第七章相关于回归分析

1、一、相关关系及其表现形态一、相关关系及其表现形态 函函 数数 关关 系系 相相 关关 关关 系系 客观现象的数量依存关客观现象的数量依存关系是十分严格确定性数系是十分严格确定性数量关系。量关系。(可用数学式表可用数学式表达达)客观现象的数量依存关客观现象的数量依存关系是非确定性的数量关系是非确定性的数量关系系(不可用数学式表达不可用数学式表达)（一）相关关系（一）相关关系 客观现象的数量依存关系分两种客观现象的数量依存关系分两种 相关关系的特点相关关系的特点 1) 现象间确实存在数量上的依存关系，现象间确实存在数量上的依存关系， 即一现象发生数量上的变化，另一即一现象发生数量上的变化，另一 现

2、象会相应地发生数量上的变化现象会相应地发生数量上的变化 ； 2) 现象间的数量依存关系是不确定的，现象间的数量依存关系是不确定的， 即一现象发生数量上的变化，另一即一现象发生数量上的变化，另一 现象会有几个可能值与之对应。现象会有几个可能值与之对应。（二）相关关系的表现形态（二）相关关系的表现形态 按相关的程度分为按相关的程度分为 按相关的方向分为按相关的方向分为 按相关的形式分为按相关的形式分为 按影响因素的多少分为按影响因素的多少分为 二、相关关系的描述与测定二、相关关系的描述与测定（一）（一）散点图散点图 以横坐标代表自变量以横坐标代表自变量x，纵坐标代表，纵坐标代表 因变量因变量y，将

3、两变量用坐标点画出来，将两变量用坐标点画出来， 表明相关点分布状况的图形。表明相关点分布状况的图形。 散点图是描述变量间相关关系的一种散点图是描述变量间相关关系的一种 直观方法，它可判断两变量之间是否直观方法，它可判断两变量之间是否 相关，并可描述相关的形态，但不能相关，并可描述相关的形态，但不能 准确反映变量之间关系的密切程度。准确反映变量之间关系的密切程度。（二）相关系数的测定（二）相关系数的测定 1、一元线性相关系数的计算、一元线性相关系数的计算 相关系数是测定变量之间相关密切程度相关系数是测定变量之间相关密切程度 和相关方向的一个重要指标。和相关方向的一个重要指标。 对两个变量之间线性

4、相关程度的度量称对两个变量之间线性相关程度的度量称 一元线性相关系数。一元线性相关系数。22)()()(yyxxyyxxr2222)()(yynxxnyxxynr计算公式简便公式2、相关系数的意义、相关系数的意义 （1） 相关系数的取值范围相关系数的取值范围 1r1 （2） r 0 时，表明变量时，表明变量x、y为正相关为正相关 r 0 时，表明变量时，表明变量x、 y为负相关为负相关 （3） r =1时，表明时，表明 x、y 完全线性相关完全线性相关 r = 0 时，时， 表明表明 x、y 不存在线性相关不存在线性相关 例例 从某城市家庭中随机抽取从某城市家庭中随机抽取12个家庭，个家庭，

5、调查其月收入与月储蓄数据如下，调查其月收入与月储蓄数据如下， 绘出散点图，并计算月收入与月储绘出散点图，并计算月收入与月储 蓄间的相关系数蓄间的相关系数月收入月收入(百元百元)9 13 15 17 18 26 22 20 23 28 30 33月储蓄月储蓄(百元百元)3 5 4 6 7 9 8 7 10 11 10 12 1、回归分析、回归分析 对具有相关关系的变量间的数量变化对具有相关关系的变量间的数量变化 规律进行测定，拟定相应数学表达式，规律进行测定，拟定相应数学表达式， 以便从一个已知量推测另一个未知量。以便从一个已知量推测另一个未知量。 线性回归线性回归(直线回归直线回归)非线性回归

6、非线性回归(曲线回归曲线回归)一、回归分析的意义一、回归分析的意义2、回归的种类、回归的种类按自变量个数按自变量个数一元回归一元回归(简单回归简单回归)多元回归多元回归 (复回归复回归)按回归的形状按回归的形状 3、回归分析与相关分析的、回归分析与相关分析的区别与联系区别与联系相关分析用相关系数测定变量间的相相关分析用相关系数测定变量间的相关程度；回归分析侧重变量间的变化关程度；回归分析侧重变量间的变化规律，以数学式描述它们间的关系。规律，以数学式描述它们间的关系。两者相互补充，相关分析需回归分析两者相互补充，相关分析需回归分析 表明现象数量关系的具体形式；回归表明现象数量关系的具体形式；回归

7、 分析应建立在相关分析基础上，当现分析应建立在相关分析基础上，当现 象密切相关时，回归分析才有意义。象密切相关时，回归分析才有意义。 设设 x 为自变量，为自变量，y 为因变量，为因变量， 一元线性回归方程为：一元线性回归方程为： xbby10y 为回归估计值；为回归估计值；b0、b1 为待定参数；为待定参数； b0 为回归直线在为回归直线在 y 轴上的截距，轴上的截距， b1 为直线斜率称回归系数，表示自变为直线斜率称回归系数，表示自变 量量 x 每增减每增减 1个单位，因变量个单位，因变量 y 的的 平均增减量。平均增减量。 二、一元线性回归方程的建立二、一元线性回归方程的建立 221)(

8、xnyxxynbxnxbnyb10用最小平方法求解参数用最小平方法求解参数求得：求得：最小值即最小值2102)( ) ( xbbyyy例例1 根据上例数据拟合家庭月储蓄与月收入根据上例数据拟合家庭月储蓄与月收入 的回归方程，并说明回归系数的意义。的回归方程，并说明回归系数的意义。 回归直线与因变量回归直线与因变量y的观察点的接近的观察点的接近 程度称回归直线对数据的拟合度。程度称回归直线对数据的拟合度。（一）判定系数（一）判定系数 1、离差平方和的分解、离差平方和的分解 每个观察值y与其平均数 的离差都可 分解成两部分 对于 n 个观察点 y 的总离差为) ()(yyyyyy22222) ()

9、( ) () )(2)()(yyyyyyyyyyyyyyy三、回归直线的拟合程度三、回归直线的拟合程度 称 y 的总离差平方和或总变差， 反映因变量y观察值的离散程度。 回归离差平方和或回归变差，反映 在y的总变差中由于y与x的线性关系 引起y的变动部分，由回归直线解释 的变差部分，也称为可解释变差。 剩余离差平方和或剩余变差，反映 除y与x的线性关系影响之外的其他 因素对总变差的作用，不能由回归 直线解释，也称为不可解释变差。 2)(yy )(2 yy2) (yy2、判定系数、判定系数 总变差=回归变差+剩余变差回归变差占总变差比例为判定系数 r，用来测度回归直线对观察数据的拟合度r 的取值

10、范围0，1， r 越接近1回归直线与各观察点越接近，回归直线拟合度越高； r 越接近0，回归直线的拟合越差。22222)() (1)()(yyyyyyyyr简化计算公式简化计算公式判定系数就是相关系数的平方，相关系判定系数就是相关系数的平方，相关系 数数 r也可说明回归直线的拟合程度也可说明回归直线的拟合程度,r越接近越接近1，回归直线的拟合程度越高。，回归直线的拟合程度越高。222222122212)()()()()()()(ryyxxyyxxryyyyxxbyyxxbr（二）估计标准误差（二）估计标准误差 指实际观察值 与回归估计值 估计值 的平均离差，用 表示，测度各实际观 察点在直线周

11、围散布的状况,排除了x对y 线性影响之后，y 随机波动大小的度量。 计算公式 简化公式 越小说明观察点越靠近直线，回归直线 的代表性越好。 是从另一角度说明回归 直线的拟合度或两变量间的关系密切程度。 2nyxbybyS 2n)y (ySii1i02iy2iiyiyiy ysysys三、用回归方程的估计和预测三、用回归方程的估计和预测 （一）点估计（一）点估计 利用回归方程，对于利用回归方程，对于x的一个特定值的一个特定值 求出求出 的平均值的平均值 的一个估计值。的一个估计值。 利用回归方程，对于利用回归方程，对于x的一个特定值的一个特定值 求出求出 的一个个别值的一个估计值的一个个别值的一个估计值 0 x0y)(0yE0 y0 x0y 例例2 在例在例1中，中，求求: 1）月收入为）月收入为2000元时所有家庭平均元时所有家庭平均 月储蓄额；月储蓄额； 2）月收入为）月收入为2000元的家庭的月储蓄额。元的家庭的月储蓄额。对对x的给定值，求出的给定值，求出y的平均值的的平均值的 估计区间，该区间称为置信区间。估计区间，该区间称为置信区间。 )()(122020 xxxxnstyy（二）区间估计（二）区间估计2nyxbybySii1i02iy估计标准误差，指实际值估计标准误差，指实际