理论力学-第5章1

1、TSINGHUA UNIVERSITY 由于运动的相对性，在不同的参考系中，对于同一动点，由于运动的相对性，在不同的参考系中，对于同一动点，其运动方程、速度和加速度是不相同的。许多力学问题中，其运动方程、速度和加速度是不相同的。许多力学问题中，常常需要研究一点在不同参考系中的运动量常常需要研究一点在不同参考系中的运动量( (速度和加速度速度和加速度) )的相互关系。的相互关系。 本章将用定、动两种参考系，描述同一动点的运动；本章将用定、动两种参考系，描述同一动点的运动；分析两种结果之间的相互关系，建立点的速度合成定理和分析两种结果之间的相互关系，建立点的速度合成定理和加速度合成定理。加速度合成

2、定理。 点的复合运动是运动分析方法的重要内容，在工程点的复合运动是运动分析方法的重要内容，在工程运动分析中有着广泛的应用；同时可为相对运动动力学运动分析中有着广泛的应用；同时可为相对运动动力学提供运动分析的理论基础；点的复合运动的分析方法还提供运动分析的理论基础；点的复合运动的分析方法还可推广应用于分析刚体的复合运动。本章是可推广应用于分析刚体的复合运动。本章是“工程运动工程运动学学” ” 篇的重点内容。篇的重点内容。 第第5章章 点的复合运动分析点的复合运动分析 点的合成运动的几个基本概念点的合成运动的几个基本概念 点的速度合成定理点的速度合成定理 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动

3、为平移时点的加速度合成定理 结论与讨论结论与讨论第第5章章 点的复合运动分析点的复合运动分析 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理TSINGHUA UNIVERSITY 点的合成运动的几个基本概念点的合成运动的几个基本概念 一般工程问题中，通常将固连在地球或一般工程问题中，通常将固连在地球或相对地球不动的架构上的坐标系，称为相对地球不动的架构上的坐标系，称为定参定参考系考系（fixed reference system）,简称定系，以简称定系，以坐标系坐标系Oxyz表示；表示； 固定在其它相对于地球运动的参考体上固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参

4、考系（的坐标系称为动参考系（moving reference system），简称），简称动系动系，以坐标系，以坐标系Oxyz表示。表示。 两种参考系两种参考系 动点（研究对象）相对于定系动点（研究对象）相对于定系的运动，称为动点的的运动，称为动点的 绝对运动绝对运动（absolute motion）。动点刀尖）。动点刀尖P点的绝对运动为水平直线（绝对轨点的绝对运动为水平直线（绝对轨迹）运动。迹）运动。 动点相对于定系的运动速度和加速度，分别称为动点动点相对于定系的运动速度和加速度，分别称为动点的的绝对速度绝对速度（absolute velocity）和）和绝对加速度绝对加速度（absolut

5、e acceleration），分别用符号），分别用符号va和和aa表示。表示。 夹持在车床三爪卡盘上的圆柱体工件与切削车刀。卡盘夹持在车床三爪卡盘上的圆柱体工件与切削车刀。卡盘工件绕轴转动，车刀向左作直线平移。工件绕轴转动，车刀向左作直线平移。 若以刀尖若以刀尖P点为动点作为研究对象，则可以卡盘点为动点作为研究对象，则可以卡盘工件工件为为动系动系Oxyz ，而以车床床身（固连于地球）为，而以车床床身（固连于地球）为定系定系Oxyz分析动点分析动点P的运动。的运动。 动点相对于动系的运动，动点相对于动系的运动，称为动点的称为动点的相对运动相对运动（relativemotion）。动点刀）。动点

6、刀尖上尖上P点的相对运动是在工点的相对运动是在工件圆柱面上的螺旋线（相对件圆柱面上的螺旋线（相对轨迹）运动。轨迹）运动。 动点相对于动系的运动速度和加速度，分别称为动点动点相对于动系的运动速度和加速度，分别称为动点的的相对速度相对速度（relative velocity）和）和相对加速度相对加速度（relative acceleration），分别用符号），分别用符号vr和和ar表示。表示。 若以刀尖若以刀尖P点为动点作为研究对象，则可以卡盘点为动点作为研究对象，则可以卡盘工件工件为动系为动系Oxyz ，而以车床床身（固连于地球）为定系，而以车床床身（固连于地球）为定系Oxyz分析动点分析动点

7、P的运动。的运动。 动系相对于定系的运动，动系相对于定系的运动，称为称为牵连运动牵连运动。图中，牵连运。图中，牵连运动为绕动为绕Oy 轴的定轴转动。轴的定轴转动。 若以刀尖若以刀尖P点为动点作为研究对象，则可以卡盘点为动点作为研究对象，则可以卡盘工件为工件为动系动系Oxyz ，而以车床床身（固连于地球）为定系，而以车床床身（固连于地球）为定系Oxyz分分析动点析动点P的运动。的运动。 动系上牵连点相对定系的运动速度和加速度，分别称动系上牵连点相对定系的运动速度和加速度，分别称为动点的为动点的牵连速度牵连速度和和牵连加速度牵连加速度，分别用符号，分别用符号ve和和ae表示。表示。 动系上每一瞬时

8、与动点相重动系上每一瞬时与动点相重合的那一点，称为瞬时合的那一点，称为瞬时重合点重合点,又又称为称为牵连点牵连点。由于动点相对于动。由于动点相对于动系是运动的，因此，在不同的瞬系是运动的，因此，在不同的瞬时，牵连点是动系上的不同点。时，牵连点是动系上的不同点。 分析分析3 3种运动时需要注意的几个问题种运动时需要注意的几个问题 1. 1. 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可能动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可能作直线运动或曲线运动；而牵连运动则是指动系的运动，作直线运动或曲线运动；而牵连运动则是指动系的运动，实际上也就是与之相连的参考体刚体的运动，牵连运动实际上也就是与之相

9、连的参考体刚体的运动，牵连运动可能是平移、转动或其它较复杂的运动；可能是平移、转动或其它较复杂的运动； 2. 2. 牵连速度（加速度）是指牵连点的（绝对）速度牵连速度（加速度）是指牵连点的（绝对）速度（加速度），而牵连运动是指动参考体刚体的运动。（加速度），而牵连运动是指动参考体刚体的运动。这在概念上是不同的，二者的联系是牵连点是动参考体这在概念上是不同的，二者的联系是牵连点是动参考体上与动点的瞬时重合点；上与动点的瞬时重合点； 3. 3. 分析这三种运动时，必须明确：以哪一物体作为分析这三种运动时，必须明确：以哪一物体作为参考系。参考系。 分析分析3种运动的实例种运动的实例 定参考系？定参考

10、系？动参考系？动参考系？绝对运动？绝对运动？相对运动？相对运动？ 牵连运动？牵连运动？主梁不动时主梁不动时分析分析3种运动的实例种运动的实例 定参考系？定参考系？动参考系？动参考系？绝对运动？绝对运动？相对运动？相对运动？ 牵连运动？牵连运动？TSINGHUA UNIVERSITYzxyOzxyzxyzxyzyzxyzxyzxyt 瞬时瞬时zxyt+t 瞬时瞬时 点的速度合成定理点的速度合成定理刚体（用刚体上在定系中运动的曲线表示）刚体（用刚体上在定系中运动的曲线表示）zxyOzxyP(P1)P P1 三种运动轨迹三种运动轨迹刚体在定系中运动，动系固结在刚体上。刚体在定系中运动，动系固结在刚体

11、上。P1点动系上与动点重合的点。点动系上与动点重合的点。rr1r 动点动点P 沿着刚体上的曲线运动。沿着刚体上的曲线运动。 速度合成定理速度合成定理r =r +r1tttttt1000limlimlimrrreravvvzxyrr1r P( P1)P P1 点的速度合成定理点的速度合成定理eravvv绝对速度绝对速度牵连速度牵连速度相对速度相对速度 此即为速度合成定理（此即为速度合成定理（theorem for composition of velocities），即动点的绝对速度等于其牵连速度与相对），即动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。速度的矢量和。 由于没有对绝对运动和相对

12、运动轨迹形状作任何限制，由于没有对绝对运动和相对运动轨迹形状作任何限制，也没有对牵连运动为何种刚体运动作限制，因此本定理对也没有对牵连运动为何种刚体运动作限制，因此本定理对各种运动都是适用的。各种运动都是适用的。 TSINGHUA UNIVERSITY 牵连运动与牵连速度牵连运动是刚牵连运动与牵连速度牵连运动是刚体体( (动系动系) )的运动；牵连速度是刚体上一点的运动；牵连速度是刚体上一点( (与动点相重合的点与动点相重合的点) )的速度。的速度。 速度合成定理为平面矢量式，由此可速度合成定理为平面矢量式，由此可以写出两个分量式，用于求解两个未知量。以写出两个分量式，用于求解两个未知量。 关

13、于速度合成定理的讨论关于速度合成定理的讨论 铰接四边形铰接四边形 O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆杆O1A以等角速度以等角速度 =2rad/s绕轴绕轴O1转动。转动。 AB杆上有一套筒杆上有一套筒C，此，此套筒与杆套筒与杆CD相铰接，机构的各相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平面内。部件都在同一铅垂平面内。 试求试求:当当 =60时，时，CD杆杆的速度。的速度。绝对运动：上下直线运动；绝对运动：上下直线运动；相对运动：沿相对运动：沿AB直线运动；直线运动；牵连运动：铅垂平面内曲线牵连运动：铅垂平面内曲线 平移。平移。 解：解：1. 运动分析运动分析动点：动点：CD上的上的C点点；

14、动系：固连于；动系：固连于AB杆。杆。x y 解：解：2.2.速度分析速度分析 ve=vA=O1A =0.2m/s, vr 方向沿方向沿BA； va方向铅垂向上。式中只有方向铅垂向上。式中只有vr 、va两者两者大小未知，由平行四边形法则求得：大小未知，由平行四边形法则求得：ve垂直垂直O1A；x y vCD=va=vecos = 0.1m/s ,方向如图中所示。方向如图中所示。 O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆，杆O1A以等角速度以等角速度 =2rad/s绕轴绕轴O1转动。转动。 VavrveTSINGHUA UNIVERSITY 解：解：3. 讨论讨论 如果如果vr的方向假

15、设与图示方的方向假设与图示方向相反，则无法用平行四边形向相反，则无法用平行四边形法则确定法则确定va 。这时，需向与未。这时，需向与未知矢量知矢量vr垂直方向投影，以确垂直方向投影，以确定定va 。这种方法称为矢量投影。这种方法称为矢量投影法。法。x y 采用矢量投影法求解速度合成定理的矢量方程，采用矢量投影法求解速度合成定理的矢量方程，是最一般的方法，这时速度的方向即使假设错了，也是最一般的方法，这时速度的方向即使假设错了，也能求得到正确的解答。能求得到正确的解答。 Vavrveva =ve+ vr 讨论讨论 试求试求:当当 = 60时小环时小环P 的速度。的速度。 直角弯杆直角弯杆OBC以

16、匀角速以匀角速度度=0.5rad/s，绕绕O轴转动，轴转动，使套在其上的小环使套在其上的小环P沿固定直沿固定直杆杆OA滑动；滑动；OB=0.1m，OB垂垂直直BC。 解：解： 1. 运动分析运动分析 动点：小环动点：小环P； 动系：固连于动系：固连于OBC；绝对运动：沿绝对运动：沿OA固定直线；固定直线；相对运动：沿相对运动：沿BC杆直线；杆直线；牵连运动：绕牵连运动：绕O定轴转动。定轴转动。 y x y x 解解 :2. 速度分析速度分析其中其中 va、ve、vr方向如图；方向如图； ve =OP =0.20.5=0.1m/s于是式中只有于是式中只有va、vr二者大小未二者大小未知。从而由速

17、度平行四边形解得知。从而由速度平行四边形解得小环小环P 的速度的速度 va =ve+ vra30.173m/sevv此外，还可求得此外，还可求得vr=2 ve=0.2m/s vrveva 直角弯杆直角弯杆OBC以匀角速度以匀角速度=0.5rad/s绕绕O轴转动，使套轴转动，使套在其上的小环在其上的小环P沿固定直杆沿固定直杆OA滑动；滑动；OB=0.1m，OB垂直垂直BC。 = 60 300TSINGHUA UNIVERSITY 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理 点的合成运动中，加速度之间的关系比较点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂，因此，我们由简单到复

18、杂，先分析动复杂，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的情形。即先研究牵连运动为平动系作平移的情形。即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动时的加速度合成定理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定理。为转动时的加速度合成定理。 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理 设设Oxyz为平移参考为平移参考系，由于系，由于x、y、z各轴各轴方向不变，可使与定坐标方向不变，可使与定坐标轴轴x、y、z分别平行。分别平行。 kjiv zyxrkjia zyx r 如果动点如果动点M相对于动系的相对坐标为相对于动系的相对坐标为 x 、y 、z ，由于由

19、于 i 、j 、k 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M的相对速度和相对加速度为的相对速度和相对加速度为 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理利用点的速度合成定理利用点的速度合成定理 以及因为牵连运动为平移以及因为牵连运动为平移而得到的而得到的 reavvvevvOkjivv zyxOakjiv zyxrkjia zyx r 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理kjivv zyxOa 两边对时间求导，并注两边对时间求导，并注意到因动系平移意到因动系平移 ，故，故i i 、j j 、k k 为常矢量，于

20、是得到为常矢量，于是得到kjiva zyxO aeaaOOO av 又由于动系平移，故又由于动系平移，故 reaaaareaaaa 这就是这就是牵连运动为平移时点的加速度合成定牵连运动为平移时点的加速度合成定理：理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。的矢量和。 牵连运动为平移时点的加速度合成定理牵连运动为平移时点的加速度合成定理 铰接四边形铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆，杆O1A以等角速以等角速度度 =2rad/s绕轴绕轴O1转动转

21、动。 AB杆上有一套筒杆上有一套筒C，此，此套筒与杆套筒与杆CD相铰接，机构相铰接，机构的各部件都在同一铅垂平的各部件都在同一铅垂平面内。面内。 试求试求:当当 =60时，时，CD杆的加速度。杆的加速度。绝对运动：上下直线运动；绝对运动：上下直线运动；相对运动：沿相对运动：沿AB直线运动；直线运动；牵连运动：铅垂平面内曲线牵连运动：铅垂平面内曲线 平移。平移。 x y 解：解：1. 运动分析运动分析动点：动点：CD上的上的C点点；动系：固连于；动系：固连于AB杆。杆。xy 解：解：2.2.加速度分析：加速度分析：reaaaa 其中由于动系作平移，故动其中由于动系作平移，故动系系AB杆上各点的加

22、速度相同，杆上各点的加速度相同，因此动系因此动系AB杆上与动点套筒杆上与动点套筒C相重合点相重合点C1（图中未示出）的（图中未示出）的加速度即牵连加速度：加速度即牵连加速度： ae = aA , aA=O1A2=0.4 m/s2 由平行四边形法则，得由平行四边形法则，得 m/s346. 0sine aaaaCD ae ar aa O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆，杆O1A以以=2rad/s绕轴绕轴O1转动。转动。试求试求: =60时，时，CD杆的加速度。杆的加速度。 动点动点: CD上的上的C点点；动系：固连于；动系：固连于AB杆。杆。例：凸轮的半径例：凸轮的半径R=100mm

23、，平移速度，平移速度 v = 600 m/s，加速度，加速度a = 450mm/s2，=60，求瞬时导杆求瞬时导杆AB的速度和加速度的速度和加速度解：动点为导杆上的解：动点为导杆上的A点，动系为凸论。点，动系为凸论。绝对运动：上下直线运动；绝对运动：上下直线运动；相对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：凸轮平移。牵连运动：凸轮平移。 作速度矢量合成图。作速度矢量合成图。reaVVV smmvvsmmvveae/34660cot600cot,/600 smmvver/69360sin/600sin/ Bvevrva凸轮的半径凸轮的半径R=100mm，平移速度，平移速度 v = 600

24、m/s，加速度，加速度a = 450mm/s2，=60，求：瞬时导杆求：瞬时导杆AB的速度和加速度的速度和加速度作加速度矢量合成图。相对加速度的切作加速度矢量合成图。相对加速度的切向分量为向分量为atr ，方向在切线，指向假设。，方向在切线，指向假设。法向分量为法向分量为anr，方向指向方向指向O 点。点。nrtreaaaaa Rvarnr2 等式两边在等式两边在n方向上投影：方向上投影：nreaaaa 60cos60sin222/29. 560sin)100693(60cos45060sin)(60cossmRvaarea smmvsmmaare/,/6934502 BatranraenTS

25、INGHUA UNIVERSITY 牵连运动为转动时点的加速度牵连运动为转动时点的加速度 合成定理合成定理 科氏加速度科氏加速度返回返回第第5章章 点的复合运动分析点的复合运动分析 当牵连运动为转动时，加速度合成当牵连运动为转动时，加速度合成定理与牵连运动为平移时所得到的结果定理与牵连运动为平移时所得到的结果是不相同的。是不相同的。TSINGHUA UNIVERSITY 牵连运动为转动时点的牵连运动为转动时点的加速度合成定理加速度合成定理 科氏加速度科氏加速度 若以若以P为动点，圆盘为动为动点，圆盘为动系，验证牵连运动为平移时所系，验证牵连运动为平移时所得到的加速度合成定理能不能得到的加速度合

26、成定理能不能成立。成立。 以图示的以等角速度以图示的以等角速度 绕绕轴轴O 转动的圆盘为例。圆盘转动的圆盘为例。圆盘半径为半径为R。在邻近其边缘的上。在邻近其边缘的上方，静止地悬挂一个小球方，静止地悬挂一个小球P。绝对运动：静止，故绝对运动：静止，故动点的动点的绝对绝对加速度加速度 0aa 牵连运动：绕牵连运动：绕O轴作定轴转动；轴作定轴转动； 相对运动：以点相对运动：以点O为圆心、为圆心、R为半径，为半径，与盘上重合点反向的等速圆周运动。与盘上重合点反向的等速圆周运动。牵连加速度的大小牵连加速度的大小 相对加速度的大小相对加速度的大小 2eRa 方向指向圆盘中心方向指向圆盘中心O 2rRa

27、方向也指向圆盘中心方向也指向圆盘中心O 牵连加速度与相对加速度牵连加速度与相对加速度的矢量和的矢量和222era20aannnaRRRP P点的运动分析点的运动分析TSINGHUA UNIVERSITY 牵连运动为转动时点的牵连运动为转动时点的加速度合成定理加速度合成定理 科氏加速度科氏加速度 这表明牵连运动为平移时这表明牵连运动为平移时所得到的加速度合成定理，对所得到的加速度合成定理，对于牵连运动为转动的情形，不于牵连运动为转动的情形，不再成立。再成立。 222era20aannnaRRRTSINGHUA UNIVERSITY不正确的分析思路所得到的是不正确的结论不正确的分析思路所得到的是不

28、正确的结论reavvv将速度合成定理等号两侧分别对时间将速度合成定理等号两侧分别对时间 t 求一次绝对导数求一次绝对导数tttddddddreavvvreaaaaaaddavteeddavtrrddavt当牵连运动为转动时当牵连运动为转动时 牵连运动为转动时点的牵连运动为转动时点的加速度合成定理加速度合成定理 科氏加速度科氏加速度牵连运动为转动的加速度合成定理牵连运动为转动的加速度合成定理 当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。科氏加速度的矢量和。

29、Creaaaaarrea2vaaa 是动系的角速度矢量是动系的角速度矢量TSINGHUA UNIVERSITYtttddddddreavvvrrrddvavtreeddvavtrrea2vaaa 牵连运动为转动时点的牵连运动为转动时点的加速度合成定理加速度合成定理 科氏加速度科氏加速度牵连运动为转动时加速度合成定理的证明牵连运动为转动时加速度合成定理的证明 设动系设动系Oxyz以角速度矢以角速度矢 绕绕定轴定轴Oz（Oxyz为定系）转动，角为定系）转动，角加速度矢为加速度矢为 。动点。动点P 的相对矢的相对矢径、相对速度和相对加速度可以径、相对速度和相对加速度可以表示为表示为 kjir zyx

30、kjiv zyxrkjia zyx rvr rvv1eP 设动点设动点P 瞬时重合点为瞬时重合点为P1，利用速，利用速度矢量与角速度矢量之间的关系式度矢量与角速度矢量之间的关系式 kjir zyxkjiv zyxrkjia zyx r则动点则动点P 的牵连速度，即瞬时重合点的牵连速度，即瞬时重合点P1的速度为的速度为 加速度矢量与角速度矢量和加速度矢量与角速度矢量和角加速度矢量之间的关系式角加速度矢量之间的关系式 则动点则动点P的牵连加速度，即的牵连加速度，即瞬时重合点瞬时重合点P1的加速度为的加速度为 e1evraaPPPPvrarvv1eP应用速度合成定理，有应用速度合成定理，有 aerv

31、 = v + v =r+i +j +kxyz 将其对时间将其对时间 t 求一次导数，得到求一次导数，得到 aaxyzxyz av r rijkijkkjiv zyxraer,rvvv ri +j +k = axyz 利用泊松公式利用泊松公式 2ddPt j jv3ddkkvPt 1ddPt i ivaaxyzxyz av r rijkijkaer,rvvv ri +j +k = axyz 2ddPt j j v3ddkk vPt 1ddPt ii vrxyzxyzxyz ijk i j kijk v上式中上式中: : aerrarvav=+2 CreaaaaarC2vaaC 称为科氏加速度（称

32、为科氏加速度（Coriolis acceleration）。）。 牵连运动为转动的加速度合成定理牵连运动为转动的加速度合成定理 当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。度与科氏加速度的矢量和。 Creaaaaa 可以证明，当牵连运动为任意运动时，上可以证明，当牵连运动为任意运动时，上式都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式。当牵连运动为平移时，式。当牵连运动为平移时， 0，aC=0.aera = a + a 试求试

33、求:当当 = 60时小环时小环P 的加速度。的加速度。 直角弯杆直角弯杆OBC以匀角速以匀角速度度=0.5rad/s，绕绕O轴转动，轴转动，使套在其上的小环使套在其上的小环P沿固定直沿固定直杆杆OA滑动；滑动；OB=0.1m，OB垂垂直直BC。 1. 运动分析运动分析 动点：小环动点：小环P； 动系：固连于动系：固连于OBC；绝对运动：沿绝对运动：沿OA固定直线；固定直线；相对运动：沿相对运动：沿BC杆直线；杆直线；牵连运动：绕牵连运动：绕O定轴转动。定轴转动。 y x 解：解： 此例条件与前面例题相同，运动分析以及速度分析此例条件与前面例题相同，运动分析以及速度分析 vr=0.2 m/s 2

34、. 2.加速度分析：加速度分析： 绝对加速度为绝对加速度为aa，方向假设向右；，方向假设向右；相对加速度为相对加速度为ar，假设方向指向，假设方向指向B点；点；牵连加速度为牵连加速度为ane，方向指旋转轴，方向指旋转轴O。 解：解：前面例题中已经求得小环前面例题中已经求得小环的相对速度为的相对速度为 科氏加速度为科氏加速度为aC， 方向垂直于方向垂直于vr。2r2 0 .20 .5 r a d /s0 .2 m /s0 .0 5 m /sCa v 应用加速度合成定理应用加速度合成定理Crneaaaaa2n22e0.2m0.5rad/s0.05m/saOP2r20 .20 .5 ra d /s

35、0 .2 m /s 0 .0 5 m /sCav 2n22e0 . 2 m 0 . 5 r a d / s 0 . 0 5 m / sa O P 2r20 . 2 0 . 5 r a d / s 0 . 2 m / s 0 . 0 5 m / sCav 利用例题中已经求得小环的相对速度利用例题中已经求得小环的相对速度 vr=0.2 m/s 应用加速度合成定理应用加速度合成定理Crneaaaaa 将等号两边各项向矢量将等号两边各项向矢量aC方向上投影，得到方向上投影，得到naeC0.50.5aaa 2. 2.加速度分析：加速度分析： 2n22e0.2m0.5rad/s0.05m/saOP2a0

36、35m/s.Paa 方向与图设一致。方向与图设一致。2r2 0 .20 .5 r a d /s0 .2 m /s0 .0 5 m /sCa v 2r20 .20 .5 ra d /s 0 .2 m /s 0 .0 5 m /sCav 2n22e0 . 2 m 0 . 5 r a d / s 0 . 0 5 m / sa O P 2r20 . 2 0 . 5 r a d / s 0 . 2 m / s 0 . 0 5 m / sCav 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 ane和和aC的方向不能假设：的方向不能假设： ane是根据牵连运动为等速是根据牵连运动为等

37、速转动确定；转动确定； aC则是根据科氏加速度的定义则是根据科氏加速度的定义rC2va 由右手螺旋定则确定，即：四指指向与矢量由右手螺旋定则确定，即：四指指向与矢量方向一方向一致，握拳四指指向与矢量致，握拳四指指向与矢量vr方向一致，则拇指指向即为方向一致，则拇指指向即为aC的正方向。的正方向。 本例的加速度分析中，本例的加速度分析中， aa和和ar的方向是假设的；的方向是假设的； 图示之机构，图示之机构，O1A 杆以杆以匀角速度匀角速度 1 转动转动，轮轮A半径半径为为r，与，与O1A 在在A处铰接。处铰接。O1A=2r，O2B 始终与轮始终与轮A 接触接触。图示瞬时，。图示瞬时，=60，=

38、30。求求: 图示瞬时图示瞬时O2B的角速度的角速度 2、角加角加速度速度 2。 解：解：动点：杆动点：杆O1A上上A点；点；动系：固连于动系：固连于O2B杆；杆；绝对运动：以绝对运动：以O1为圆心的圆周运动；为圆心的圆周运动；相对运动：与相对运动：与O2B平行的直线运动；平行的直线运动；牵连运动：绕牵连运动：绕O2轴定轴转动。轴定轴转动。 x y reavvv其中，其中，va垂直于垂直于O1A，其值为，其值为 a12vrve垂直于垂直于O2A，大小未知；，大小未知； vr平行于平行于O2B，大小未知。，大小未知。vr vevareavvvva垂直于垂直于O1A，其值为，其值为 a12vrve

39、垂直于垂直于O2A，大小未知；，大小未知； vr平行于平行于O2B，大小未知。，大小未知。1e2332rvx y 应用平行四边形法则解得应用平行四边形法则解得: O1A 杆以匀角速度杆以匀角速度1 转动转动，轮轮A半径为半径为r，与，与O1A 在在A处铰接。处铰接。O1A=2r，O2B 始终与轮始终与轮A 接触。接触。 =60 ， =30 。1are33233rvvv 30 30 绝对运动：以绝对运动：以O1为圆心的为圆心的等速等速圆周运动；圆周运动；所以只有法向绝对加所以只有法向绝对加速度为速度为ana，方向指向，方向指向O1； 相对运动：与相对运动：与O2B平行的直平行的直线运动；相对加速

40、度为线运动；相对加速度为ar，假设方向向左；假设方向向左；x y 牵连运动：绕牵连运动：绕O2轴定轴转动。不是等轴定轴转动。不是等速转动，所以有法向牵连加速度为速转动，所以有法向牵连加速度为 ane 方向指旋转轴方向指旋转轴 O2; 切向牵连加速度为切向牵连加速度为 ate，其指向可以先假设。，其指向可以先假设。应用加速度合成定理应用加速度合成定理: 其中，其中，ana 沿沿AO1方向，其值为方向，其值为 21na2raCrtenenaaaaaaaa应用加速度合成定理应用加速度合成定理 其中，其中，ana沿沿AO1方向，其值为方向，其值为 a ne沿沿AO2方向，其值为方向，其值为21na2r

41、aa te垂直于垂直于AO2方向，大小未知；方向，大小未知；a r平行于平行于O2B方向，大小未知；方向，大小未知；aC 垂直于垂直于a r，其值为，其值为:21r2C342rvax y nea222AO21)33(2 r2132rCrtenenaaaaaaaa21na2raCrtenenaaaaaaaa21te918310ra21te299352rax y Ctenena30cos60cos30cosaaaa 将加速度合成矢量方程等号两边各项向将加速度合成矢量方程等号两边各项向矢量矢量aC方向上投影，得到方向上投影，得到21r2C342rvanea222AO21)33(2 r2132r 4.

42、讨论讨论 那么，为什么不可以选轮那么，为什么不可以选轮A与与O2B杆接触点为动点呢？杆接触点为动点呢？这是因为轮这是因为轮A与与O2B杆接触点是变化的，二者相对轨迹不杆接触点是变化的，二者相对轨迹不明确。明确。 本题选本题选A为动点后，为动点后，O1A杆和轮杆和轮A均不能选作动系，所以选均不能选作动系，所以选O2B杆为杆为动系。动系。 此时因轮此时因轮A与与O2B保持接触，即保持接触，即A点运动过程中与动系上点运动过程中与动系上O2B直线保直线保持距离为持距离为r，故，故A点相对直线点相对直线O2B（动系）作平行直线运动，使动系）作平行直线运动，使vr、ar方方向已知，便于求解。向已知，便于求

43、解。 4. 4.讨论讨论x y 本题的另一难点是确定本题的另一难点是确定动点动点A与动系（固连于与动系（固连于O2B后后为无限大坐标平面）的重合为无限大坐标平面）的重合点，点， 从而根据定轴转动刚体从而根据定轴转动刚体上点的速度、加速度性质确上点的速度、加速度性质确定定ve、ane、ate方向。方向。 ate 的指向如果一时不能确定，可以的指向如果一时不能确定，可以先假设，如果计算结果为正，说明假设先假设，如果计算结果为正，说明假设方向正确；如果计算结果为负，说明实方向正确；如果计算结果为负，说明实际方向与假设方向相反。际方向与假设方向相反。 O1A 杆以杆以匀角速度匀角速度 1=2rad/s

44、 转转动动， O1A=r=200mm.。求图示求图示CD的速度和的速度和加速度加速度。解：动点：滑块解：动点：滑块A 动系：动系： 固结于固结于O2B11221r3sin60vv,rcos60vvAaArAaAe 111Aa rAOv 1=2rad/s O1A=r=200mm。求求CD的速度和加速度的速度和加速度。动点：滑块动点：滑块B 动系：动系： 固结于固结于CD122412rvAOvAeAe )/(325. 065. 0cos302BeBesmvvvCD 222Ba30cos65. 0 BOv1AaAr1AaAe23sin6021cos60rvvrvv cos30BaBevv O1A 杆

45、以杆以匀角速度匀角速度 1=2rad/s 转动转动， O1A=r=200mm.。求图示求图示CD加速度加速度。解：动点：滑块解：动点：滑块A 动系：动系： O2BCArAteAneAACArAeaaaaaaaaa 沿着沿着O1A，指向指向O1； aAr : 大小未知大小未知，沿着，沿着O2B，沿着沿着O2A， 指向指向O2； aAet = (O2A) 2， 2 为未知，垂直于为未知，垂直于O2A，指向指向未知未知，假设指向左上；，假设指向左上； aAC : 垂直于垂直于O2B，指向左上指向左上222nAeAOa 21Aara 在在X方向上投影方向上投影CArAteAneAACArAeaaaaa

46、aaaa 212432 rvaArC CAAeaAaacos30a t2143 ratAe 212283 AOatAe在在X方向上投影方向上投影CArAteAneAnAaaaaaaaa 21Aara 2143 raC 动点：滑块动点：滑块B 动系：动系： 固结于固结于CD aBr : 大小未知大小未知，沿着，沿着CB， aBat = (O2B) 2， 垂直垂直于于O2B，222 BOanBa沿着沿着O2B， 指向指向O2；在水平方向上投影在水平方向上投影BenBatBaacosacosa 6030)s/m(.aaCDBe26570 aBe : 大小未知大小未知，沿着水平，沿着水平，rBeBnB

47、atBaaBaaaaa TSINGHUA UNIVERSITY 结论与讨论结论与讨论第第5章章 点的复合运动分析点的复合运动分析 本章核心内容是运动分析、速度分析本章核心内容是运动分析、速度分析和加速度分析。和加速度分析。TSINGHUA UNIVERSITY 结论与讨论结论与讨论 恰当选取动点、动系和定系恰当选取动点、动系和定系 正确正确分析三种运动分析三种运动 正确正确分析速度和加速度分析速度和加速度 速度合成定理和加速度合成定理速度合成定理和加速度合成定理 的一般形式的一般形式 。 正确认识运动的相对性正确认识运动的相对性 TSINGHUA UNIVERSITY 结论与讨论结论与讨论 正

48、确认识运动的相对性正确认识运动的相对性 运动分析、速度与加速度分析中要特别注意运动分析、速度与加速度分析中要特别注意运动的相对性，也就是对于不同的参考系，有不运动的相对性，也就是对于不同的参考系，有不同的运动方程、速度和加速度。同的运动方程、速度和加速度。 正确认识运动的相对性正确认识运动的相对性 结论与讨论结论与讨论 正确认识运动的相对性正确认识运动的相对性 结论与讨论结论与讨论 正确认识运动的相对性正确认识运动的相对性 所选的参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和所选的参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。牵连运动。 动点和动系间必须有相对运动，即动点和动系间必须有相对运动，

49、即动点和动系不能选动点和动系不能选在同一个物体上在同一个物体上。当然，动点也不能取动系上的点；。当然，动点也不能取动系上的点； 定系一般不作说明时指固连于地球上。定系一般不作说明时指固连于地球上。 为了便于求解，为了便于求解，动点与动系的选择应使相对运动轨迹动点与动系的选择应使相对运动轨迹简单或直观简单或直观以使未知量尽可能少。以使未知量尽可能少。 恰当选取动点、动系和定系恰当选取动点、动系和定系 选择动点、动系时选择动点、动系时,一般要求相对运动轨迹简单或直观，一般要求相对运动轨迹简单或直观，目的是希望目的是希望vr、anr、a tr方向已知方向已知,使未知量尽可能少，以便使未知量尽可能少，

50、以便于求解。动点、动系选择恰当时，对平面问题，若未知要素于求解。动点、动系选择恰当时，对平面问题，若未知要素超过两个（对空间问题，未知要素若超过三个），一般应寻超过两个（对空间问题，未知要素若超过三个），一般应寻求补充方程求解。求补充方程求解。 结论与讨论结论与讨论 恰当选取动点、动系和定系恰当选取动点、动系和定系 结论与讨论结论与讨论 恰当选取动点、动系和定系恰当选取动点、动系和定系 结论与讨论结论与讨论 恰当选取动点、动系和定系恰当选取动点、动系和定系 结论与讨论结论与讨论 恰当选取动点、动系和定系恰当选取动点、动系和定系 TSINGHUA UNIVERSITY 绝对运动指点的运动（直线运

51、动、圆周运动或绝对运动指点的运动（直线运动、圆周运动或其它某种曲线运动）；其它某种曲线运动）； 相对运动也是指点的运动（直线运动、圆周相对运动也是指点的运动（直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动），正确判断的要领是运动或其他某种曲线运动），正确判断的要领是观察者在动系上观察时，动点作何种曲线运动；观察者在动系上观察时，动点作何种曲线运动； 牵连运动是指动系（所固连的刚体）的运动（牵连运动是指动系（所固连的刚体）的运动（平移、定轴转动或其它某种形式刚体运动）。平移、定轴转动或其它某种形式刚体运动）。 需要注意的是，不要将点的运动与刚体的运需要注意的是，不要将点的运动与刚体的运动概念相混。动概念相

52、混。 正确正确分析三种运动分析三种运动 一般绝对速度概念容易理解掌握；至于相对速度、相一般绝对速度概念容易理解掌握；至于相对速度、相对加速度分析之关键在于相对运动轨迹的判断；而牵连速度对加速度分析之关键在于相对运动轨迹的判断；而牵连速度、牵连加速度完全是新概念，它与牵连运动有联系又有明显、牵连加速度完全是新概念，它与牵连运动有联系又有明显区别。区别。 牵连运动是动系（刚体）的运动，而牵连速度和牵连牵连运动是动系（刚体）的运动，而牵连速度和牵连加速度分别是动系上牵连点（与动点重合点）的（绝对）速加速度分别是动系上牵连点（与动点重合点）的（绝对）速度和（绝对）加速度。度和（绝对）加速度。要注意动点

53、与牵连点的联系与区别。要注意动点与牵连点的联系与区别。另外，当动系含转动时，若另外，当动系含转动时，若 r0v 则存在科氏加速度。则存在科氏加速度。 正确正确分析速度和加速度分析速度和加速度 速度合成定理和加速度合成定理的一般形式速度合成定理和加速度合成定理的一般形式 点的速度合成定理的一般形式点的速度合成定理的一般形式 reavvv点的加速度合成定理一般可写成如下形式点的加速度合成定理一般可写成如下形式 ntntntaaeerrCaaaaaaa 上述矢量方程中每一项都有大小和方向两个要素，必上述矢量方程中每一项都有大小和方向两个要素，必须认真分析每一项，才能正确地解决问题。平面问题中，须认真

54、分析每一项，才能正确地解决问题。平面问题中，一个矢量方程相当于两个代数方程，一般均能求两个未知一个矢量方程相当于两个代数方程，一般均能求两个未知量。量。 加速度合成定理的矢量方程中，各项加速度合成定理的矢量方程中，各项法向加速度法向加速度的方向的方向总是指向相应曲线的曲率中心，它们的总是指向相应曲线的曲率中心，它们的大小大小总是可以根据相总是可以根据相应的应的速度大小和曲率半径速度大小和曲率半径求出。求出。 因此在应用加速度合成定理时，一般应在运动分析的基因此在应用加速度合成定理时，一般应在运动分析的基础上，先进行速度分析，这样各项法向加速度都是已知量。础上，先进行速度分析，这样各项法向加速度

55、都是已知量。ntntntaaeerrCaaaaaaa 科氏加速度科氏加速度aC的大小和方向两个要素也是已知的。的大小和方向两个要素也是已知的。 在加速度合成定理中，只有三项切向加速度的六个要在加速度合成定理中，只有三项切向加速度的六个要素可能是待求量，若已知其中的四个要素，则余下的两个素可能是待求量，若已知其中的四个要素，则余下的两个要素就可以完全确定。一般方法是先要素就可以完全确定。一般方法是先将矢量方程中的各矢将矢量方程中的各矢量向两个未知要素之一的垂直方向投影。量向两个未知要素之一的垂直方向投影。 曲柄曲柄 OA=150 mm，以匀角速度角速度= 2rad/s, 绕轴绕轴O转动。转动。

56、杆杆BC与杆与杆DE平行且相等，平行且相等，BC=DE=300 mm, =30 ，=60 。 求求: 滑块滑块A相对于杆相对于杆C E的速度和的速度和杆杆BC的角速度。的角速度。 解：解：1. 运动分析运动分析动点：动点：OA上的上的A点点；动系：固连于动系：固连于CE杆。杆。绝对运动：圆周运动；相对运动：绝对运动：圆周运动；相对运动：沿沿CE杆运动；牵连运动：铅垂平杆运动；牵连运动：铅垂平面内曲线平移。面内曲线平移。 作速度矢量合成图。作速度矢量合成图。reaVVV smmOAva/3002150 曲柄曲柄 OA=150 mm，以匀角速度，以匀角速度= 2rad/s, 绕轴绕轴O转动。转动。

57、 杆杆BC与与杆杆DE平行且相等，平行且相等，BC=DE=300 mm, =30 ，=60 。 求求: 滑块滑块A相对于杆相对于杆C E的速度的速度和杆和杆BC的角速度。的角速度。smmvvsmmvvsmmOAvaraea/sin/tan/600303300603002150 sradBCvBCvBCvveCBCBCCe/33003300 60 曲柄滑块机构曲柄滑块机构,OA=100mm，瞬时杆，瞬时杆OA的角的角速度速度=1rad/s, 角加速度角加速度 = 1rad/s2 绕轴绕轴O转动转动。 OA杆上有一滑块杆上有一滑块A，滑块，滑块A与杆与杆AB连接。连接。BC杆上杆上C点的速度点的速

58、度 解：解：1. 运动分析运动分析动点：动点：OA上的上的A点点；动系：固连于；动系：固连于BC杆。杆。绝对运动：圆周运动；相对运动：沿绝对运动：圆周运动；相对运动：沿AB杆杆直线；牵连运动：导杆直线；牵连运动：导杆BC上下平移。上下平移。 作速度矢量合成图。作速度矢量合成图。reaVVV smmvvsmmvvsmmOAvaraea/35030cos/5030sin/1001100 smmvveC/50 求求: 图示时，图示时，BC杆上杆上C点的速度点的速度, 加速度加速度,滑块滑块A相对于导杆相对于导杆BC 的速度和加速度。的速度和加速度。 30作加速度矢量合成图。作加速度矢量合成图。) 1

59、 (renataaaaa OA=100mm，瞬时杆，瞬时杆OA的角速度的角速度=1rad/s, 角加速度角加速度 = 1rad/s2 。222/100/100smmOAasmmOAatana 将（将（1）式在水平方向投影，得：）式在水平方向投影，得：2/6 .36,30cos30sinsmmaaaarrtana 将（将（1）式在垂直方向投影，得：）式在垂直方向投影，得：2/6 .136,30sin30cossmmaaaaeetana BC杆上杆上C点的加速度点的加速度26136smmaaeC/. 30 已知：火车已知：火车(P)沿子午线沿子午线自南向北以等速自南向北以等速vr行驶。地行驶。地球

60、半径为球半径为R。 求：火车在北纬求：火车在北纬 o时的时的绝对加速度。绝对加速度。北北vryxzz x y 解：解：1. 选择定系、动系、选择定系、动系、 动点动点定系地心系定系地心系Oxyz动系地球球体动系地球球体O x y z 动点火车动点火车P解：解：2. 分析运动分析运动绝对运动空间曲线运动；绝对运动空间曲线运动；相对运动沿着子午线的相对运动沿着子午线的 等速圆周运动；等速圆周运动；牵连运动地球绕牵连运动地球绕Oz 轴轴 作定轴转动。作定轴转动。北北yxzz x y aearaC解：解：3. 分析加速度分析加速度 绝对加速度绝对加速度aa :所要求的所要求的未知量；未知量；相对加速度