 时，抛物线开口向下11.二次函数与直线交于点P（1，b）（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小抛物线的性质 一、课堂回顾图象（草图）开口方向对称轴增减性顶点坐标最值（最高或最低点）0当x_时，y有最_值，是_0当x_时，y有最_值，是_增减性：当0时，在对称轴的左侧，图像呈 趋势，

6、即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，图像呈 趋势，即 0时随的增大而 。 当0时，在对称轴的左侧，图像呈 趋势，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，图像呈 趋势，即 0时随的增大而 。关系：函数y=ax2 (a0)和函数y=ax2+k (a0)的图象形状 ，只是 不同；当k0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当k0时，函数的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当h0时，函数的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到。左右平移xy练习：1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（ ）A、向上平移2个单位

7、 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位2.抛物线y=4（x-3）2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线是最 点，当x= 时，y有最 值，其值为 。抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点坐标 。 3.把二次函数y=(x+1) 2的图像，沿x轴向左平移个单位，得到_的图像；4.把二次函数_的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.抛物线的性质 一、课堂回顾图象（草图）开口方向对称轴增减性顶点坐标最值（最高或最低点）0当x_时，y有最_值，是_0当x_时，y有最_值，是_增减性：当0时，在对称轴的左侧，图像呈 趋势，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右

8、侧，图像呈 趋势，即 时，随的增大而 。 当0时，在对称轴的左侧，图像呈 趋势，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，图像呈 趋势，即 时，随的增大而 。练习：1.把二次函数y=3x 2的图像，先沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到_的图像；2.把二次函数_的图像，先沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到y=-3(x+3) 22的图像.3把二次函数y=4(x1) 2的图像, 沿x轴向 _ 平移_个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.4把抛物线y=3(x+2) 2，先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到_的图像5把二次函数y=2x2的图像，先沿x

9、轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到图像的顶点坐标是_6.如图所示的抛物线：当x=_时，y=0； 当x0时， y_0； 当x在 _ 范围内时，y0；当x=_ 时，y有最大值_. 7试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 二次函数的增减性1.二次函数y=3x26x+5，当x1时，y随x的增大而 ；当x 2时,y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减少；则x1时,y的值为 。3.已知二次函数y=x2(m+1)x+1，当x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .4.已知二次函数y=x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),

10、B(x2,y2),C(x3,y3)且3x1x20,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b0,c 0Bb -2aCa-b+c 0Dc0； a+b+c 0a-b+c 0b2-4ac0abc 0 ；其中正确的为（ ） ABCD4.当bbc，且abc0，则它的图象可能是图所示的( ) 6二次函数yax2bxc的图象如图5所示，那么abc，b24ac， 2ab，abc 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7已知抛物线yax2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论： a，b同号；当x1和x3时，函数值相同；4ab0;当y2时，x的值只能取0；其中正确的个

11、数是（ ）A1 B2 C3D48已知二次函数yax2bxc经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线yaxbc不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限二次函数（a0）y=ax2+bx+c（ a 0）对称轴顶点坐标注：1.我们将的形式称为二次函数的顶点式。 2.如何将二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a0）转化成对应的顶点式 解： y =（ax2+bx）+c 提二次项和一次项 = 化二次项系数为1 = 配方：括号里同时加上再减去一次项系数一半的平方 = 书写成完全平方式 = 合并同类项 练习：1.将下列二次函数转化成顶点式的形式，并指出开口方向、对称轴方程、顶点坐标(5）

12、y=3x2+2x （6）y=-x2-2x(7)y=-2x2+8x-8 (8)y=x24x3 2.对于二次函数的图象与性质,说法错误的是( )A.顶点坐标是(2,-1) B.当X2时,Y随X的增大而增大C.开口向上 D.当X=2时,Y=-13. 二次函数化成形式为 ,它的顶点是 ,当X= 时 Y= .4. 二次函数(a0)图象的顶点坐标为 .5 写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（1） （配方法） （2） （公式法）（3） （配方法） （4） （公式法）（5） （配方法） （6） （公式法）6把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2

13、3x+5，试求b、c的值。7把抛物线y=2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。、(顶点式)(一般式)(交点式)xyo函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元一次方程求解 1已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三点，求该二次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(xh)2+k求解。 1.知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6），且经过点（2，8），求该

14、二次函数的解析式。 2.知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。3.x1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，3），则该二次函数的解析式?三、已知抛物线与x的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(xx1)(xx2)。 1.次函数的图象经过A（1，0），B（3，0），函数有最小值8，求该二次函数的解析式。2.抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC5，求该二次函数的解析式。3.线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（3，0），则该二次函数的解析式?4.物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（1,0）、（3,0），求b，c?5

15、若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，4)，则该二次函数的解析式?根据下列条件求关于x的二次函数的解析式（1） 当x=3时，y最小值=1，且图象过（0，7）（2） 图象过点（0，2）（1，2）且对称轴为直线x=（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4） 当x=1时，y=0; x=0时,y= 2，x=2 时，y=3（5） 抛物线顶点坐标为（1，2）且通过点（1，10）（6）当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= 3，x2=1时，且与y轴交点为（0，2），求这个二次函数的解析式（7）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点

16、到x 轴的距离为3，求函数的解析式。（8）知二次函数图象顶点坐标（3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。（9）已知二次函数图象与x轴交点(2,0)， (1,0)与y轴交点是(0,1)求解析式及顶点坐标。10若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 对称，那么图象还必定经过哪一点？11y= x2+2(k1)x+2kk2，它的图象经过原点，求解析式 与x轴交点O、A及顶点C组成的OAC面积。12抛物线y= (k22)x2+m4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= x+2上，求函数解析式。13形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开

17、口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式 14.与抛物线y=4x 2形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线解析式为 15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（1）求解析式 （2）根据图象回答： 当x 时，y0; 当x 时，y=0当x 时，y0。二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1. 如果二次函数yx24xc图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c （写一个即可）2. 二次函数yx2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3. 抛物线y3x22x1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 如图所示，二次

18、函数yx24x3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15. 已知抛物线y5x2(m1)xm与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为 ，则m的值为( ) A.2 B.12 C.24 D.486. 若二次函数y(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是 7. 已知抛物线yx2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。二次函数y=ax2+bx+c(a0)的系数a，b，c，与抛物线的关系aa决定开口方向：a时开口向

19、上，a时开口向下a决定抛物线的形状a,ba、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b时对称轴是y轴cc决定抛物线与y轴的交点：c时抛物线交于y轴的正半轴c时抛物线过原点c时抛物线交于y轴的负半轴决定抛物线与x轴的交点：时抛物线与x轴有两个交点 时抛物线与x轴有一个交点 时抛物线于x轴没有交点 练习：、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） A、a0,c0 B、a0,c0 C、a0,b0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,b0,b=0,c0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b

20、=0,c0, 、b2-4ac0, 、a+b+c0,、4a+2b+c0,、4a-2b+c0, 、b2-4ac0,、a-b+c0. 7、抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0. 1999中考8、抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足的条件是：a 0,b 0,c 0. 2000中考xyo xyo9、二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)二次函数应用(一）经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25