第1讲典型方程建立

1、1.王元明王元明 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 东南大学数学系东南大学数学系2. 谢鸿政等谢鸿政等 数学物理方程数学物理方程 哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系3. 谷超豪等谷超豪等 数学物理方程数学物理方程 复旦大学复旦大学数学系数学系4.4.王明新王明新 数学物理方程数学物理方程 哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系课程内容：研究数学物理方程的建立、求课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义分析。解方法和解的物理意义分析。 Green 方程的导出和定解问题方程的导出和定解问题行波法行波法分离变量法分离变量法解析法解析法函数法函数法数学物理方法数学

2、物理方法基本解法基本解法积分变换法积分变换法差分法差分法数值法数值法有限元法有限元法第一章 典型方程和定解条件的推导1 基本方程的建立基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法：导出数学物理方程的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。 例例 1 1. 弦的微小横振动弦的微小横振动 假设与结论：假设与结论：（1 1）横振动）横振动 坐标系 Oxu ，位移 u(x,t) 2uds= 1+dxxtan1,uxa （2）微小振动

3、）微小振动（3）弦柔软、均匀）弦柔软、均匀. 张力张力 , 密度密度 ；)(xT 建立方程建立方程： 取微元 MM ，研究在水平方向和垂直方向 MM 在不受外力的情况下的运动情况。 x+d dx)( dxxT sgd牛顿运动定律：牛顿运动定律： F = ma作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力为上的水平方向的力为 MM0coscosTT倾角很小，即倾角很小，即0, 0 近似得近似得TT 垂直方向的力为垂直方向的力为22( , )sinsinu x tTTgdsdst（1）sintg,sintg,.dsdx( , )(, ),.u x tu x dx ttgtgxx22( , )tgtgu x

4、 tTTgdxdxt于是等式（于是等式（1 1）变成）变成由微积分知识可知，在时刻由微积分知识可知，在时刻t 有有（2）等式（等式（2 2）可以写成）可以写成1|xx dxxxttguuudxTT x+d dx)( dxxT sgd由于很小令令 ，取极限得取极限得0dxxxttguuTT略去重力，可得方程略去重力，可得方程,22222xuatu其中其中Ta2(3)(3)弦振动方程（弦振动方程（3 3）中只含有两个自变量）中只含有两个自变量 和和 ，其中，其中 表示时间表示时间， 表示位置表示位置。由于它们描述的是弦的振动或由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为波动现象，因而又称为一维波

5、动方程一维波动方程。xttx 注注1.1.如果在弦的每单位长度上有如果在弦的每单位长度上有 外力作用，则方外力作用，则方程（程（3 3）具有下列形式：）具有下列形式：F（4） 2,ttxxua uf其中其中Ff ，而外力可以是压力、重力、阻力等。，而外力可以是压力、重力、阻力等。注注2 2.非齐次方程齐次方程齐次方程；齐次方程；, 0, 0 ff例例 2. 传输线方程传输线方程 待研究物理量: 电流强度 i (x,t) , 电压 v (x,t)xR xL xG xC iii vvv R 每一回路单位的串联电阻每一回路单位的串联电阻,L 每一回路单位的串联电感，每一回路单位的串联电感，C 每单位

6、长度的分路电容，每单位长度的分路电容，G 每单位长度的分路电导，每单位长度的分路电导，xxxKirchhoff 第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxCiii )()( 00RitiLxvGvtvCxi微分两端对两端对x微分微分两端对两端对t微分微分*C相减相减GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi )()(22222222 传输线方程2222222211xvLCtvxiLCti 高频传输，G=0, R=0高频传输线方程与一维波动方 程 类 似 例3. 声学方程 022sastt)(002pa s0p0声波中的空气密度相对变化量，空气定比热与定容比热之比值，空气处于

7、平衡状态时的压强，空气处于平衡状态时的密度。其中2222222zyxLapalce算子三维波动方程 第一章 数学物理方程的导出和定解问题 dVzyxdSnE),(4 4静静电电学学基基本本定定律律：穿穿过过闭闭合合曲曲面面向向外外的的电电通通量量等等于于区区域域内内所所含含电电量量的的倍倍，即即例例4 静电场的势方程静电场的势方程 E1 ),(zyx ),(4divzyxE 即 dVEdVzEyExEdSznEynExnEdSnEzyxzyxdiv ),cos(),cos(),cos(奥氏公式故 dVdVE 4div第一章 数学物理方程的导出和定解问题),(4graddivzyxu ),(42

8、22222zyxzuyuxu 0222222 zuyuxu故即 Laplace方程 Poisson方程当内没有电荷时 EuEgrad静电场是有势场，故存在势函数u, 有 例 5. 热传导方程dSdtnuzyxkdQ),( 21),(1ttdtdSnuzyxkQ21)()()(ttdtdVzukzyukyxukxFourier定律：V温度温度u(xu(x, ,y y, ,z z; ;t) t)，通过对任意一个小的体积微元通过对任意一个小的体积微元 内的内的热平衡关系的研究，建立方程热平衡关系的研究，建立方程。奥高公式,21tt内，通过曲面S流进V的热量 其中 , c分别是物体的比热和密度。温度由

9、),(1tzyxu变到),(2tzyxu吸收热量 tVtucdVtzyxutzyxucQtt 21dd),(),(122 热量守恒定理 21QQ dtdVtucdtdVzukzyukyxukxtttt 2121)()()( 0)(2222222 zuyuxuatu化简三维齐次热传导方程 2ack)(如果所考察的物体内部有热源如果所考察的物体内部有热源 , , 则热则热传导方程为传导方程为tzyxF,其中其中ctzyxFtzyxf/,fzuyuxuatu )(22222220)(22222 yuxuatu二维热传导方程 0)(222 xuatu维热传导方程 0)(2222222 zuyuxuatu三维热传导方程 当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散, ,液体的渗透液体的渗透, , 半导体半导体材料中的杂质扩散等物理过程时材料中的杂质扩散等物理过程时, , 若用若用 表示所扩表示所扩散物质的浓度散物质的浓度, , 则浓度所满足的方程形式和热传导则浓度所满足的方程形式和