第七章 响应面设计法

1、第六章 响应面设计法 第一节 概述 第二节 线性模型的RSM实验设计 第三节 球面设计和二次模型 第四节 均匀设计第一节 概述 Response surface method: RSM RSM的目的：1）建立效应与各个变量间的数学关系：Y=f(x1,.,xn)+e，其中期望值记h， h=f(x1,.,xn), 此称为效应面；2）在试验区域内或近边界附近进行效应预测；3）继而进行优化。RSM设计的必要性及地位 1）优化的需要；2）进行模型方程模拟的需要；3）为放大工艺、处方时设计各参数作准备；4）可以描绘效应面。 处于第二阶段效应面模型的获得 在一定的范围内可以是线性的： 但是更多的情况下，特别

2、是在优化区域内，往往是二次以上的： 获得完全真实的数学模型是不可能的，但在一定的区域内可以获得近似真实。 往往采用最小二乘法获得方程，然后进行统计检验。RSM的数学模型 泰勒展开式：所有的数学关系式均可以展开 线性、二次多项式，三次以上少见 线性的极值往往在边界 二次可以采用优化技术线性和二次模型预测的简单方法 例：某药物采用胆酸盐和卵磷脂增溶，中心点为胆酸盐0.1M, 磷脂/胆酸盐的摩尔比例为1。三种设计的图如下： 22析因设计 CCD正方 CCD球面数学模型 线性： 二次多项式：多通过CCD或星点设计获得： 可以通过线性回归或非线性回归获得e22110 xxye21122222211122

3、110 xxxxxxyRSM的数学通式) !/()!(.xx.xx.x.xx.xyk1 -k, 121122k2111k110dkdkpkkkkke总系数项数p与方程幂次d和变量数间的关系多项式系数项数幂次k234567134567826101521283631020355684120常用响应面设计方法 如何通过一定的实验设计使获得的试验结果可以有效地使响应面数学模型近似真实的设计方法。 序贯法：爬山或落底法，分为数步走，先找出最优区域，然后进一步找出该区域的响应面曲线，直至优化。 分别按数学模型是线性或二次多项式而分常用响应面设计方法 必须是可以旋转的：可以保证各方向的精度 拟合一阶模型的设

4、计 析因设计 单纯形设计 拟合二阶模型的设计 中心复合设计 Box-Behnken设计RSM设计的策略 数学模型的推论：线性模型比二次模型简单，需要的试验次数少，所以一般可以先假设为线性，如果出现弯曲再用二次多项式RSM设计。 实验范围：RSM设计的边界可以是球形、正方体或混合（圆柱体）的；RSM水平数：可以根据实际情况选择。第二节 线性模型的RSM设计 采用前面已经叙述的2k析因设计或分式析因设计：试验次数多。 单纯形设计：k维空间中有k+1个顶点的等边图形。由于涉及的数学模型中的参数较少，故常常可以采用单纯形法设计。 2因素的等径设计(Equiradial design for 2 fac

5、tors) 大于2因素的等径设计(Equiradial design for more than 2 factors)一、2因素等径设计按单纯形形状可以分为：三角形Triangle、正方形square、正五边形pentagon和正六边形hexagon四种。X1、X2分别可以用下式表示：i=0,.N-1NiNi/2cosx,/2sinx21N是边数2因素等径设计No 三角形X1 X2正方形X1 X2正五边形X1 X2正六边形X1 X210 1-0.707 -0.7071 01 02-0.866 -0.50.707 -0.7070.309 0.9510.5 0.86630.866 -0.5-0.7

6、07 0.707-0.809 0.588-0.5 0.86640.707 0.707-0.809 -0.588-1 050.309 -0.951-0.5 -0.86660.5 -0.866二、2因素以上单纯形设计可以选择析因设计或分式析因设计可以采用单纯形设计：试验次数少，k=n-1基于等边三角形的基础上组成（不明白）R=j/2j*（j+1）1/2(下页)j为x的下标【但是否应该为下页的公式？】No.X1X2X3X4X5X6X7X81-0.5-0.289-0.2041-0.1581-0.1291-0.1091 -0.0945 -0.083320.5-0.289-0.2041-0.1581-0.

7、1291-0.1091 -0.0945 -0.0833300.577-0.2041-0.1581-0.1291-0.1091 -0.0945 -0.08334000.6124-0.1581-0.1291-0.1091 -0.0945 -0.083350000.6325-0.1291-0.1091 -0.0945 -0.0833600000.6455-0.1091 -0.0945 -0.08337000000.6547 -0.0945 -0.083380000000.6614 -0.0833900000000.6667R0.5770.61240.63250.64550.65470.66140.6

8、667前j行的xj=-1/2j*（j+1）1/2j+1行=j/2j*（j+1）1/22-8因素单纯形表格的形成及衍生 Xj列中第j+1行元素取 Xj列中第1行至第j行元素取- 半径R= 组成试验表时，各元素应除以半径以归一化，如4因素试验表。1)(j2/ jj1)(j2j/1j1)(k2/kkNo.X1X2X3X41-0.791-0.457-0.323-0.25020.791-0.457-0.323-0.25030.0000.912-0.323-0.25040.0000.0000.968-0.25050.0000.0000.0001.000K为因素数-1/2j*（j+1）1/2？三、最速上升法

9、或下降法 沿着相应值有最大增量或减量的方向逐步移动的方法。 例如，序贯法第一步得到的为一阶函数，其等高线为一系列平行线。 最速上升法是从设计中心沿着平行线的法线的途径。直至不增加。 以此为中心，重新设计一系列试验，重新找出响应面，继而按最速上升法找出新的中心点。.最速上升（或下降）法步骤 确定优化区域：x1（x1i，x1j）,. xn（xni，xnj） 将自变量范围规范在（-1，1）之间 根据试验（如析因设计）结果确定线性模型 假定x1=x2=.=xn=0为原点或基点 选取一个过程变量的步长xj，通常以回归系数绝对值最大者 计算其它自变量的步长： 将规范变量转化为自然变量，进行实验例1：某药物

10、毫微球包封率的优化 已知在155F下蒸发35分钟，得到的包封率是40%。 设首次优化区间为（150，160F）、（30，40分） 自变量规范化： 采用22析因设计（加5个中心对照点） 通过中心对照点检验弯曲性，拟合一阶方程，对模型进行统计检验为什么除以5？表1 首次析因设计试验结果表2 回归分析模型的方差分析最速上升路线的确定 以时间为基本步长X1=1 则X2=(0.325/0.775) X1 =0.42表3 最速上升实验结果 可以看到最优点在85，175附近 因此在80，90和170，180范围内再做一次22析因设计加5个中心点表4 第二次析因设计结果表5 第二次方差分析第三节 二阶模型RS

11、M设计 接近真实优化点处往往需要二阶或更高阶处理 稳定点的设置 表示响应面的特征稳定点的设置 稳定点是指二阶方程偏微分为零的点（x1,0,.xn,0） 稳定点可以是极值点（最大、最小）或鞍点表示响应面的特征 稳定点及其意义（极点或鞍点）一、中心复合设计（Central composite design, CCD） CCD 设计是多因素五五水平的实验设计, 是在二水平析因设计的基础上加上极值点和中心点构成的。水平的代码：0, 1, a 星点设计可旋转 (rotatable) 预测效应y 的方差只是该点到中心点的距离的函数,与向量的方向无关. 序贯组装：先作中心对照的2水平析因设计或分式析因设计，

12、然后加上星点或轴点。 CCD设计表由三部分组成1. 2k析因设计或2k-r分式析因设计2. 2k个轴点或星点,（ a ,0,0,.0 ）, (0,a ,0,.0 ), (0,0,a , .0 ),.(0 ,0,0,. a) 。其中：a的选择是以确保设计可以旋转为前提，一般情况下为(nf)1/4,nf一般指析因设计部分的试验数；括号中这么多0是干嘛的？3. n个中心对照点(0,0,0.,0)：n的选择应保证设计的正交性或一致精度（即y在原点的方差与距离原点1处的方差一致）表1 正交的、一致精度的可旋转中心复合设计的参数表看不懂？面中心的中心复合设计（CCF） 面中心的中心复合设计（CCF）: a

13、1,即轴点为面中心，如k=3时为正方体的各面的中心点。其优点是因素的水平数只需3个。但是不可旋转是其缺点。面中心的中心复合设计（k=3）例1 在例1中，仅用表4的结果无法拟合二阶方程 在二维体系，分别设4个极点（0,20.5）和（ 20.5, 0 ） 形成中心复合设计（Central Composite Design, CCD）表 6 中心复合设计结果表 7 方差分析结果二、多赫勒均匀网法Uniform Shell(Doehlert) Design 均匀网设计是正态因子空间中均匀分布的设计。其结果可以向任何方向推广。 其设计是序贯设计，即先设计一组小范围试验（单纯形），继而确认中心点后推广。例

14、如，如进行3因素均匀网设计，可以先设计2因素单纯形试验（第三因素固定）4次，然后推广（如何推广？）至13次实验（包括已有的4次试验）的八面体。kX1X2X3X4X52010.5-0.50.5-0.5-1000.866-0.866-0.8660.866000000000000000000000030.5-0.500.5-0.500.2890.289-0.577-0.289-0.2890.5770.8160.8160.816-0.816-0.816-0.81600000000000040.5-0.50.500-0.5000.289-0.289-0.2890.57700.289-0.57700.20

15、4-0.204-0.204-0.2040.6120.2040.204-0.6120.791-0.791-0.791-0.791-0.7910.7910.7910.7910000000050.5-0.50.5000-0.5-0-0-00.289-0.289-0.2890.577000.289-0.577000.204-0.204-0.204-0.2040.61200.2040.204-0.61200.158-0.158-0.158-0.158-0.1580.6320.1580.1580.158-0.6320.775-0.775-0.775-0.775-0.775-0.7750.7750.7750

16、.7750.775不懂？从单纯形设计向多赫勒设计拓展 2因素：单纯形为三角形，拟合线性方程后，如果发现弯曲，可以拓展进行多赫勒设计，以找出二次多项式。其方法是以单纯形（等边三角形）的最优点为中心点，以三角形边长为正六角形边长，包含三角形其它两点，组成新的多赫勒设计。从单纯形设计向多赫勒设计拓展 三因素：单纯形拓展成多赫勒设计后组成13个实验，由于包含原4点，故只需要作7次试验。No.X1X2X31000210030.50.866040.50.2890.816例：高速剪切制备颗粒 桨速X1、造粒液体X2、造粒时间X3 先做X1、X2两因素-11X1250400X26070X3520X1X2X3粒

17、径1234567010.5-0.50.5-0.5-1000.866-0.866-0.8660.866000000001594139813521466175010641337数值是如何确定的？ 两因素回归：Y=1594-90.8x1+120.3x2-20.0 x12- 389.22x22 -222.8x1x2 扩展第三个因素： Y=1594-97.4x1+117.6x2+16.7x3-20.0 x12-379.2x22 -70.9x32 -222.8x1x2+119.6x1x3+82.8x2x3X1X2X3粒径89101112130.5-0.500.5-0.500.2890.289-0.577-

18、0.289-0.2890.5770.8160.8160.816-0.816-0.816-0.816153316171332140915601431Box-Behnken设计 1960年引入 一般适合于3水平的实验设计 不包括顶点，与CCD相比，试验次数少 球面 可旋转 由2k析因设计和不完全区组设计组成BB设计的基本理论设计的基本理论BB设计是基于t因素的各种2水平析因设计（2k 或2k-1）和中心对照点组成的。 其中k t， k 大小取决于区组平衡的考虑。Box-Behnken设计表（3因素三中心对照）3因素BB设计的空间 三维空间，正方体每个面的中心，四点 与中心对照点的距离为2的开平方（

19、如何得来？）是体心吗？因素大于3的BB 设计k = 4, BB设计由6个22析因设计和 中心对照点组成,总共 24 + n0次实验.BB实验设计表见下表。 为什么是6个22析因设计？-因为一般因为一般由由k(k-1)/2个析因设计组成。个析因设计组成。（第58页）BIB： balanced incomplete block k: 组内因素数,b: 组数,r: 重复数 通常由k(k-1)/2个22析因设计和中心对照点组成PBIB： partially balanced incomplete block 实验大时可以部分平衡，以降低实验次数例：双氯芬酸钠缓释颗粒的优化例：双氯芬酸钠缓释颗粒的优化双

20、氯芬酸钠是高效的非甾体消炎药，具有解热、镇痛、抗风湿作用该药疗效好，副作用小，常用于治疗风湿和类风湿性关节炎、神经炎、红斑狼疮、术后疼痛及各种发热双氯芬酸钠为白色或类白色结晶性粉末，有刺鼻感和引湿性在乙醇中易溶，在水中略溶，在三氯甲烷中不溶NHOONaClCl双氯芬酸钠口服后迅速被吸收，半衰期仅仅为12h由于双氯芬酸钠口服半衰期短，尤其在治疗慢性风湿性关节炎时，因此其制剂需要有持续释放药物的特性目前主要的使用制剂为双氯芬酸钠肠溶片Eudragit 药物从固体制剂中释放通常是通过包衣材料进行控制的。水溶性的分散系统例如水溶性纤维素和丙烯酸聚合物等，被广泛地应用于口服缓释制剂。 由于含有较多的亲水

21、基团，Eudragit RL30D与Eudragit RS30D相比，具较高的水渗透性以及膨胀性。将两者混合使用可以得到不同特性的药物释放系统。实验实验 选择的非独立的变量，通过一个三因素，三水平的BoxBehnken设计进行优化，从而实现了不同特性的双氯芬酸钠的释放特性。 三个因素为：增塑剂的浓度（枸橼酸三乙酯），异丁烯酸聚合物比例（Eudragit RS，Eudragit RL）以及包衣分散液的量 设计了三因素三水平的Box-Behnken设计实验，适于二次响应面和二次多项式模型。 b是回归系数，x是影响因素，X1是增塑剂浓度，X2是两种聚甲基丙烯酸聚合物的比例，X3是包衣液的用量,Y是由

22、于因素的改变而产生相应的响应值,e是误差相 双氯芬酸控释微丸的制备过程参数Table 1 summarises the factors and their levelsY1、Y2、Y3的实测值 正号代表协同作用，负号代表拮抗作用。RSM-计算机辅助优化 Design-Expert使用简介 25% w/w,400 g and 3/1Y1、Y2、Y3的理论值计算 以上3个方程代表处方变量对Y1、Y2、Y3三个响应的定量效应。Y1、Y2、Y3的理论值与实测值之间有好的一致性。 如下表为因变量Y1的实测值、预期值和残差 与方程2中的回归系数不同，将X1、X2、X3值分别用（1，0，1）代码水平代替，得

23、到方程5。 X1, X2 and X3 have a negative, i.e. antagonistic effect on the response Y1. The most important are X3 then X1 and X2.（见下图） Box-Behnken设计中双氯芬酸控释微丸的释放曲线在前2个小时，溶出液为1000ml的0.1N的HCl，之后迅速换以pH6.8的磷酸盐缓冲液 。Box-Behnken设计中双氯芬酸控释微丸的释放曲线 实验结果与讨论： 前2个小时溶出曲线非常低（n)，这里i=1,n-1。均匀设计表的构造方法（续1） 用上述方法生成的表记作Un(nm),例

24、如n=9时，可以形成象前面介绍的U9(96)表。向量h称为该表的生成向量，可以将Un(nm)记成Un(h)。给定n,相应的 h可以用上面的方法求得，从而 m也就确定了，所以 m是 n的一个函数，称为欧拉函数，记为E(n)。这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列。根据数论结果可知：(1)当n为素数时,E(n-1)=n-1;(2)当n为素数幂时,即n可表示成n=pl,这里p为素数,l为正整数，E(n)=n(1-1/p)，如n=9,可表为n=32,于是 E(9)=9(1-1/3)=6,即U9最多可以有6列;(3)若 n不属于上述两种情况，均匀设计表的构造方法（续2）这时 n一定可以表示为不同数的

25、方幂积，即：n=p1l1p2l2psls,这里p1,ps 为不同的素数，l1,ls为正整数，这时E(n)=n(1-1/p1)(1-1/ps),例如n=12可表为n=223,于是E(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4,即U12最多可能有4列。上述的三种情形中以 n为素数时最好，最多可以有n-1列，非素数时表的结构中永远不可非素数时表的结构中永远不可能有能有 n-1n-1列，比如列，比如E(6)=2E(6)=2，则最多只能安排两，则最多只能安排两个试验因素，为此个试验因素，为此, ,王元和方开泰建议，用王元和方开泰建议，用 U Un+1n+1 表划去最后一行构造形成新的表划去最后一行构造

26、形成新的U Un n* *表，如表，如U U6 6* *(6(66 6) )可有可有6 6列之多。列之多。混合水平均匀设计表的产生方法 上面介绍的是各试验因素水平数相等情况下的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用的拟水平法。一个试验次数为 n的设计表，试验因素中某个或几个因素的水平数不足n,为m(n (n 必必须为须为 m m的整数的整数倍倍) ),则将设计表中代表该因素的水平合并，具体的合并方法是：设 i为该试验因素的第 i水平(i=1,2,n)，将 i从小到大分成 m组，每组有n/m个i,用 i所在的组

27、的数值 m代替设计表中的 i,这样就形成了混合水平设计表混合水平的设计表的例子如下：混合水平均匀设计表的产生方法(续1)用U10*(108)产生3因素的U10(1052)的过程 用U11构造U10计算出U10中的3列形成拟水平均匀设计表U10(1052) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 910101111 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 3 6

28、 9 1 4 7 10 2 5 8 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 9 7 5 3 1 10 8 6 4 210 9 8 7 6

29、 5 4 3 2 110 9 8 7 6 5 4 3 2 111 1111 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 3 5 93 5 9 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 91010 3 5 93 5 9 6 10 7 6 10 7 9 4 5 9 4 5 1 9 3 1 9 3 4 3 1 4 3 1 7 8 10 7 8 1010 2 810 2 8 2 7 6 2 7 6 5 1 4 5 1 4 8 6 2 8 6 2 1 2 31 2 3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7

30、7 8 8 9 91010 3 3 53 3 5 6 5 4 6 5 4 9 2 3 9 2 3 1 5 2 1 5 2 4 2 1 4 2 1 7 4 5 7 4 510 1 410 1 4 2 4 3 2 4 3 5 1 2 5 1 2 8 3 1 8 3 1三、试验结果分析均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析或逐步回归分析的方法，找出指标和各因素间的关系后进行优化。3.1 回归模型建立 回归模型可分为线性回归模型和非线性模型等。3.1.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。(1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线

31、性相关的程度常用相关系数来衡量，在某一显著性水平下，当相关系数的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y有线性相关关系。注意：回归模型不等于回归方程，回归方程只是回归模型中的表达方式的部分，一个完整的模型的表述，包括它的数学表达部分回归方程，还有因素的组成、因素范围和置信水平、随机误差等内容，本文论述中为了直观的原因，可能将“回归方程”表述为“回归模型”。(2) 多元线性回归模型 当影响因变量的自变量不止一个时，比如有个x1,xm 这时和之间的线性回归方程为：y=a+b1x1+b2x2+,+bmxm,其回归显著性检验一般用检验，方程中各项在回归中的重要性用该项的偏回归平方和进行判定。由于其回

32、归系数的求解需要解用来确定回归系数的的方程组-正规方程，通常情况下仅此一项工作就导致分析过程中需要进行大量的计算，在方程项数很少的情况下还可以通过人工方式在可接受的时间内完成，否则一般都要借助计算机才能完成。3.1.2 非线性回归模型 一般分为二次型回归模型、多项式回归模型等。(1) 二次型回归模型 由于因素间常有交互作用，那么前面的回归模型就不足以反映实际，于是二次型回归模型常常为人们所采用。若有 m个因素则二次型回归模型为：回归方程中的项数为m(m+3)/2，若使回归系数的估计成为可能，则需要试验次数n1+m(m+3)/2，因此进入方程的变量必须经过筛选，如采用前进法、后退法、逐步回归法或

33、最优子集法等进行变量的筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线性回归的方法完成。 (2) 多项式回归模型 一般地，包含多变量的任意多项式可表述为：可通过类似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22 的变换，将其按多元线性回归分析。多项式回归在回归分析中占特殊地位，因为任何函数至少在一个比较小的邻域内可用多项式任意逼近，因此在比较复杂的的实际问题中，可以不问与各因素的确切关系如何，而采用多项式进行分析（一次多项式是多项式的特例）。在多项式回归模型中，常用的子模型结构如下：（1）对数(Logarithm)：包括自然对数、常用对数和以n为底对数，数学表达式分别为Ln(

34、x)、Lg(x)、Logn(x)以下将“数学表达式”和“函数”类的语句省略（2）幂(Power)：整数次幂、非整数次幂，xn（3）倒数(Reciprocal)：1/x（4）三角函数(Trigonometric function)、反三角函数(Inverse trigonometric function)(涉及力学领域等常用，比如工件的切割、弹道轨迹等),包括有：正弦 Sin(X)、余弦 Cos(X)、正切 Tan(X)、余切 Cotan(X)、正割 Sec(X)、余割 Cosec(X)、双曲正弦 HSin(X)、双曲余弦 HCos(X)、双曲正切 HTan(X)、双曲余切 HCotan(X)、

35、双曲正割 HSec(X)、双曲余割 HCosec(X)、反正弦 Arcsin(X)、反余弦 Arccos(X)、反正切 Atn(X)、反余切 Arccotan(X)、正割：Arcsec(X)、反余割：Arccosec(X)、反双曲正弦：HArcsin(X)、反双曲余弦：HArccos(X)、反双曲正切：HArctan(X)、反双曲余切：HArccotan(X)、反双曲正割：HArcsec(X)、反双曲余割：HArccosec(X)。（5）幂指数：anx3.1.3 回归模型建立 回归模型的建立过程在很大程度上需要结合专业知识和经验。虽然试验者正在用均匀设计研究的某个问题的未知因素很多，也可能有些

36、问题是试验者全然不知道的（就象试验者在未建立回归模型前肯定不知道模型的具体形式一样),但试验者在试验中所采用具体试验实施操作肯定是和各种专业紧密相关的，只要试验者思考一下，哪个因素在什么时间、什么过程参加了什么反应，以及对试验的指标有何影响（有些时候可以比较明确地指出这个因素对试验指标的影响，而有些时候就不能断言),那么试验者只要寻着这样一个思路考虑，肯定可以找出在模型中应该添加或不添加某个模型组成项的依据。例如：为研究石墨炉原子吸收分光光度计法测定微量元素钯的工作条件，确定了灰化温度x1、灰化时间x2、原子化温度x3 和原子化时间x4四个因素，其试验评价指标为吸光度。由原子化机理可知，灰化温

37、度和原子化温度对吸光度的的影响可拟合为二次函数，即在模型中应该有x12和 x32项,这两个因素发生在不同时间，因而不存在交互作用,x1x3项可不列为考察目标。灰化时间和原子化时间对试验指标的影响比较复杂，也可用二次项逼近，忽略它们的交互作用，方程中应该有x22、x42项。因为还只是根据专业知识和经验进行推断，具体每个因素对结果的影响到底如何还属未知，那么，各因素的一次项理所当然也参加进方程中，这样就可以拟定出一个y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x12+b6x22+b7x32+b8x42的原始的多项式回归模型。至于这个模型的表达效果到底如何，暂时可以不用理会，只是试验者已经

38、按照专业知识和经验拟定出一个有明确意义的回归模型了！接下来就是用多元回归分析的方法，进行模型的计算和按照一定的显著性水平对模型有效性及模型中各组成项的显著性进行检验的过程了，可以计算出原始模型的各回归系数分别为：b0= 3.83610-1；b1= 1.00110-5；b2=-3.32410-3；b3=-3.52910-4；b4= 1.42110-2；b5=-3.58410-8；b6= 4.03410-5；b7= 9.85210-8；b8=-1.07610-3。对模型进行回归显著性检验，其检验值为66.620,临界值0.05(8,3)=8.8452，高度著性，复相关系数达到0.9972。3.2

39、回归模型优化若对上面例子中列入回归方程中的项按某一显著性水平（本例中取=0.05)逐个进行显著性检验，就可以发现，x1、x22、x3、x4及x42对回归无显著作用，将它们从模型中剔除，则可以确立如下的回归模型：y=b0+b1x2+b2x12+b3x22+ b4x32回归系数分别为：b0=-5.3510-2；b1=-3.0510-3；b2=-3.1410-8；b3= 3.5310-5；b4= 3.4210-8。对模型进行回归显著性检验，其检验值为184.38，临界值0.05(4,7)=4.1203,同样高度著，复相关系数为0.9972。这样就成功地建立了一个去伪存真的精简的更能真实地表达因素和指

40、标间关系的回归模型。观察上面的回归模型，我们还可以发现，原子化时间 x4这个试验因素在回归模型中没有出现，证明它是一个对试验指标影响不显著的因素，在后续的进一步的试验条件优化过程中，我们完全可以放弃对这个因素的观察，只将它保持在普通状态，使之成为一个静态的“因素”而将它从真正对试验起显著作用的行列中剔除，这样就减轻了试验的负担，也进一步降低了试验的误差。若在其它试验中通过回归模型优化后同样发现了不显著因素，而它又是个实际消耗资源的因素，那么模型优化的意义则更加显著了。3.3 试验参数优化建立了回归模型后，如何在试验范围内找到最好的试验因素组合？这就是所谓的参数优化(或称为试验优化)需要解决的问

41、题了。需要补充说明的是，之所以是在试验范围内，是因为回归分析方法所建立的模型在试验范围内有效，不能说在扩大了范围的情况下它还是有效的（有时，根据具体情况做适当的外推是可以的，但也仅仅是限定在根据每个试验的具体情况，这是个经验，一般正式的学术方面的书籍或文献在论述这个问题时或不提倡外推或允许适度外推),否则外推则是在冒险。多元函数 f(x1,x2,x3,xn)描述的是在多维空间中的一个响应面，求响应面极值的方法有很多，如间接的微分法、几何规划法、直接消去法、直接爬山法以及因素轮换法等，限于时间和篇幅，这里仅对微分法求函数极值进行简单的介绍，更详细的内容和其它方法见参考文献5或自行参考任何微积分或相关方面的书籍。若求得了函数的多个极值(极小值或极大值)，那么将这些极值在函数的全域范围内进行比较，则可以得到我们想要的最大值或最小值，该极值点处各变量的值则是我们寻找的试验条件的最优