第八章则多元函数微分学习题课(下)

1、多元函数微分学多元函数微分学(下下) 习题课习题课一、主要内容一、主要内容全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念方向导数方向导数全微分全微分的应用的应用复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用多元函数的极值多元函数的极值1 1、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用求直线、平面的方程求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：曲线：参数式，一般式给出参数式，一般式给出曲面：曲面：隐式、显式给出隐式、显式给出（1 1）求

2、曲线的切线及法平面）求曲线的切线及法平面 ( (关键关键: : 抓住切向量抓住切向量) ) （2 2）求曲面的切平面及法线）求曲面的切平面及法线 ( (关键关键: : 抓住法向量抓住法向量) ) 2 2、方向导数与梯度、方向导数与梯度方向导数定义方向导数定义方向导数的计算公式方向导数的计算公式（注意使用公式的条件）（注意使用公式的条件）梯度的概念梯度的概念向量向量梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系3 3、多元函数的极值、多元函数的极值极值、驻点、必要条件极值、驻点、必要条件充分条件充分条件2(0)AC B 求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：最值最值条件极值，目标

3、函数、约束条件条件极值，目标函数、约束条件 构造构造 Lagrange 函数函数),(),(),(zyxzyxfzyxF 例例 . 求曲线求曲线0453203222zyxxzyx在点在点(1,1,1) 的切线的切线解解: 点点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线由此得切线:111zyx1691法平面法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即即与法平面与法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl例例 . 确定正数确定正数 , 使

4、曲面使曲面zyx222zyx在点在点),(000zyxM解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, 故故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点又点 M 在球面上在球面上,32202020azyx故于是有于是有000zyx2a相切相切.333a 与球面与球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有因此有20y20z2试求曲面试求曲面 xyz=1上任一点上任一点 处的法线方程处的法线方程 ),( 和切平面方程。并证明切平面与三个坐标面所和切平面方程。并证明切平面与三个坐标面

5、所围成的四面体的体积是一个常量。围成的四面体的体积是一个常量。证证设设1),( xyzzyxFxyFxzFyzFzyx ,法线法线 zyx切平面切平面0)()()( zyx即即3 zyx例例 切平面在三个坐标轴上的切平面在三个坐标轴上的截距截距分别为分别为 33,33,33 故切平面与三个坐标面所围成的四面体的故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积体积为为高高底底面面积积 31V|3|3|3|2131 29 |29 是一个常量是一个常量例例. 设函数设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线处沿曲线23 21 xtytzt在该点切线方向的方向

6、导数在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的处的梯度梯度与与(1)中中切线方向切线方向 的夹角的夹角 .,),(2zyxzyxf曲线曲线23 21 xtytzt (1)在点在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx解解:lM (1,1,1) 处切线的方向向量处切线的方向向量)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgradl cosMfgradl例例. 讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解

7、解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)xyzo并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 BAC33yxz可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz上求一点上求一点 , , 使该点处的法线垂直于使该点处的法线垂直于例例 在曲面在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程并写出该法线方程 . .提示提示: : 设所求点为设所求点为, ),

8、(000zyx则法线方程为则法线方程为000zzyyxx利用利用113100 xy得得3,1,3000zyx平面平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面法线垂直于平面点在曲面上点在曲面上例例之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(22

9、2yxzzyxzyxF 令令得得 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(.647241414161min d解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy

10、 ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz, 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,222222(1)xyzFxyz

11、abc用拉格朗日乘数法可求出用拉格朗日乘数法可求出. ),(000zyxV 最小等价于最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大最大,故取拉格朗日函数故取拉格朗日函数 当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四四面面体体的的体体积积最最小小abcV23min .极值求解方法总结：极值求解方法总结：例：若例：若x,y是正实数，且是正实数，且 .求求 的最大值。的最大值。221xyxy解答提示：解答提示：（1 1）解析几何法；）解析几何法； （2 2）判别式法；）判别式法； （3 3）三角函数法；）三角函数法； （4 4）一元函数求导法；）一元函数求导法； （5 5）拉格朗日乘数法。）拉格朗日乘数法。已知平面上两定点已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y),练习练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则则 ACABS2110