第三章刚体力学3

1、3.7 3.7 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 一、平面平行运动的运动学一、平面平行运动的运动学 1. 运动特征运动特征 1) 其上任一点始终在平行于某一固定平面其上任一点始终在平行于某一固定平面内运动，刚体上内运动，刚体上 垂直该固定平面的直线上垂直该固定平面的直线上各点运动情况相同。因此，平行于固定平各点运动情况相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表刚体。面的某一截面，即代表刚体。 2） 刚体在刚体在 内，由内，由 ，可由两步完成，可由两步完成t III随随A点的纯平动点的纯平动 ，基点位移均为基点位移均为 III AA ABAB再绕再绕A作纯转动作纯转动刚体的平面平行运动刚体

2、的平面平行运动 = = 任意点的平动任意点的平动 + + 绕该点的转动绕该点的转动 下页下页上页上页2. 刚体上任一点刚体上任一点P的速度的速度 取取A A为基点为基点: : AA0vvrv(rr ) xAx0yAy0vv( yy )vv( xx ) 3 3）选取不同基点）选取不同基点B B，基点位移不同，基点位移不同， 即，改变基点，基点的位移不同，即，改变基点，基点的位移不同，因而速度，加速度不同；因而速度，加速度不同； 但是角位但是角位移，角速度相同。移，角速度相同。 但但BBAA ,ABABP P点在静系和动系中的坐标为点在静系和动系中的坐标为 和和 ， 在静系中的投影：在静系中的投影

3、： v ，xy ，xy xzyOrOArrPx y z 下页下页上页上页在在刚刚体体坐坐标标系系中中的的投投影影为为: :xAxyAyvvyvvx 3. P点的加速度点的加速度 AA0vvrv(rr ) 下页下页上页上页 xzyOrOArrPx y z 2. 求瞬心求瞬心 1) 解析法：在静系中解析法：在静系中 xyv0vAycAxcvxvy 在刚体系中：在刚体系中：= = =xAxyAyvvy0vvx0 AycoAxcovxxvyy = = =xAx0yAy0vv( yy )0vv( xx )0 二、转动瞬心二、转动瞬心 1. 作平面平行运动的刚体任意时刻薄片上或其延伸平面上作平面平行运动的

4、刚体任意时刻薄片上或其延伸平面上恒有一点速度为零，该点为恒有一点速度为零，该点为转动瞬心转动瞬心 ，也称为，也称为极点极点下页下页上页上页几几何何法法：根根据据，可可以以选选取取转转动动顺顺心心为为基基点点，各各点点绕绕作作纯纯转转动动：C C若若已已知知刚刚体体上上任任意意两两点点的的速速度度方方向向，通通过过作作图图可可以以求求得得AA2)vvrCv0vrCvPc 下页下页上页上页3. 3. 当刚体运动时，瞬心的位置随之而变，当刚体运动时，瞬心的位置随之而变，c c在固定平面上的轨在固定平面上的轨 迹叫做迹叫做空间极迹空间极迹，在薄片上的轨迹叫做，在薄片上的轨迹叫做本体极迹本体极迹。 本体

5、极迹在空间极迹上本体极迹在空间极迹上无滑动的滚动无滑动的滚动例：车轮滚动例：车轮滚动cSB下页下页上页上页4. 平面平行运动的运动学求解平面平行运动的运动学求解 1）求瞬心的位置，本体极迹和空间极迹：）求瞬心的位置，本体极迹和空间极迹： 空空间间极极迹迹方方程程AycoAxcovxxvyy 本本体体极极迹迹方方程程AycAxcvxvy 作图法：求出作图法：求出c的位置，再写出其坐标表达式。的位置，再写出其坐标表达式。2）求刚体上任意一点的速度和加速度：）求刚体上任意一点的速度和加速度：基基点点法法速速度度瞬瞬心心法法加加速速度度 解解析析法法A2A1.vvr2.vraarr3. 下页下页上页上

6、页1 1）椭圆规尺）椭圆规尺ABAB两端点的速度方向已两端点的速度方向已知，故过知，故过A A及及B B作两直线分别与作两直线分别与v vA A及及v vB B垂直，此两直线相交于垂直，此两直线相交于c c，故，故c c为转动为转动瞬心。瞬心。空间极迹空间极迹本体极迹本体极迹p147例例1. 试用转动瞬心法求椭圆规尺试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度点的速度、加速度,并求本体极迹和空间并求本体极迹和空间极迹的方程式。已知极迹的方程式。已知B以匀速度以匀速度c沿导槽沿导槽向下运动，向下运动，为为的的角角速速度度） Bc1vc(ab)sin(ABab sin b b c co os sb

7、b c ct tg g2222222McvMCa sinaa b 22222xyOCAB(ab)22221xyO C(ab)2a,b, 下页下页上页上页jbj bkdtdrrdtdaaBM22jbacbi bbac2222sin1)(cossin1jibabcsincossin1)(222jijibabccossincoscossincossin1)(222ibabcsinsincossin1)(2222ibabc322sin1)( jijjiicossinsincosc1ab sin 下页下页上页上页 yxOrOCrr y jx i三、平面平行运动动力学三、平面平行运动动力学 1. 运动微分

8、方程运动微分方程 以运动学观点，基点可任意选取，以动力学选质心为以运动学观点，基点可任意选取，以动力学选质心为基点较宜。取过质心的薄基点较宜。取过质心的薄 片代表刚体片代表刚体 （0-xy为静系，为静系， C-xy为刚体系）为刚体系） MdtJdFrmiC,CixCiyz zzmxFmyFIM 可以解出可以解出，, ,CCCCxx (t ) yy (t )(t ) 但刚体由于受到约束做平面平行运动，约束力未知，一般未但刚体由于受到约束做平面平行运动，约束力未知，一般未知数的个数大于方程的个数，需要加约束方程才能求解。知数的个数大于方程的个数，需要加约束方程才能求解。下页下页上页上页2222Ci

9、iCCz1111Tmvm vmvI2222 2. 动能动能若若，则则22CCz11FVmvIVE22 约约束束方方程程CixCiyz zzmxF(1)myF(2 )IM(3) 3. 应用应用能能量量守守恒恒可可以以代代替替上上方方程程其其中中之之一一（可可以以避避免免约约束束力力) )下页下页上页上页方法一、机械能守恒定律方法一、机械能守恒定律222CC11mxmkmgx sinE22 滚而不滑条件：滚而不滑条件：Cxa c22g sinxa1k / a 解得：解得：CC2CCmxmg sinfmymgcosNmkfaya,xa 222mgk sinfakNmgcos 方法二、解微分方程方法二

10、、解微分方程2CCCmx xmkmgx sin0 例例P149:P149:已已知知半半径径 、质质量量m m的的圆圆柱柱，沿沿倾倾角角 的的斜斜面面无无滑滑动动的的滚滚下下，求求质质心心沿沿斜斜面面运运动动的的加加速速度度及及约约束束反反力力的的法法向向分分量量 和和切切向向分分量量aNf 下页下页上页上页讨讨论论： ）纯纯滚滚动动是是静静摩摩擦擦力力，最最大大静静摩摩擦擦力力）静静摩摩擦擦系系数数滑滑动动摩摩擦擦系系数数）或或MM2221fff (ff(NNfk tanNak （ ）此此时时连连滚滚带带滑滑222fk tan2,Nak CC2Cmxmg sinfmymgNmkfafN( xa

11、 ) 下页下页上页上页c220g sinxa01k / a 当当圆圆柱柱在在水水平平面面上上滚滚动动时时 = = = = 实实际际中中圆圆柱柱会会永永远远滚滚动动下下去去？下页下页上页上页解解：设设板板和和球球质质心心的的速速度度分分别别为为 和和对对球球：CCvvdvvgtmmgdtgtdmrmgrrdt 122225225对对板板：11mgMvmgvVtM 无无滑滑动动：A1vv7mgVgtVtt7m2M() g2M A2C57vvrgtgtgt22v1v2CNmgf2f1CA下页下页上页上页212122(1)(2)sincos(3)11(2 )123CCCCmxNmyNmgIN lN l

12、Imlml （一一）由由动动力力学学方方程程 质质心心动动量量矩矩定定理理求求解解22cossinsincos(4)sincos= cossinCCCCCCxlxlxllylylyll 约约束束关关系系：221sin() coscos3CCmlmx lmymg lmlmgl N1mgxyfON2ABC解：设棒长解：设棒长2l，如图建立坐标系，任意时刻棒与如图建立坐标系，任意时刻棒与x轴轴 夹角为夹角为 =- ，角角速速度度，角角加加速速度度为为下页下页上页上页224333coscos(sinsin )422gggdlll （ ）代代入入上上式式：22222222111sinsin()22311sin26CCmglmglm xymlmglmlml （二二）用用