摆动法测量转动惯量

1、# -山基础物理实验实验4用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1 学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2 掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解;3 学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1. 单摆如图4-1 (单摆球的质量为 m当球的半径远小于摆长I时，应用动量矩定理，在角坐 标系可得小球自由摆动的微分方程为：Sin n =0(4-1)dt I式中t为时间，g为重力加速度，I为摆长。(4-2)则(4-1 )式可简化为:令(4-3 )式的解为：dt2(4-3 )(4-4)图4-1单摆原理# -山基础物理实验# -山基础物理实验(4-5 )式中

2、 ,:由初值条件所决定。周期(4-6)2 物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2，设物理摆的质心为C,质量为M,悬点为O,绕O点在铅直面内转动的转动惯量为j0，0C距离为h，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为Jo 与MghE (4-7) dt22 Mgh令（4-8）J 0仿单摆，在二很小时，（4-7 ）式的解为：二-二 sin( ，t 亠：:£)(4-9)Mg图4-2 物理摆（复摆）(4-10)设摆体沿过质心C的转动惯量为JC，由平行轴定理可知:2J。= Jc - Mh（4-11）将（4-11 ）代入（4-10 ）可得：TcI Jc亠hT= 2

3、.： （4-12）V Mghg（4-12）式就是物理摆的自由摆动周期T和（4-13 ）式右端各参变量之间的关系。实验就是围绕（4-12 ）式而展开的。因为对任何Jc都有Jc x m，因此（4-13 ）式的T与M无关，仅与 M的分布相关。令J二Ma 2 , a称为回转半径,则有(4-13)61 -山基础物理实验# -山基础物理实验一次法测重力加速度 g山基础物理实验#由（4-12 ）式可得出2 2 4二(Jc Mh )Mh(4-14)测出（4-14 ）右端各量即可得g ;摆动周期T,用数字计时器直接测出，M可用天平称出，C点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆, 二次法测gJc可以计算

4、出。一次法测g虽然简明,但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆,Jc就难以确定，为此采用如下“二次法”当M及其分布（C点） 是有确定以后，改变 h值，作两次测T的实验,运用（4-13 ）式于2= 4：2J c Mh12J c Mh 2Mgh 22 2 2Mgh J 4. Jc 4：. Mh12 =0(4-15)2 2 2Mgh 2T2 4 J c - 4 ". Mh联立解(4-15 )、( 4-16 )式，可得出(4-16)2 22 也一h?g 二422h1T1 h2T2(4-17)这样就消去了 Jc，所以（4-17 ）测g就有着广泛的适用性。从（4-17 ）式，更可十分明确地看到

5、T与M的无关性。虽然，任意两组（m , T, ），（ h2, T2 ）实测值，都可以由（4-17 ）式算出g ;但是,对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（h ,T ）数据，使能得出最精确的 g的实测山基础物理实验67 -结果呢？为此必须研究 T （ h ）关系：将（4-12 ）式平方，于是可得出T2Jch2 -（ 4-18）4二Mghg从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：当 h趋于0时Ttr, 当h*, T亦趋于a；可见在 h的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对（4-18 ）作一次求导并令其为0;即由 工=o,可得dhJ -120（4-19）Mghg2 2Mh J -

6、二 Ma（4-20）即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h =a处所相应的T为极小值（为什么？）。（注意：体会称a为回转半径的含义）将（4-13 ）式取二次导数为研究T （ h）关系特在0.6m长的扁平摆杆上，间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔以作为O点的Hi值（i= 土 1,± 2，土 3，” ±14）于是可得出如图4-3所示的曲线。图4-3 摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系在共轭的A, B二极小T值点以上，沿任一 T h画一条直线，交图线于 -D, E, F四 点；皆为等T值点，错落的两对等 T值间的距离（hD+hE） = h- + hr被称为等值

7、单摆长。为 理解这一点，将（4-17 ）式的T1与Te （或Td）对应，T2与Tf （或T-）对应，h1为与对应的hE, h2为与T2对应的hF，并将（4-17）式改形为:2 2 2 2 2(4-22 )4 二 _ T1丁2 工 7g _ 2(h h2) 2(hh2)（4-22 ）与（4-17 ）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从（4-22 ）可知，当Ti = T2（ =T）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（hE+hF ）、（ hc+hD ）为等值单摆长。从（4-20 ）式可知： ob = oa = a ;而 ax2 = h e+ h 1从图4-3可知，A，B二共轭点为T（ h

8、）的极小值点，若在它附近取二个 h值来计算g则将引起较大的误差。所以欲取得精确的g的测量值，就只能取最大的 F点和相应的E点来计算g值。因孔的非连续性，E只能取Te近乎于Tf的点代入（4-22 ）式。还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的g，但运行在Tb （或Ta）值下的摆，其性能最稳定。 可倒摆为提高测g的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C点随即被改变，图 4-3的图线也随之改变，特别是Tc （即），Tf（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。但曲线的形状依归。所以，用

9、此时的T （ =Tf =Tc）和h1 （=hC），h2 （=hF）按（4-22 ）式来计算出g。当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用Tc- Tf的实测值，这时（4-22 ）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（T1 - T2）很小，而（h1- h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1的值然后逐渐减h2直至T小于T1为止。将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22 ）式就称为可倒摆计算式。摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是

10、物理摆的特例。 锤移效应a.加锤摆的摆动周期 Tm设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M质心为C （设为坐标原点），摆心为O, CO距离为h，质心C处与摆心O处沿OZ轴的转动惯量为JC、JO。以上条件皆固定不变。然后再加一个圆柱形的摆锤，锤的回转半径为r,质量为m正轴与上述各轴平行。锤移动沿CO方向为+X。置锤于X处，如图4-4所示。摆的总质量为M ' = M m(4-23)质心变为C',由一次矩平衡原理可得出CC : = m X /( M - m)(4-24)所以新的摆长h ' = h - CC h m X /(M 亠 m) (4-25)由平行轴定理，可得2 2 2 2

11、Jo = Ma Mh - mr m (h - X )(4-26)设重力加速度g已知(不变)，则带锤的摆动方程式仿(4-7 )、(4-10 )式为：(动量矩定理)J0 v - -(M m) g h - m X /( M m) sin v (4-27)i .加锤摆的周期公式 Tm为:2 2 2 2 Ma Mh mr m (h - x)m x) M - m(4-28)(h在研究锤移效应时，令(固定不变)2C =Ma2mh亠mr 2(4-29)k =(M - m)(4-30)所以有2C m(h x)T m = 2<tJmk (h x)tM +m(4-31 )此式的特点:它与无锤摆的形式相似，即原

12、T ( h)关系与现在Tm( X)关系相似，(此时h为固定常数)山基础物理实验# -由于X的取向等原因,所以Tm （ X）相当于图4-3曲线的左叶,Tm（ X）的渐近线为mhXM m而X的负向则为，-0,M m , h时,mXToo注：X . M m h，则Tm为复数（无意义）m它也存在着极（小）值所以应由dT m ( X )=.0(4-32 )dXdTmdTmdfdXdfdXk(hX)X所以有-i)2dX代入=C - m(h X )，ud ()vdXdvdu v dXx2v可得X)2m(h X)(1) -C m(hX)(M m此）(4-33)m(h _M +mX ) (2mh-2mX ) (

13、 -1)-M2(c 亠 mh - 2mhX 亠 mX2)2 2X 2mhX 2mhm(c mJ)】=0M m2m(c mh )2m222mh 二(2mh) - 42mhM +m2mM m2 -山基础物理实验69 -分子，分母都除以2m （根号内除以4卅）得i2 m(c mh )h , h : 2mh M +m(M 亠 m )h -2 2 2 2M m) h 一2mh (M - m) _m(c - mh )2 2 2 2 2 2 2 2 2(M m)h 二 、Mh 2 Mmh m h 2mh M - 2m h mc m hm(M m)h . me M 2h2m(4-34)所以X一定有解，T有极值

14、T （X）如前所述，T（ X）函数与T（ h）函数的性状是一样的， 所以此极值也一定是极小; 求叹来判定，略去）dx2ii .零质量摆锤的周期（公式）T0将m=0代入公式（4-28 ）,可得（以=2JC Mh 200 (h -X )(M 0) g (h0MaX)Ja , h =2二.，二（4-35）, gh gTh意义就是与X平行的，值为Th的T （X）函数线。Th也就是无锤摆在co = h时的摆动周期值，这也就是研究T （X）时为什么X的取向，原点都与原来的T （ h）的h取向、原点为一致的原因，而另取一个有别于h的符号X是为了讨论、理解得方便。理解这一点是弄明下一点的前提。iii.周期Tm

15、与Th （即m=0时的Tm）的交点，即有 Tm =Th2山基础物理实验# -也就是令（4-28 ）式与（4-13 ）式相等，于是有:所以解得m(M m) g (h _X )M + m2 a-h2gh2 2 2 2Ma Mh mr m (h - X )(4-36)2 2 2 2Ma Mh mr m ( h - X )(M m) g (hX)2 2 2 2 2 2 2 a h Ma Mh mr mh - 2mhX mXghg (M m)h - mX 2 2 2 2 2mhX m(h a ) X mh (a r )=02 2 2 2 2hX - (h - a ) X - h (a - r )=02

16、I2a i a22(h ) - (h )4(a -r )h V h2上式如下特点：它与m无关。即锤的结构、形状相同（r相同）而密度（即质量） 在X处摆的周期T相等。它在r :a条件下有两个实根。-a2)2 h 2a 24h即虽然它与锤质量无关，但它与质量的分布（回转半径r）相关,式时，无解。2（4-37）不同的摆锤，（4-38）且r满足（4-38）（4-39）时退化为只有一个解:a(4-40)2h2山基础物理实验71 -iv.回到物理摆的周期公式（4-12 ）式或（4-13 ）式，在摆杆质心点当有类似情况。当m 0而r -0的质点锤置于摆杆的质心C处时，并且悬挂点于 a处。当mz 0, m变则T变，这与由（4-37 ）式算出的X处r不变T变，m变而T为不变 是有所不同的。v .（钟表摆的）T的微调远离于C, X, X> ；调摆锤（或平衡锤一一亦可称之为摆的“平衡”锤）的质量或其质量的分布。移动 平衡锤。三、实验内容与步骤安装、调节好仪器以后：1 测出无锤摆杆的T （ H）关系；（可只测半截摆杆的）2 测出两个加锤摆的 Ti （X）, E （ X）关系；两摆锤的形状、尺寸须相同，而质量不 同；3 然后按原理所述，进行数据处理。数据表格自列。四、注意事项11. 摆幅A须小于1°,按R=0.3m （-摆杆）+0.03m（摆针）=330mm计2倍振幅2 兀 x 330