事件的独立性与相关性

1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计1.5 1.5 事件的独立性与相关性事件的独立性与相关性1.5.1 1.5.1 两个事件的独立性与相关性两个事件的独立性与相关性1.5.2 1.5.2 有限个事件的独立性有限个事件的独立性 1.5.3 1.5.3 相互独立事件的性质相互独立事件的性质1.5.4 Bernoulli1.5.4 Bernoulli概型概型例如例如 箱中装有箱中装有1010件产品件产品:7:7件正品件正品,3,3件次品件次品, ,甲买走甲买走1 1件件正品正品, ,乙要求另开一箱乙要求另开一箱, ,也买走也买走1 1件正品件正品. .记甲

2、取到正品为事件记甲取到正品为事件A,A,乙取到正品为事件乙取到正品为事件B,B,则则107)()|(BPABP由乘法公式即得由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)从问题的实际意义理解，就是说事件从问题的实际意义理解，就是说事件A A和事件和事件B B出现的出现的概率彼此不受影响概率彼此不受影响. .1.5.1 1.5.1 两个事件的独立性与相关性两个事件的独立性与相关性定义定义: : 若事件若事件A A与与B B满足满足 P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B), 则称则称A A与与B B相互独立，简称相互独立，简称A A与与B B独立独立。

3、推论推论1:1: A.BA.B为两个事件为两个事件, ,若若P(A)0,P(A)0, 则则A A与与B B独立等价于独立等价于P(B|A)=P(B).P(B|A)=P(B). 若若P(B)0,P(B)0, 则则A A与与B B独立等价于独立等价于P(A|B)=P(A).P(A|B)=P(A).证明：证明：A.BA.B独立独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B) P(B|A)=P(B)注意注意: :从直观上讲从直观上讲,A,A与与B B独立就是其中任何一个事件出独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件

4、出现与否的影响现的概率不受另一个事件出现与否的影响. .证明证明 不妨设不妨设A.BA.B独立独立, ,则则)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他类似可证其他类似可证. . 推论推论2:2:在在 A A与与 B, B, 与与 B,AB,A与与 ，与，与 这四对事件中这四对事件中, , 若有一对独立若有一对独立, ,则另外三对也相互独立。则另外三对也相互独立。AABB 注意注意: : 判断事件的独立性一般有两种方法判断事件的独立性一般有两种方法: : 由定义判断由定义判断, ,是否满足公式是否满足公式; ; 由问题的性质从直观上去判

5、断由问题的性质从直观上去判断. .例例1.5.11.5.1 某高校的一项调查表明：该校有某高校的一项调查表明：该校有30%30%的学生的学生 视力有缺陷视力有缺陷. 7%. 7%的学生听力有缺陷，的学生听力有缺陷，3%3%的学生视力与的学生视力与听力都有缺陷，记听力都有缺陷，记A= =“学生视力有缺陷学生视力有缺陷”，30. 0)( APB= =“学生听力有缺陷学生听力有缺陷”，07. 0)( BPAB= =“学生听力与视力都有缺陷学生听力与视力都有缺陷”，03. 0)( ABP现在来研究下面三个问题：现在来研究下面三个问题：（1 1）事件）事件A与与B是否独立？是否独立？ 由于由于 021.

6、 007. 003. 0)()(BPAP)(ABP所以事件所以事件A与与B不独立，即该校学生视力与听力不独立，即该校学生视力与听力缺陷有关联缺陷有关联. .（2 2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺 陷的概率是多少？陷的概率是多少？ 这要求计算条件概率这要求计算条件概率)(ABP, ,由定义知由定义知10130. 003. 0)()()( APABPABP（3 3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？陷的概率是多少？7307. 003. 0)()()( BPABPBAP类似

7、地可算条件概率类似地可算条件概率定义定义 设设, 1)(0 , 1)(0 BPAP称称 为事件为事件A与与B的的相关系数相关系数)(1)()(1)()()()(),(BPBPAPAPBPAPABPBA 定理定理1.5.11.5.1 (1) (1)0),( BA当且仅当当且仅当A与与B相互独立；相互独立； 1),( BA (3) (3).()()()(0),(BPABPAPBAPBA ).()()()(0),(BPABPAPBAPBA (2)(2); ;定义定义 (n(n个事件的相互独立性）个事件的相互独立性） 设有设有n n个事个事A A1 1,A,A2 2, ,A,An n, ,若对任何正整

8、数若对任何正整数m(2mn)m(2mn)以及以及)()(),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（都有则称这则称这n n个事件相互独立个事件相互独立. .若上式仅对若上式仅对m=2m=2成立成立, ,则称这则称这n n个事件两两独立个事件两两独立. .注意注意: : 从直观上讲从直观上讲,n,n个事件相互独立就是其中任何一个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响的影响. .1.5.2 1.5.2 有限个事件的独立性有限个事件的独立性例例1.5.2 1.5.2 随机投掷编号为随机投掷编号

9、为 1 1 与与 2 2 的两个骰子事件的两个骰子事件 A A 表示表示1 1号骰子向上一面出现奇数号骰子向上一面出现奇数,B ,B 表示表示2 2号骰子向号骰子向上一面出现奇数上一面出现奇数,C ,C 表示两骰子出现的点数之和为奇表示两骰子出现的点数之和为奇数数. . 则则2/ 1)()()(CPBPAP4/ 1)()()(CAPBCPABP)()()()()()(APCPCPBPBPAP但但0)(ABCP)()()(8/1CPBPAP本例说明本例说明: : 不能由不能由 A, B, C A, B, C 两两独立两两独立A, B, C A, B, C 相互独立相互独立 1.5.3 1.5.3

10、 相互独立事件的性质相互独立事件的性质性质性质1:1: 如果如果n 个事件个事件nAAA,21相互独立，则相互独立，则)1(nmm 个事件改为相应的对立事个事件改为相应的对立事n个事件仍然相互独立个事件仍然相互独立. .将其中任何将其中任何件，形成新的件，形成新的性质性质2:2: 如果如果n个事件个事件nAAA,21相互独立，则有相互独立，则有 niniiniiiAPAPAP111)(1(1)(1)( 例例1.5.31.5.3 三个元件串联的电路中三个元件串联的电路中, ,每个元件发生断电每个元件发生断电的概率依次为的概率依次为0.3,0.4,0.6,0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相

11、互独且各元件是否断电相互独立立, ,求电路断电的概率是多少求电路断电的概率是多少? ?解解 设设A A1 1,A,A2 2,A,A3 3分别表示第分别表示第1,2,31,2,3个元件断电个元件断电 , , A A表示电路断电表示电路断电, ,则则A A1 1,A,A2 2,A,A3 3相互独立相互独立,A= A,A= A1 1+A+A2 2+A+A3 3, ,P(A)=P(AP(A)=P(A1 1+A+A2 2+A+A3 3)=)=)AAA(P1321)A(P)A(P)A(P1321=1-0.168=0.832=1-0.168=0.832例例1.5.4 1.5.4 已知事件已知事件 A, B,

12、 C A, B, C 相互独立相互独立, ,证明证明: :事件事件A与与CB也相互独立也相互独立. .证证: :)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAP事件事件例例1.5.5 1.5.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 0.4%, 求来自不同地区的求来自不同地区的100100个人的血清混合液中个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率含有肝炎病毒的概率. .解解: :设这设这100 100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为个人的血清混合液中含有肝炎病

13、毒为 事件事件 A, A, 第第 i i 个人的血清中含有肝炎病毒为事个人的血清中含有肝炎病毒为事件件 A Ai i (i =1,2, (i =1,2,100 ). ,100 ). 则则1001 iiAA)(11)(1001iiAPAP33. 0)004. 01 (1100若若B Bn n表示表示 n n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则 , 2 , 110,)1 (1)( nBPnn1)(lim nnBP 注意：注意：不能忽视小概率事件不能忽视小概率事件, ,小概率事件迟早要小概率事件迟早要发生发生 一个元件一个元件( (或系统或系统) )能正常工作的概率

14、称为元件能正常工作的概率称为元件( (或系统或系统) )的可靠性的可靠性. .系统由元件组成系统由元件组成, ,常见的元件连接方式：常见的元件连接方式：串联串联并联并联1 12 22 21 1 系统的可靠性问题系统的可靠性问题例例1.5.51.5.5设两系统都是由设两系统都是由 4 4 个元件组成个元件组成, ,每个元件正常工作每个元件正常工作的概率为的概率为 p p , , 每个元件是否正常工作相互独立每个元件是否正常工作相互独立. .两两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性. .A A1 1A A2 2B B2 2B B1 1S S1 1

15、: :)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2 (22242ppppA1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP)()(12SPSP22)2(pp)2 (22pp222pp例例1.5.61.5.6 某射手在相同条件下独立地进行某射手在相同条件下独立地进行5 5次射击次射击, ,每次每次击中目标的概率是击中目标的概率是0.6,0.6,求：概率最大的击中目标次数求：概率最大的击中目标次数. .解：解：击中目标次数可能取值为击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,设设B Bi i(i=0,1,(i=0,1,5),5)表示击中目标表示击中目

16、标i i次次, ,事件事件A Ai i表示第表示第i i次射次射中中,(i=1,2,.,5),(i=1,2,.,5),则则A Ai i (i=1,2,.,5)(i=1,2,.,5)相互独立相互独立, ,P(BP(B0 0) )= =)AAAAA(P54321=(1-0.6)=(1-0.6)5 5=0.4=0.45 5P(BP(B1 1)=)=)(5432154321543215432154321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAP=5=50.60.6(1-0.6)(1-0.6)4 45005)6 . 01(6 . 0C4115)6 . 01(6 . 0C例例1.5.6 1.5.

17、6 某射手在相同条件下独立地进行某射手在相同条件下独立地进行5 5次射击次射击, ,每次每次击中目标的概率是击中目标的概率是0.6,0.6,求：概率最大的击中目标次数求：概率最大的击中目标次数. .即即i5ii5i 0.6)(1 0.6 C)P(B(i=0,1,2,3,4,5)(i=0,1,2,3,4,5)类推得类推得P(BP(B3 3) )2335)6 . 01(6 . 0CP(BP(B4 4) )1445)6 . 01(6 . 0CP(BP(B5 5) )0555)6 . 01(6 . 0CP(BP(B2 2) )3225)6 . 01(6 . 0C解：解： 击中目标次数可能取值为击中目标

18、次数可能取值为0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,设设B Bi i(i(i=0,1,=0,1,5),5)表示击中目标表示击中目标i i次次, ,事件事件A Ai i表示第表示第i i次射次射中中,(i=1,2,.,5),(i=1,2,.,5),则则A Ai i (i=1,2,.,5)(i=1,2,.,5)相互独立相互独立, ,易计算：概率最大的击中目标次数为易计算：概率最大的击中目标次数为3.3.一般地：设射击次数为一般地：设射击次数为n n，每次射击击中目标，每次射击击中目标的概率为的概率为p p，则：，则： 当（当（n+1n+1）p p为整数时，概率为整数时，概率最大的击中目标

19、次数为最大的击中目标次数为(n+1)p(n+1)p和和(n+1)p-1;(n+1)p-1;当当（n+1n+1）p p不为整数时，概率最大的击中目标不为整数时，概率最大的击中目标次数为次数为(n+1)p(n+1)p的整数部分的整数部分. . 若某个试验由若某个试验由n n次基本试验构成次基本试验构成, ,且具有以下特点且具有以下特点: : (1) (1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败; ; (2) (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变每次基本试验中每个结果出现的概率不变; ; (3) (3) 基本试验之间相互独立基本试验之间相互

20、独立; ; (4) (4) 在相同条件下在相同条件下, ,试验可以重复进行试验可以重复进行. .则称此试验为独立重复试验或贝努里则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验; ;由由于该试验由于该试验由n n次基本试验构成次基本试验构成, ,故亦称之为故亦称之为n n重贝努里试验重贝努里试验. .贝努里公式：贝努里公式： 在在n n重贝努里试验中重贝努里试验中, ,如果如果“成功成功”在在每次试验中出现的概率为每次试验中出现的概率为p,p,令令B Bk k=“=“在在n n 次试验中次试验中“成成功功”出现出现k k 次次”, ,则则), 2 , 1 ,

21、 0()1 ()(nkppCBPknkknk1.5.4 Bernoulli1.5.4 Bernoulli概型概型例例1.5.71.5.7 同时掷四颗均匀的骰子同时掷四颗均匀的骰子, ,试计算试计算: : (1) (1) 恰有一颗是恰有一颗是6 6点的概率点的概率; ; (2) (2) 至少有一颗是至少有一颗是6 6点的概率点的概率. . 解解: : 这是一个这是一个4 4重贝努里试验重贝努里试验, , 掷每一颗骰子就是一个基本试验掷每一颗骰子就是一个基本试验. .每次基本试验中每次基本试验中6 6点出现的概率是点出现的概率是1/6,1/6,所以所以(1) (1) 恰有一颗是恰有一颗是6 6点的

22、概率为点的概率为(2) (2) 至少有一颗是至少有一颗是6 6点的概率为点的概率为 311414114)65()61()611 ()61(CC4400404004)65(1)65()61(1)611 ()61(1CC例例1.5.8 1.5.8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹炮弹, ,若有不少于若有不少于2 2发炮弹命中目标时发炮弹命中目标时, ,目标就被击目标就被击毁毁. .如果每门炮命中目标的概率为如果每门炮命中目标的概率为0.6, 0.6, 求目标被求目标被击毁的概率击毁的概率. . 解：解：设一门炮击中目标为事件设一门炮击中目标为事件A, P(A

23、)=0.6A, P(A)=0.6设目标被击毁为事件设目标被击毁为事件B B, , 82884 . 06 . 0)(kkkkCBP 10884 . 06 . 01kkkkC9914. 0 则则解解: : 设取出的设取出的5 5个数按由小到大排列为个数按由小到大排列为54321xxxxx 令令)4(3 x表示所求的事件表示所求的事件)3()4()4(333 xxx: ) 4(3 x1,1,2,3,3;1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;1,1,2,3,4; 所取的所取的5 5个数字中至少有个数字中至少有3 3个数字不大于个数字不大于4 4例例1.5.9 1.5.9 从从1,2,1,2, ,

24、,1010十个数字中有放回地任取十个数字中有放回地任取5 5个个数字数字, , 求取出的求取出的5 5个数字中按由小个数字中按由小 到大排列到大排列, , 中间中间的那个数等于的那个数等于 4 4 的概率的概率. .1,1,4,4,5;1,1,4,4,5;1,1,4,5,8;1,1,4,5,8;令令 A Ak k 表示所取的表示所取的5 5个数字中恰有个数字中恰有k k 个不大于个不大于4 4则则kkkkCAP 55106104)(533)4( kkAxmkAAmk , 533)()4(kkAPxP 5355106104kkkkC)3()4()4(333 xPxPxP 53535555107103106104kkkkkk