计算动力学第一章

1、1大连理工大学运载工程与力学学部大连理工大学运载工程与力学学部21.1 1.1 振动的概念振动的概念1.2 1.2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动1.3 1.3 单自由度系统强迫振动单自由度系统强迫振动1.4 1.4 两个自由度系统的振动两个自由度系统的振动1.5 1.5 非线性振动概述非线性振动概述第第1章章 绪论绪论31.1 振动的概念振动的概念振动：振动：就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。振动系统：振动系统：在振动问题中所研究的对象。如机器或在振动问题中所研究的对象。如机器或结构物等。结构物等。激励：激励：外界对振动系统的作用或引起

2、机器运动的力。外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。响应：响应：机器或结构在激励作用下产生的动态行为。机器或结构在激励作用下产生的动态行为。4振动的概念振动的概念振动分析：振动分析：研究振动系统、激励研究振动系统、激励(输入输入)和和响应响应(输出输出)三者之间的关系。三者之间的关系。5力学基本模型力学基本模型振动系统的力学基本模型中包括三个基本振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件元件”：质量块质量块、弹簧弹簧和和阻尼器阻尼器。质量块质量块: 是物体惯性大小的度量。是物体惯性大小的度量。弹簧弹簧: 表示振动系统弹性的理想模型。表示振动系统弹性的理想模型。阻尼器阻尼器: 任何振动在没有外

3、界干扰任何振动在没有外界干扰(激励激励)时都会逐渐消失，时都会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。称为阻尼。6振动机理振动机理 任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身具有质量（惯性力）和弹簧（恢复力）。具有质量（惯性力）和弹簧（恢复力）。 从能量关系看从能量关系看, 质量可以储存质量可以储存动能动能, 弹簧可以弹簧可以储存储存势能（变形能）势能（变形能）。振动就是动能和势能不断地。振动就是动能和势能不断地转换。转换。71.2 单自由度系统单自由度系统单自由度系统单自由度

4、系统: : 可以用可以用一个独立坐标一个独立坐标来确定系统的位置及其来确定系统的位置及其运动规律的振动系统运动规律的振动系统; ;单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统; ;许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振动系统动系统; ;单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，是研究复杂振动系统的基础。是研究复杂振动系统的基础。8m-k系统系统已知质量为已知质量为m，弹簧的，弹簧的刚度系数为刚度系数为k。取质量的。取质量的静平衡位置为坐标原点静平衡位置为坐标原点, 当

5、重物偏离当重物偏离 x 时时,利用牛利用牛顿定律可得到运动微分顿定律可得到运动微分方程：方程：0mxkx9梁的横向振动梁的横向振动质量为质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的质的重物放在简支梁的中部，不计梁的质量。设梁长为量。设梁长为l，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，截面惯性，截面惯性矩为矩为I。则利用材料力学的概念可得到：。则利用材料力学的概念可得到：0483ylEIym d dst10m-c-k系统系统已知质量为已知质量为m，弹簧，弹簧的刚度系数为的刚度系数为k ，粘，粘性阻尼系数为性阻尼系数为c。运。运动微分方程为：动微分方程为：0kxxcxm 11m-c-k系统系统令阻尼比为

6、令阻尼比为2ncm则方程可写为则方程可写为220nnxxx 令其解为令其解为stCex 代入方程得到代入方程得到2220nnss 此特征方程的两个根是此特征方程的两个根是21,2(1)ns 12大阻尼情况大阻尼情况不同的阻尼比不同的阻尼比 ，对应的解的形式不同，运动，对应的解的形式不同，运动性质也不同。性质也不同。（1 1） 11（大阻尼情况）（大阻尼情况） 此时特征方程有两个不同的实根此时特征方程有两个不同的实根, ,22(1)(1)( )nnttx tBeDe 21,2(1)ns 通解为通解为13大阻尼情况大阻尼情况给出初始条件：给出初始条件：t0时时2002(1)21nnvxB00,vx

7、xx则可确定系数则可确定系数B和和D2002(1)21nnvxD14大阻尼情况大阻尼情况 这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们所关心的振动形式。设所关心的振动形式。设x00，v00，则运动图形大致如，则运动图形大致如下。下。2(1)ntBe 2(1)ntDe 15临界阻尼情况临界阻尼情况（2） 1（临界阻尼情况）（临界阻尼情况） 此时特征方程有重根此时特征方程有重根()ntxBDt e利用初始条件确定常数为利用初始条件确定常数为000,nBx Dvx 此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为ccmkmcnc22

8、1,2ns 通解为通解为16临界阻尼情况临界阻尼情况 临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运动，按不同的初始条件其运动图形如下。动，按不同的初始条件其运动图形如下。17小阻尼情况小阻尼情况（3）0 1（小阻尼情况）（小阻尼情况） 此时特征方程有一对共轭复根，通解为此时特征方程有一对共轭复根，通解为22( cos1sin1)ntnnxeBtDt或写为或写为利用初始条件确定出常数利用初始条件确定出常数0002,1nnvxBx D2sin(1)ntnxAet18小阻尼情况小阻尼情况2200021nnvxAx 解中有两个因子，一个是衰减的指数解中有两个因子，一个是

9、衰减的指数函数函数 ,它将使振幅越来越小，直至振它将使振幅越来越小，直至振动最终消失动最终消失;20001arctannnxvxntAe 另一个是正弦函数另一个是正弦函数 ， 它表示系统以相同的周期通过平衡位置。它表示系统以相同的周期通过平衡位置。2sin(1)nt19小阻尼情况小阻尼情况因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振动形式。动形式。20小阻尼情况小阻尼情况 单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。这种衰减振动具有下列特性：这种衰减振动具有下列特性：（1

10、）振幅衰减）振幅衰减 由前面的解可以看出，振幅不再是常由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以几何级数量，而是以几何级数 快速衰减快速衰减;（2）等时性）等时性 系统仍以相同的周期通过平衡位置系统仍以相同的周期通过平衡位置;ntAe21小阻尼情况小阻尼情况（3）振动频率变小，周期变长）振动频率变小，周期变长 此时系统振动的频率和周期为：此时系统振动的频率和周期为：2221,1dndnT 因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系统的固有频率小，振动周期变大，但影响统的固有频率小，振动周期变大，但影响不大，特别是当阻尼很小（不大，特别是当阻尼很小（ 1）时，可）时，可

11、以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。22对数衰减率对数衰减率 振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅的比值来表示，称为衰减率或减幅率或的比值来表示，称为衰减率或减幅率或减缩率；也可以用衰减率的自然对数来减缩率；也可以用衰减率的自然对数来表示，称为对数衰减率。表示，称为对数衰减率。23对数衰减率对数衰减率利用前面给出的解利用前面给出的解2sin(1)ntnxAet可得到衰减率为可得到衰减率为()1nn dndtTit TixAeexAe对数衰减率为对数衰减率为22ln1ndTd 24对数衰减率对数衰减率 若用若用X0表示系统最初的振幅，经过表

12、示系统最初的振幅，经过n次循环次循环后的振幅为后的振幅为Xn，则对数衰减率又可以表示为，则对数衰减率又可以表示为nXXn0ln1d证明：证明：01112nnXXXXXX相乘得相乘得010112nnnnXXXXXXXX证明：证明：相乘得相乘得25对数衰减率对数衰减率则则0lnlnnXnnXd即即nXXn0ln1d对数衰减率对数衰减率1lnlniixxd01lnnXnXndT221则则261.3 单自由度系统强迫振动单自由度系统强迫振动 设激励为设激励为F(t)=F0sin t，这，这里里 为激振频率，利用牛顿定为激振频率，利用牛顿定律并引入阻尼比律并引入阻尼比 可得到可得到202sinnnFxx

13、xtm 27非齐次方程的特解非齐次方程的特解齐次方程的通解上节已经给出。设其特解为齐次方程的通解上节已经给出。设其特解为:0sin()pxXt代入方程确定系数代入方程确定系数X0和和 为：为：00222/,(1)(2)FkXrr22arctan1rr其中：其中：nr为频率比。为频率比。28稳态响应性质稳态响应性质1. 稳态响应稳态响应xp=X0sin( t )的性质的性质（1）在谐和激振条件下）在谐和激振条件下,响应也是谐和的响应也是谐和的,其其频率与激振频率相同频率与激振频率相同;（2）谐和激励强迫振动的振幅）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角和相位角决定于系统本身的物理性质和激振力的大小决

14、定于系统本身的物理性质和激振力的大小和频率，与初始条件无关和频率，与初始条件无关;29稳态响应性质稳态响应性质2. 幅频特性曲线幅频特性曲线 对于稳态响应，定义动力放大系数对于稳态响应，定义动力放大系数R为为响应的振幅响应的振幅X0与最大干扰力与最大干扰力F0所引起的静所引起的静位移的比值：位移的比值： 以以 为参数，画出为参数，画出R-r 曲线即幅频特性曲线即幅频特性曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。的影响。022201/(1)(2)XRFkrr30稳态响应性质稳态响应性质Rr311.4 两个自由度系统的振动两个自由度系统的振动 单自由度系统振动

15、问题，在我们所讨论的单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互相互“耦合耦合”现象。现象。 所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程之一就是如何将方程“解耦解耦”，然后按单自由，然后按单自由度的分析方法求解。度的分析方法求解。 两自

16、由度是多自由度系统最简单的情况。两自由度是多自由度系统最简单的情况。32运动微分方程运动微分方程坐标原点仍取在静平衡位置坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式写成矩阵形式1111111)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx2323222)(xcxktFxm 212212()()kxxc xx)()tFxKxCxM 33运动微分方程运动微分方程式中：式中：22211211mmmmM2100mm22211211ccccC322221cccccc22211211kkkkK322221kkkkkk21xxx)()()(21tFtFtF34运动微分方程运动微分方程 M称为系统的质量矩阵，

17、称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩称为刚度矩阵，阵，C称为阻尼矩阵，称为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，为系统的位移列阵，F(t)为外激励列阵。为外激励列阵。 对于其它形式的两自由度振动系统同样可对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由于矩阵由于矩阵M、 K、 C的非对角线元素不的非对角线元素不为为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。方程。35自由振动问题自由振动问题 0MxKx 1122txcxexc 11222txcxexc111221222222000ttmckkkce

18、emckkc 1112222222000cmkkkmkkc 36自由振动问题自由振动问题特征方程特征方程02 KM特征根特征根纯虚根纯虚根上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零22 37自由振动问题自由振动问题2111222222222000cmkkkmkkc 2121112112kkmcck2121222212kkmcck1112cc满足上述方程的满足上述方程的特征向量特征向量1111222122212000cmkkkmkkc 38自由振动问题自由振动问题振型：振型：第一阶振型第一阶振型第二阶振型第二阶振型111212112121()/cCkkm

19、kc212212122221()cCkkmkc方程的解方程的解112211122111221222ititititxa C ea C ea C eaC ex391.5 非线性振动概述非线性振动概述非线性特性非线性特性 材料非线性材料非线性振幅过大超出材料线弹性范围几何非线性几何非线性位移或变形过大使结构几何形状显著变化非线性阻尼非线性阻尼材料内摩擦阻尼、流体阻尼等都是非线性阻尼负刚度负阻尼负刚度负阻尼有些情况下会存在负刚度和负阻尼非线性系统非线性系统 当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元件的力与运动速度之间的关

20、系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。40非线性振动概述非线性振动概述非线性振动的研究方法非线性振动的研究方法 非线性振动研究的方法有：非线性振动研究的方法有：定性分析定性分析、定量分析定量分析和和数值分数值分析析方法。方法。非线性振动研究的内容非线性振动研究的内容 非线性振动研究的基本内容之一就是建

21、立对真实振动系统非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。定性法定性法 研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时间历程。通常采用间历程。通常采用几何方法几何方法描述系统的运动特征。描述系统的运动特征。定量法定量法 通过一些渐近的通过一些渐近的解析方法解析方法研究系统运动的时间历程。研究系统运动的时间历程。数值法数值法 通过通过数值计算数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。方法研究系统非线性振动的规律和现象。41非线

22、性振动与线性振动的区别非线性振动与线性振动的区别线性振动线性振动 非线性振动非线性振动 自由振动频率与初始条件无关自由振动频率与初始条件无关 自由振动频率与振幅有关自由振动频率与振幅有关 强迫振动频率与激励力频率相强迫振动频率与激励力频率相等等 强迫振动频率成分复杂，有时强迫振动频率成分复杂，有时与激励频率不相等的频率成分与激励频率不相等的频率成分突出突出稳定平衡位置附近的运动是稳稳定平衡位置附近的运动是稳定的定的 稳定平衡位置附近具有多种稳定平衡位置附近具有多种稳定和不稳定运动稳定和不稳定运动强迫振动中每个激励频率强迫振动中每个激励频率有一个对应的振幅有一个对应的振幅 强迫振动中幅频与相频曲

23、线强迫振动中幅频与相频曲线发生弯曲，产生多值性发生弯曲，产生多值性 叠加原理成立叠加原理成立 叠加原理不成立叠加原理不成立42典型微分方程类型典型微分方程类型 lgpxpdtxd22220sin单摆方程单摆方程库仑（库仑（Coulomb)Coulomb)摩擦振动方程摩擦振动方程0)sgn(22kxdtdxNdtxdm43典型微分方程类型典型微分方程类型 lgpxpdtxd22220sin单摆方程单摆方程库仑（库仑（Coulomb)Coulomb)摩擦振动方程摩擦振动方程0)sgn(22kxdtdxNdtxdm44典型微分方程类型典型微分方程类型 范德波（范德波（van der Polvan der Pol）方程）方程0)1 (2222xdtdxxdtx