南京市盐城市高三年级第一次模拟考试

1、南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题 (2018.01.17)(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上参考公式：柱体体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合，则 2设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为 3为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县

2、小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50,100上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为 时间(单位:分钟)频率组距50 60 70 80 90 1000.035a0.0200.0100.005第3题图Read If Then Else End IfPrint 第4题图4执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为 5口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 6若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的

3、值为 7设函数的值域为，若，则实数的取值范围是 8已知锐角满足，则的值为 9若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 10设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为 11设函数是偶函数，当x0时，=，若函数 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 AB第13题图12在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为 13如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为 14若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 二、解答题（本大题共6小题，计90分.

4、解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分)ABCA1B1C1MN第15题图如图所示，在直三棱柱中，点分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.16(本小题满分14分)在中，角的对边分别为 已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值17(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点, （1）当长为1分米时，求折卷成

5、的包装盒的容积；ADCBEGFOMNH第17题-图甲NEFGH第17题-图乙MN （2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点当点运动到点处时，点的坐标为（1）求椭圆的标准方程；xyOBNMPQD第18题图（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程19(本小题满分16分)设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成

6、立. 求所有满足条件的数列中的最小值.20(本小题满分16分)设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点求证：.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1 21 31200 41 5 66 78 9 104034 11 12 1324 14100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，

7、又点分别是的中点，所以，且所以四边形是平行四边形，从而4分又平面，平面，所以面 6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，而侧面，所以侧面底面又，且是的中点，所以则由侧面底面，侧面底面，且底面，得侧面 8分又侧面，所以 10分又，平面，且，所以平面 12分又平面，所以14分16解：（1）因为，则由正弦定理，得 2分又，所以，即4分又是的内角，所以，故6分（2）因为， 所以，则由余弦定理，得，得 10分从而，12分又，所以从而14分17解：（1）在图甲中，连接交于点设，在中，因为，所以，则ADCBEGFOMNHT从而，即. 2分故所得柱体的底面积. 4分又所得柱体的高，所以.答：当长为1分米时，折卷成

8、的包装盒的容积为立方分米. 6分（2）设，则，所以所得柱体的底面积. 又所得柱体的高，所以，其中. 10分令，则由，解得. 12分列表如下：0增极大值减所以当时，取得最大值.答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.14分18解：（1）由，得直线的方程为2分令，得点的坐标为所以椭圆的方程为4分将点的坐标代入，得，解得所以椭圆的标准方程为8分（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为在中，令，得，而点是线段的中点，所以所以直线的斜率10分联立，消去，得，解得用代，得 12分又，所以，得14分故，又，解得所以直线的方程为16分方法二：设点的坐标分别为由，得直线的方程为，令，得同理，得而点是

9、线段的中点，所以，故10分又，所以，得，从而，解得12分将代入到椭圆C的方程中，得又，所以，即，解得（舍）或又，所以点的坐标为14分故直线的方程为16分19解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以.4分（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以. 6分欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立.8分令，则，所以当时，；当时，；当时，所以的最大值为，所以的最小值为.10分（3）因为数列不是常数列，所以若，则恒成立，从而，所以，所以，又，所以，可得是常数列矛盾所以不合题意.12分若，取（*），满足恒成立14分由，得则条件式变为由，知；由，知；由，知所以，数

10、列（*）适合题意所以的最小值为.16分20解：（1）由，得，又，所以，.当时，所以，所以.2分因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得.4分（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根6分即关于的方程在上有相异两实根所以，得，所以对恒成立8分因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以故的最小值为.10分（3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得.12分要证明，即证，即证，即证.14分令，则，此时即证令，所以，所以当时，函数单调递增又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立综上所述， 实数满足.16分附加题答案AB

11、EDFO第21(A)图21（A）解：如图，连接，因为直线与相切于点，所以，又因为垂直于，所以，所以，在中，所以，5分由得，即，又，所以，所以，又，所以，即到直径的距离为4. 10分（B）解：设是圆上任意一点，则，设点在矩阵对应的变换下所得的点为，则，即，解得，5分代入，得，即为所求的曲线方程. 10分（C）解：以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系，由，得，得直线的直角坐标方程为5分曲线，即圆，所以圆心到直线的距离为因为直线与曲线（）相切，所以，即.10分（D）解：由柯西不等式，得，即而，所以，所以，5分由，得，所以当且仅当时，所以当取最大值时的值为.10分22解：（1）因为是菱形，所以又

12、底面，以为原点，直线 分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系则,MABCDOP第22题图xyz所以，则故直线与所成角的余弦值为. 5分（2），设平面的一个法向量为，则，得，令，得，得平面的一个法向量为又平面的一个法向量为，所以，则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.10分23解：（1）由条件， ，在中令，得1分在中令，得，得2分在中令，得，得3分（2）猜想=（或=）5分欲证猜想成立，只要证等式成立方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故故只需证明即证而，故即证 由等式可得，左边的系数为而右边，所以的系数为由恒成立可得成立.综上，成立.10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，n的