图形折叠问题

1、 图形折叠问题图形折叠问题在一张长方形在一张长方形ABCDABCD纸片纸片中，中，ADAD25cm, AB25cm, AB20cm20cm 点点E E，F F分别为分别为CDCD，ABAB的中点，现将这张纸的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求片按图示方式折叠，求DAH的大小及的大小及EGEG的长。的长。（浙教版九下（浙教版九下P17题题6）BCE FHGAD2010203030303031031025 二二 解决翻折问题解决翻折问题 我们把翻折问题分为两类：我们把翻折问题分为两类：“依点翻折依点翻折”和和“依线翻折依线翻折”。一一 认识翻折问题认识翻折问题 1.关注关注“两点一线两点一线”

2、在翻折过程中，我们应关注在翻折过程中，我们应关注“两点两点”，即，即对称点对称点，思考，思考自问自问“哪两个点是对称点哪两个点是对称点?” ；还应关注；还应关注“一线一线”，即折线，即折线，也就是，也就是对称轴对称轴。这是解决问题的基础。这是解决问题的基础。 2. 联想到重合与相等联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等重合的线段相等,重合的角相等重合的角相等”，这是解决问题的关键，这是解决问题的关键。图形的翻折是图形的运动形式之一图形的翻折是图形的运动形式之一 例例1.将矩形将矩形ABCD纸对折，设折痕为纸对折，设折痕为EF，再把，再把B点

3、折点折到折痕线到折痕线EF上（见图点上（见图点B），若），若 ，则，则EB=_ 3AB B AB G D C E F3303030232323例例2、有一个数学活动，其具体操作过程是：有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：第一步：对折矩形纸片对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把纸片展开（，把纸片展开（如图如图1）；）；第二步：第二步：再一次折叠纸片，使点再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经过点上，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段，同时得到线段BN（如图（如图2）请解答以下问题：（请解答以下问题：（1）如图）如图2，若

4、延长，若延长MN交交BC于于P，BMP是什么三角形？是什么三角形？请证明你的结论请证明你的结论图图1图图2p（1）BMP是等边三角形是等边三角形 证明：连结证明：连结AN, EF垂直平分垂直平分AB AN BN.由折叠知由折叠知 :AB BNAN AB BN ABN为等边三角形为等边三角形ABN 60 PBN 30 又又ABM NBM 30，BNM A 90 BPN 60,MBP MBN PBN 60BMP 60MBP BMP BPM 60BMP为等边三角为等边三角形形 306030例例2、（2）在图）在图2中，若中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸满足什么关系，才能在矩形纸

5、片片ABCD上剪出符合（上剪出符合（1）中结论的三角形纸片）中结论的三角形纸片BMP ？图图1图图2p。样的等边时，在矩形上能剪出这当中，在，则上剪出等边要在矩形纸片BMPbabaabaBPPBNaBABNBNPRtBPBCBMPABCD23,23,30cos,30cos,30,)2(000aba332（3）设矩形）设矩形ABCD的边的边AB2，BC4，并建立如图，并建立如图3所示的直所示的直角坐标系角坐标系. 设直线设直线BM/为为y=kx，当当M/BC60时，求时，求k的值的值.此时，将此时，将ABM沿沿BM折叠，折叠，点点A是否落在是否落在EF上（上（E、F分别分别为为AB、CD中点）？

6、为什么？中点）？为什么？例例2、第一步：第一步：对折矩形纸片对折矩形纸片ABCD，使，使AD与与BC重合，得到折痕重合，得到折痕EF，把纸片展，把纸片展开（如图开（如图1）；）；第二步：第二步：再一次折叠纸片，使点再一次折叠纸片，使点A落在落在EF上，并使折痕经过点上，并使折痕经过点B，得到折痕，得到折痕BM，同时得到线段，同时得到线段BN（如图（如图2）图图1图图2图图3A/H上。落在），（，中，在，。于，交作过，内的点为落在矩形折叠后，点沿设中，得。代入中，在EFAABHBAHABHARtMBAMBHBHAABBAMABMBAMABBHAHBCBCHAAAABCDAMBMABkkxyMMA

7、ABMAMABAMABRtMABBC3)2,332(,33230tan2,tan306090,60)3(00000001 ,3xy33030230例例3. （2007年济宁市）如图，先把一矩形年济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片纸片对折，设折痕为对折，设折痕为MN，再把，再把B点叠在折痕线上，得到点叠在折痕线上，得到ABE.过过B点折纸片使点折纸片使D点叠在直线点叠在直线AD上，得折痕上，得折痕PQ.(1)求证：求证：PBEQAB；(2)你认为你认为PBE和和BAE相似吗？如果相似给出证相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；明，如不相似请说明理由；(3)如果

8、沿直线如果沿直线EB折叠纸片，点折叠纸片，点A是否能叠在直线是否能叠在直线EC上？为什么？上？为什么？例例4.如图，长方形如图，长方形ABCD沿沿AE折叠，使折叠，使D落落在边在边BC上的上的F点处，如果点处，如果BAF=60，则，则DAE= A BCD FE根据折叠的规律：可证根据折叠的规律：可证ADE AFE,从而从而DAE=FAE =(90-60)2 = 1515601515ABCDFE透过现象看本质透过现象看本质: :折折叠叠轴轴对对称称实质实质轴对称性质：轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.2.点的对称

9、性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：由折叠可得：1.AFEAFE ADEADE2.AEAE是是DFDF的中垂的中垂线线例例5.如图，折叠长方形的一边如图，折叠长方形的一边AD，点，点D落在落在BC边的边的点点F处，已知处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求求EC的长的长分析：设分析：设EC=x,则则EF=DE=8-x .在在RtABF中，中，AF=AD=10，AB=8，所以所以BF=6，FC=4RtPOERtBPA解得解得EC=3(cm) A BCD FE8101064FCECABBF3例例6. （08 浙江宁波）如图浙江宁波

10、）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开开”纸、纸、“4开开”纸、纸、“8开开”纸、纸、“16开开”纸纸已知标准纸的短边长为已知标准纸的短边长为a .（1）如图）如图2，把这张标准纸对开得到的，把这张标准纸对开得到的“16开开”张纸按如下步骤折叠：张纸按如下步骤折叠：第一步第一步 将矩形的短边将矩形的短边AB与长边与长边AD对齐折叠，点对齐折叠，点B落在落在AD上的点上的点B处，铺平处，铺平后得折痕后得折痕AE；第二步第二步 将长边将长边AD与折痕与折痕AE对齐折叠，点对齐折叠，点D正好与点正好与点E重合，铺平后得折痕重合，铺平后得折痕AF则则AD:A

11、B的值是的值是 ，AD,AB的长分别是的长分别是 ， ABCDFEB4开开2开开8开开16开开图图1图图2a（2）“2开开”纸、纸、“4开开”纸、纸、“8开开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值2a42a412相等，比值为相等，比值为 a41a41a42a42例例7. （2007年台州市）如图，四边形年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点直角坐标系中的矩形纸片，点A在在x轴上，点轴上，点C在在y轴上，将边轴上，将边BC折

12、叠，使点折叠，使点B落在边落在边OA的点的点D处已知折痕处已知折痕 ，且且 (1)判断判断OCD与与ADE是否相似？请说明理由；是否相似？请说明理由；(2)求直线求直线CE与与x轴交点轴交点P的坐标；的坐标；43tanEDAP6X8X3X4X5510X5X5X关键是找出对称点，并画出来。例8 . 08湖州湖州已知：在矩形已知：在矩形AOBC中，中，OB=4,OA=3分别以分别以OB,OA所在直所在直线为线为x轴和轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边是边BC上的一个动点上的一个动点（不与（不与B,C重合），过重合），过F点的反比例函数点的反比例函数 的图象

13、与的图象与AC边交于边交于点点E请探索：是否存在这样的点请探索：是否存在这样的点F，使得将，使得将CEF沿沿EF对折后，对折后，C点恰好落在点恰好落在OB上？若存在，求出点上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(0)kykx（ ,3）3k(4, )4k34k43k34K例例9.在平面直角坐标系中，正方形在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为的边长为6，两边，两边OA、OC分别落在坐标轴上，点分别落在坐标轴上，点E在射线在射线BC上，且上，且BE=2CE，将，将ABE沿直线沿直线AE翻转，点翻转，点B落在点落在点B1处。处。（1）请在图中作出点）请在图中

14、作出点B1及翻转后图形及翻转后图形.0CBAyx0CBAyEB1（2）对于图）对于图1，若，若E在在BC上，求点上，求点B1的坐标。的坐标。两种情况两种情况F利用相似，列出方程求解利用相似，列出方程求解E0CBAyB1x图图1图图264a6-a46例例10. （07湖北荆门）湖北荆门）如图如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片形纸片OABC，已知，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点，点P是是OA边边上的动点上的动点(与点与点O、A不重合不重合)现现将将PAB沿沿PB翻折，得到翻折，得到PDB；再在再在OC边上选取适当的点边上选取适当的点E，将，将P

15、OE沿沿PE翻折，得到翻折，得到PFE，并使直线并使直线PD、PF重合重合(1)设设P(x，0)，E(0，y)，求，求y关关于于x的函数关系式，并求的函数关系式，并求y的最大的最大值；值；图图1解：解：(1)由已知由已知PB平分平分APD，PE平分平分OPF，且，且PD、PF重合，则重合，则BPE=90OPEAPB=90又又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPAPOBAOEAP34xyx2114(4)333xxxx y= (0 x4) 即即 xy4-x3 (2)如图如图2，若翻折后点，若翻折后点D落在落在BC边上，求过点边上，求过点P、B、E的抛的抛物线的函数关系式；物线的函

16、数关系式；图图2(2)由已知，由已知，PAB、POE均为等腰直角三角均为等腰直角三角形，可得形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3) 故该抛物线上存在两点故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件满足条件 1,0,1643.cabcabc则则 1,23,21.abc y=213122xx例例11 . 直线直线 分别与分别与x轴、轴、y轴交于轴交于B、A两点两点.把把AOB以直线以直线AB为轴翻折，点为轴翻折，点O落在平面上的点落在平面上的点C处，再把处，再把BOC以直线以直线BC为轴翻折得为轴翻折得BCE，求点，求点E的坐标的坐标.133xy由（由（1）知）知 OA1， OB ， OBA30. ABC和和ABO关于关于AB成轴对称，成轴对称， BCBO ，CBA=OBA30. CBO60. 过点过点C作作CMx轴于轴于M，如图，则在，如图，则在RtBC