第十章曲线积分曲面积分

1、2013-2014学年第二学期期中考试知识点学年第二学期期中考试知识点1. 求全微分求全微分2. 多元函数连续多元函数连续,偏导数存在偏导数存在,可微可微,偏导数连偏导数连续之间的关系续之间的关系3. 求曲面的切平面方程求曲面的切平面方程4. 求复合函数的偏导数求复合函数的偏导数5. 二重积分的计算二重积分的计算6. 各种方法计算三重积分各种方法计算三重积分7. 各类积分的对称性各类积分的对称性8. 第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算9. 计算曲线型构件的质心计算曲线型构件的质心10.第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算11.格林公式格林公式12.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路

2、径无关的条件13. 解全微分方程解全微分方程14.第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算15.第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算16.高斯公式高斯公式17.各类积分的几何、物理背景各类积分的几何、物理背景曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分1. 第一类曲线积分第一类曲线积分2. 第二类曲线积分第二类曲线积分3. 第一类曲面积分第一类曲面积分4. 第二类曲面积分第二类曲面积分（曲面薄板质量）（曲面薄板质量）（物质曲线质量）（物质曲线质量）（变力作功、环量）（变力作功、环量）（通量）（通量）第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 知识总结知识总结 对光滑曲线弧, )( , )(,

3、)(:ttytxLLsyxfd),(tttd)()(22)(),(ttf 对光滑曲线弧:( ) (),L yy xaxbLsyxfd),( , ( )baf x y x21( )dyxxLsyxfd),( ( )cos, ( )sin)f :( ) (),L 对光滑曲线弧22( )( ) d 对光滑曲线弧:( ) (),L xx ycydLsyxfd),( ( ),)dcf x yy21( )dxyy(1)利用参数方程化为定积分利用参数方程化为定积分 1. 第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算例例. 计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)1

4、0(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222)(),(, )(tttf(2)要结合利用第一类曲线积分的性质简化计算要结合利用第一类曲线积分的性质简化计算 ()Ldss周长 曲线曲线L方程可带入被积函数方程可带入被积函数 可使用对称性与轮换对称性可使用对称性与轮换对称性第一类第一类曲线积分对称性与轮换对称性曲线积分对称性与轮换对称性0( , )( , )

5、d2( , )d( , )LLf x yf x ysf x ysf x y右关于x为奇函数关于x为偶函数( , )( ),L,f x yC L(a) 设且光滑弧 关于y轴对称 则当区域关于 x轴对称, 函数关于y 有奇偶性时, 仍有类似结果.( , )( ),L,f x yC L(b) 设且光滑弧 的方程中x和y对称 则( , )d( , )dLLf x ysf y xs: :|1, (|) LLxyxyx ds例 设则+=+= 2 2答案：例. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312a

6、a2312332asy d2sz d2例例. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程为的方程为,sin,costaytax),20(tt kz求它的质心求它的质心 .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).L的质量的质量smLd222ka 而而sxLd22kaa20dcostt0syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k例例. L为球面为球面2222Rzyx面的交线面的交线 , 求其形心求其形心 . 在第一卦限与三个坐标在第一卦限与三个坐标解解: 如图所示如图所示 , 交线长度为交线长度为RozyxRR1L3L2LslLd31

7、423R23 R由对称性由对称性 , 形心坐标为形心坐标为321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R2第二类第二类曲线积分的计算曲线积分的计算(1)(1)利用参数方程化为定积分利用参数方程化为定积分 (3)(3)曲线积分与路径无关的等价条件曲线积分与路径无关的等价条件(2)(2)格林公式和格林公式和斯托克斯公式斯托克斯公式,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧(1)(1)利用参数方程化为定积分利用参数方程化为定积分 对有向光滑弧:( ),:L y

8、y xx ab( , )( , ) ,( ) ,( ) dbLaP x y dxQ x y dyP x y xQ x y xx( )y x 对有向光滑弧:( ),:L xx yy cd( , )( , ) ( ), ( ), ddLcP x y dxQ x y dyP x yyQ x yyy( )x y例例. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyx

9、L54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例. 计算其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()(

10、)(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 :zoyx1例：计算例：计算其中其中 由平面由平面 y = z 截球面截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222yx故故:原式原式 = tttdsincos2022221162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从从 z 轴正向看沿逆时针方向轴正向看沿逆时针方向.,12所得 zLDyQxPyxyPxQdddd(2)

11、 (2) 格林公式格林公式推论推论: 正向闭L 所围D 的面积LxyyxAdd21应用格林公式注意事项：应用格林公式注意事项：格林公式三个条件格林公式三个条件曲线封闭性曲线封闭性曲线正向曲线正向偏导连续性偏导连续性否则suuu u加边法加边法考虑反方向考虑反方向挖洞法挖洞法当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用格林公式格林公式DyaLxo计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax提示提示: :BA2d dDxy02a沿逆时针方向.L ABABI例例.L BOBO 例例. 设L是第一象限从点2332dLx

12、 ydxxxyy22 2 xyx沿圆周到点(0,0)(0, 2)计算解解: 添加利用格林公式 .原式 =221112424 022 dyy(D 231x 23x)d dxy(2,0)22 4 xy再沿圆周到点的曲线段,yxoA342 2012考研数学一考研数学一:0,: 20,BO xy B(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件在 D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 单连通域D 内具有一阶连续偏导数, 则注注:若若曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关,则

13、则可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径: -折线、圆周、抛物线等折线、圆周、抛物线等yx说明说明: 若在某单连通区域内若在某单连通区域内,xQyP则2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;例例. 计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是

14、沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令,22xyQyxP则xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.解法解法2 ,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)332aBALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段例例. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2, 0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连

15、通区域不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧LBAyox为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !),(yxyxo例例. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyy

16、xyxx332253123)0 ,(x(1)根据曲面方程化为二重积分根据曲面方程化为二重积分 3. 第一类曲面积分的计算第一类曲面积分的计算当:( , )zz x y时，( , , )df x y zS22( , , ( , ) 1d dx yxyDf x y z x yzzxy当:( , )xx y z时，( , , )df x y zS22( ( , ), , ) 1ddyzyzDf x y zy zxxyz当:( , )yy x z时，( , , )df x y zS22( , ( , ), ) 1d dxzxzDf x y x z zyyxz注：要根据曲面方程的形式选择恰当的公式注：要

17、根据曲面方程的形式选择恰当的公式yxD例例. 计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da222212ln()20ahaahaaln2yxDyxayxa222dd22220daha2aoxzyhaxozy例例. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部

18、分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD(2)要结合利用第一类曲面积分的性质简化计算要结合利用第一类曲面积分的性质简化计算 ()dSS面积 曲面方程可带入被积函数曲面方程可带入被积函数 可使用对称性与轮换对称性可使用对称性与轮换对称性( , , )d0( , , )2( , , )d( , , )f x y zSf x y zzf x y zSf x y zz上关于 为奇函数关于 为偶函数( , , )( ),f x y zCxoy设且 关

19、于面对称 则例例. 设设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分一卦限中的部分, 则有则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )4. 第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算(1)(1) 根据曲面方程化为二重积分根据曲面方程化为二重积分 (2)(2) 根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分(3) (3) 高斯公式高斯公式只求一个对坐标的曲面积分只求一个对坐标的曲面积分;高斯公式不方便高斯公式不方便求三个对坐标的曲面积分求三个对坐标的曲面积分;高斯公式

20、不行高斯公式不行求三个对坐标的曲面积分求三个对坐标的曲面积分;曲面封闭或补一曲面封闭或补一个平行于坐标面的平面后封闭个平行于坐标面的平面后封闭其方向用其方向用法向量指向法向量指向表示表示 :方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧侧的规定侧的规定有向曲面有向曲面的侧的侧：注注: 1. 同一个曲面的同一个方向可以按同一个曲面的同一个方向可以按 上述有不同的描述方式上述有不同的描述方式2. 有向曲面要根据需要的公式选择有向曲面要根据需要的公式选择 应该看成哪一个侧应该看成哪一个侧yxz111n例如例如: 球面在第一卦

21、限的外侧也可以球面在第一卦限的外侧也可以 看成上侧、前侧、右侧看成上侧、前侧、右侧( , , )d dR x y zxy( , , ( , )x yDR x y z x ydxdy； ( , ) zz x y当 取上侧( , , ( , )x yDR x y z x ydxdy；当 取下侧 当xoy面0(1)(1) 根据曲面根据曲面方程化为二重积分方程化为二重积分 :( , )0F x y（或）( , , )d dQ x y zzx( , ( , ), )zxDQ x y x z z dzdx； ( , ) yy x z当 取右侧( , ( , ), )zxDQ x y x z z dzdx；

22、当 取左侧z 当ox面0 :( , )0H x z（或）注：要根据所求为注：要根据所求为dxdy、dydz、dzdx选择曲面选择曲面方程的形式代入公式方程的形式代入公式解解:例例. 计算曲面积分dd ,xyzyz其中 为球面2x在第一卦限部分的下侧. ozyx122:1xyz122zy :下侧,应看为后侧5115R ddxyzyz ddyzDyzyz 222RyzyxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos(cos, cos, cos )是曲面在指定那一侧的单位法向量是曲面在指定那一侧的单位法向量(2)(2) 根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分根据曲面积分的联系化为第一类曲面积

23、分例例. 求求 ( , , )dd2 ( , , )d dIf x y zxyzf x y zyzx其中其中在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧. :1xyz( , , )f x y z为连续函数，为连续函数， ( , , )d d ,f x y zzxy解：解：(cos, cos, cos ) (1, 1,1)131 ( , , )2 ( , , )( , , )d3If x y zxf x y zyf x y zzS1d3xyzS1131d.2233S(3) (3) 高斯公式高斯公式公式公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd 由闭曲由闭曲面面 所围成所围成, 的方

24、向取外侧的方向取外侧, 高斯公式条件高斯公式条件曲面封闭性曲面封闭性曲面外侧曲面外侧偏导连续性偏导连续性否则suuu u加面法加面法考虑反方向考虑反方向挖洞法挖洞法例例.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10d221d z202dcos130d12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标例例. 计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxz

25、xzyzyxRIdddddd13zyxRddd31342121I例例. 设 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足够小的正数, 作曲面取下侧 使其包在 内, 2为 xoy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21ozyx取上侧, 计算, )0( z则21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx232220 d d()xyxy2第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得例例. 设设222:1,xyz 的外侧1为 在第一卦限中的部分中的部分, 则则1222( ) 8ddd d +

26、d d;Axyzyzx zxy1222( )4ddd d +d d;Bxyzyzx zxy1222( )2ddd d +d d;Cxyzyzx zxy()0.D222dddddd( )xyzyzx zxy 解:222dddddd(222 )0 xyzyzx zxyxyz dvD例例. 设设同一组的两个积分均为零的是同一组的两个积分均为零的是( ).22( )d , d;AxSxydz乙SS蝌蝌( )d , d;Bx Sx ydz22( )d , d;Cx y Sx y zdx2()d , d.Dx SxydzD222:1,xyz 的外侧则下列四组积分中则下列四组积分中2 d20 xydzxdv解: 注注: 封闭的第二类曲面积分应借助高斯公式封闭的第二类曲面积分应借助高斯公式转化为三重积分再用对称性转化为三重积分再用对称性